Bài BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Elip Nhận biết elip Cho hai điểm cố định F1 , F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip E tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M F2 M 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1 F2 2c gọi tiêu cự elip ( a c) Phương trình tắc Elip Cho elip E F1 c;0 có hai tiêu điểm F1 , F2 Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho F2 c;0 x2 y 1 2 b Phương trình a , b a c gọi phương trình tắc elip Chú ý: A a;0 , A2 a;0 B 0; b B2 0; b cắt Ox hai điểm cắt Oy hai điểm , E Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi đỉnh elip Đoạn thẳng A1 A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1 B2 gọi trục nhỏ elip Giao điểm O hai trục tâm đối xứng elip Nếu M x, y E Hypebol Nhận biết hypebol x a, y b Cho hai điểm cố định F1 , F2 độ dài không đổi 2a nhỏ F1F2 Hypebol tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M F2 M 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm hypebol Độ dài F1 F2 2c gọi tiêu cự hypebol (c a ) Phương trình tắc Hypebol Hypebol H F c;0 F c;0 có hai tiêu điểm F1 , F2 Chọn hệ trục toạ độ cho x2 y 1 2 b Phương trình a b c a phương trình tắc hypebol Chú ý: A a;0 A a;0 B 0; b B 0; b (H) cắt Ox hai điểm Nếu vẽ hai điểm vào hình chữ nhật OA2 PB2 a b c Các điểm A1 , A2 gọi đỉnh hypebol Đoạn thẳng A1 A2 gọi trục thực, đoạn thẳng B1 B2 gọi trục ảo hypebol Giao điểm O hai trục tâm đối xứng hypebol Nếu M x; y H x a x a Parabol Nhận biết parabol Cho điểm cố định F đường thẳng Δ cố định không qua F Parabol P tập hợp điểm M cách F Δ F gọi tiêu điểm Δ gọi đường chuẩn parabol P Phương trình tắc parabol P Parabol p p F ;0 : x 0 với tiêu điểm đường chuẩn , có phương trình tắc: y 2 px Chú ý: P O gọi đỉnh parabol P Ox gọi trục đối xứng parabol P p gọi tham số tiêu parabol Nếu M x, y P M x, y P x 0 B BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình tắc E có tiêu cự 2c 18 độ dài trục lớn 2a 24 Giải 2 2 Ta có: 2c 18 ; 2a 24 suy c 9 , a 12 b a c 12 63 x2 y E là: 144 63 1 Vậy phương trình tắc Bài Viết phương trình tắc hypebol có tiêu cự 2c 26 độ dài trục thực 2a 24 Giải 2 2 Ta có: 2c 26 , 2a 24 suy c 13 , a 12 b c a 13 12 25 x2 y 1 Vậy phương trình tắc hypebol là: 144 25 Bài Viết phương trình tắc parabol P có tiêu điểm F 3;0 Giải Parabol có tiêu điểm F 3;0 nên ta có: p 3 p 6 Vậy P có phương trình: y 12 x Bài Một mái vịm nhà hát có mặt cắt hình nửa elip Cho biết khoảng cách hai tiêu điểm F F 50 m chiều dài đường tia sáng từ F đến mái vòm phản chiếu F 100 m Viết phương trình tắc elip Giải Tổng khoảng cách F M FM 2a 100 , suy a 50 2 2 Ta có: b a c 50 25 1875 x2 y2 1 Vậy elip có phương trình 2500 1875 Bài Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có x2 y2 1 phương trình 18 36 Cho biết chiều cao tháp 100 m khoảng cách từ đến tâm đối xứng hypebol khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy Tính bán kính đáy bán kính tháp Hình Giải Do tính đối xứng hylebol nên ta có hai bán kính đáy tháp r Do điểm M r;50 nằm hypebol nên thay tọa độ điểm M vào phương trình hypebol ta có: r 502 502 r 18 31 182 362 36 (m) Vậy bán kính đáy tháp 31 m Bài Cổng chào thành phố dạng hình parabol có chiều cao h 25 m khoảng cách hai chân cổng d 120 m Hãy viết phương trình parabol cổng chào Giải Ta chọn hệ tọa độ Hình Gọi parabol có phương trình parabol có dạng: y 2 px Ta có M (25;60) toạ độ điểm chân cổng chào.Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P ) ta có: 602 60 2 p.25 p 72 50 2 Vậy phương trình ( P) y 144 x C BÀI TẬP Viết phương trình tắc của: a) Elip có trục lớn 12 trục nhỏ 8; b) Hypebol có tiêu cự 2c 18 độ dài trục thực 2a 14 ; c) Parabol có tiêu điểm F (5;0) Viết phương trình tắc đường conic Gọi tên tìm toạ độ tiêu điểm chúng C1 : x 13 y 1 a) ; b) C2 : 25 x y 225 ; c) C3 : x 2 y Để cắt bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn 1m trục nhỏ 0, 6m từ ván ép hình chữ nhật có kich thước 1m 0, 6m , người ta vẽ hình elip lên ván ép hướng dẫn sau: Chuẩn bị: - Hai đinh, vịng dây kín khơng đàn hồi, bút chì Thực hiện: - Qng vịng dây qua hai đinh kéo căng - Xác định vị trí (hai tiêu điểm elip) ghim hai đinh lên hai điểm ván điểm M Tựa đầu bút chì vào vịng dây điểm M di chuyển cho dây ln ln căng Đầu bút chì vạch lên bìa đường mà ta gọi đường elip (Xem minh hoạ Hinh 10) Phải ghim hai đinh cách mép ván ép lấy vòng dây có độ dài bao nhiêu? Thang leo gợn sóng cho trẻ em cơng viên có hai khung thép cong hình nửa elip cao 100cm khoảng cách hai chân 240cm a) Hãy chọn hệ toạ độ thích hợp viết phương trình tắc elip nói b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ điểm cách chân khung 20cm lên đến khung thép x2 y2 1 2 Một tháp làm nguội nhà máy có mặt cắt hình hypebol có phương trình 30 50 Biết chiều cao tháp 120m khoảng cách từ tháp đến tâm đối xứng hypebol khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy Tính bán kính bán kính đáy tháp Một cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 120m nâng đỡ thẳng đứng treo từ cáp xuống, dài 48m , ngắn 8m (Hình 12 ) Tính chiều dài cách điểm cầu 20m