02 03 02 01 hh10 c3 b2 pt duong tron hdg

C H Ư Ơ N III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN LÝ THUYẾT I = = CÁC = DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN I  C  có tâm I  a; b  1.1.Dạng 1: Phương trình đường trịn bán kính R Phương trình có dạng :  x  a2  2   y  b  R 2 2 1.2.Dạng 2: Phương trình x  y  2ax  2by  c 0 với a  b  c  phương trình đường tròn tâm I  a; b  2 bán kính R  a  b  c SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN  D  : Ax  By  C 0 Cho đường thẳng  C  :  x  a đường tròn 2   y  b  R I  a; b   d  I; D   R   D    C   M ; N    D    C   M    D    C    d  I ;  D    R  d  I ;  D   R PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN 3.1.Viết phương trình tiếp tuyến  D với  C điểm M0  C  C  Bước 1: Tìm tọa độ tâm I  D  Bước 2: Tiếp tuyến 3.2 Viết phương trình tiếp tuyến  M đường thẳng qua có VTPT M I  D với  C điểm M0  C  C  Bước 1: Tìm tọa độ tâm I bán kính R có tâm  Bước 2:  D a  x  x0   b  y  y0  0 đường thẳng qua M nên có dạng  D  tiếp xúc với  C   d  I ;  D   R  * Giải  * tìm mối liên hệ  Bước 3: a & b Chọn a & b phù hợp để kết luận 3.3.Viết phương trình tiếp tuyến  D với  C biết  D song song với  D1  : Ax  By  C 0  C  Bước 1: Tìm tọa độ tâm I bán kính R  D    D1  : Ax  By  C 0 nên phương trình có dạng  Bước 2: Ax  By  C ' 0 (C ' C )  Bước 3: để kết luận  D tiếp xúc với 3.4 Viết phương trình tiếp tuyến  C   d  I ;  D   R  * Giải  *  D với  C biết  D vng góc với tìm C ' so với đk  D1  : Ax  By  C 0  C  Bước 1: Tìm tọa độ tâm I bán kính R  Bước 2:  Bước 3: để kết luận  D    D1  : Ax  By  C 0 nên phương trình có dạng  D tiếp xúc với  C   d  I ;  D   R  * Giải  * Bx  Ay  C ' 0 tìm C ' so với đk VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN C  C  Cho đường trịn có tâm I1 , bán kính R1 đường trịn có tâm I , bán kính R2 Giả sử R1  R2 Ta có:  Hai đường trịn tiếp xúc  I1 I  R1 R2  Hai đường tròn cắt R1  R2  I1 I  R1  R2 II HỆ THỐNG BÀI TẬ P = = = 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG DẠNG TRỊN I = = = I PHƯƠNG PHÁP Cách 1: + Đưa phương trình dạng:  C  : x2  y  2ax  2by  c 0 (1) 2 + Xét dấu biểu thức P a  b  c C I a; b  Nếu P  (1) phương trình đường trịn   có tâm  bán kính R  a  b2  c Nếu P 0 (1) khơng phải phương trình đường trịn 2 Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x  a)  ( y  b) P (2) I a; b  Nếu P  (2) phương trình đường trịn có tâm  bán kính R  P Nếu P 0 (2) khơng phải phương trình đường trịn = = Câu= 1: I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn? Tìm tâm bán kính có 2 1) x  y  x  y  0 (1) 2 2) x  y  x  y  13 0 (2) 2 3) x  y  x  y  0 (3) 2 4) x  y  x  y  0 (4) Lời giải 2 1) Phương trình (1) có dạng x  y  2ax  2by  c 0 với a  1; b 2; c 9 2 Ta có a  b  c 1    Vậy phương trình (1) khơng phải phương trình đường trịn 2 2) Ta có: a  b  c 9   13 0 Suy phương trình (2) khơng phải phương trình đường trịn 3) Ta có:  3  x  y  3x  y   3 P a  b  c    12   2 Suy ra: 2 0   15    0  2 3  15 I  ;1 R Vậy phương trình (3) phương trình đường trịn tâm   bán kính 2 4) Phương trình (4) khơng phải phương trình đường trịn hệ số x y khác Câu 2: Cho phương trình x  y  2mx   m   y   m 0 (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính theo m Lời giải 2 a) Phương trình (1) phương trình đường tròn a  b  c  Với a m; b 2  m   ; c 6  m m  2 m   m     m   5m  15m  10     m 1 Hay b) Với điều kiện đường trịn có tâm Câu 3: I  m;  m    bán kính: R  5m  15m  10 x  y   m   x   m   y  m  0 Cho phương trình đường cong (Cm ) : (2) a) Chứng minh (2) phương trình đường trịn b) Tìm tập hợp tâm đường trịn m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi họ đường trịn (Cm ) ln qua hai điểm cố định Lời giải 2  m  2    m2  m4 a  b  c       m  1     a) Ta có 2 Suy (2) phương trình đường trịn với m m2   xI    y m  I b) Đường trịn có tâm I:  suy xI  y I  0 Vậy tập hợp tâm đường tròn đường thẳng  : x  y  0 c) Gọi M  x0 ; y0  Khi ta có: điểm cố định mà họ (Cm ) qua xo2  y02   m   x0   m   y0  m  0, m   x0  y0  1 m  xo2  y02  x0  y0  0, m  x0  y0  0    x0  y0  x0  y0  0  x0   x0 1    y0 0  y0 2 M  1;0  M 1; Vậy có hai điểm cố định mà họ (Cm ) ln qua với m    = = Câu= 1: I BÀI TẬP TRẮC N G HIỆM [0H3-2.1-1] Phương trình sau phương trình đường trịn? 2 (I) x  y  x  15 y  12 0 2 (II) x  y  3x  y  20 0 2 (III) x  y  x  y  0 A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) Lời giải Chọn D 289  15  a  b  c 4     12  0 I   có:  2 2 2 55  3  4 a  b  c       20  0  II  có:  2  2 2   11 a  b  c 1        III   x  y  x  y  0  2 , phương trình có: Vậy Câu 2: I  III  phương trình đường trịn 2 [0H3-2.1-1] Để x  y  ax  by  c 0 (1) phương trình đường trịn, điều kiện cần đủ 2 A a  b  c  2 B a  b  c 0 2 C a  b  4c  Lời giải Chọn C 2 D a  b  4c  Ta có: x  y  ax  by  c 0  1 2 2 a b  a b a b  x  .x     y  y       c 0 2 4  2  2 2 a  b a2 b2    x    y      c 2  2 4  a2 b2   c   a  b  4c  Vậy điều kiện để (1) phương trình đường trịn: 4 Câu 3: [0H3-2.1-1] Phương trình sau phương trình đường trịn? 2 2 A x  y  x  y  0 B x  y  x 0 x  y  xy  0 D x  y  x  y  0 C Lời giải Chọn B Loại C có số hạng  2xy a b  , c 9  a  b  c  Câu A: nên khơng phải phương trình đường trịn Câu D: loại có  y a  , b 0, c 0  a  b  c  Câu B: nên phương trình đường trịn Câu 4: 2 [0H3-2.1-2] Phương trình x  y  2( m  1) x  2( m  2) y  6m  0 phương trình đường trịn A m  B m  C m  D m   m  Lời giải Chọn D Ta có: x  y   m  1 x   m   y  6m  0  1 2  x   m  1 x   m  1  y   m   y   m     m  1   m    6m  0 2   x   m  1    y   m    2m  m   2m      m 1 Vậy điều kiện để (1) phương trình đường trịn: Câu 5: [0H3-2.1-2] Cho đường cong  Cm  : x  y – x  10 y  m 0 Với giá trị m  Cm  đường trịn có bán kính ? A m 4 B m 8 C m –8 D m = – Lời giải Chọn C 2 Ta có R    m 7  m  Câu 6: 2 [0H3-2.1-2] Đường tròn 3x  y – x  y  0 có bán kính bao nhiêu? 15 A B C 25 D Lời giải Chọn B 3x  y – x  y  0  x  y – x  y  0 25  3 P 1       3   R   Suy Vậy bán kính là: Câu 7: 2 [0H3-2.1-2] Đường tròn x  y – x  y  0 có tâm điểm sau đây? A   8;4  B  2;  1 C  8;   D   2;1 Lời giải Chọn B x  y – x  y  0 Vậy tâm là: Câu 8: I  2;  1  x2  y – x  y  0 A  2;1 B  3;5  M  x; y [0H3-2.2-2] Cho hai điểm  , Tập hợp điểm nhìn AB góc vng nằm đường trịn có phương trình 2 A x  y  x  y  0 2 C x  y  x  y  11 0 2 B x  y  x  y  0 D Đáp án khác Lời giải Chọn A M  x; y Tập hợp điểm nhìn AB góc vng nằm đường trịn đường kính AB tâm trung điểm AB 1  I  ;3  Tọa độ tâm đường tròn trung điểm AB :   AB 52  42 41 R   2 Bán kính đường trịn: 1 41   x     y  3  2  x  y  x  y  0 Phương trình đường trịn:  Câu 9: [0H3-2.2-2] Cho hai điểm A( 4; 2) B(2;  3) Tập hợp điểm M ( x; y ) thỏa mãn MA2  MB 31 có phương trình 2 A x  y  x  y  0 2 C x  y  x  y  22 0 2 B x  y  x  y  0 2 D x  y  x  y  22 0 Lời giải Chọn A 2 Ta có: MA  MB 31 2 2   x     y     x     y  3 31  x  y  x  y  0 Câu 10: [0H3-2.1-2] Cho A   1;0  , B  2;  C  4;1 Chứng minh tập hợp điểm M thoả 2 C mãn 3MA  MB 2MC đường tròn   Tìm tính bán kính (C) A 107 B 25 C 25 D Lời giải Chọn A 2 2 3MA2  MB 2MC   x  1  y   x     y   2  x     y  1  x2  y  9x  y  11 107 0 R 2 Bán kính (C) là: DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN = = = I PHƯƠNG PHÁP Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I  a; b  đường trịn (C) + Tìm bán kính R đường trịn (C) 2 2 + Viết phương trình (C) theo dạng ( x  a)  ( y  b) R 2 Cách 2: Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x  y  2ax  2by  c 0 (Hoặc x  y  2ax  2by  c 0 ) + Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c + Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: = = Câu= 1: I * A   C   IA R *  C A  IA d  I ;   R tiếp xúc với đường thẳng  *  C   d  I ; 1  d  I ;   R tiếp xúc với hai đường thẳng 1 BÀI TẬP TỰ LUẬ N Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Có tâm I  1;   qua O  0;0  A 1;1 , B  7;5  b) Nhận AB làm đường kính với   c) Đi qua ba điểm: M   2;  , N  5;5  , P  6;   Lời giải 2 a) Đường trịn cần tìm có bán kính OI    26 nên có phương trình  x  1 2   y   26 I 4;3 b) Gọi I trung điểm đoạn AB suy  AI    1 2    1  13 Đường trịn cần tìm có đường kính AB suy nhận I  4;3 làm tâm bán kính R  AI  13 nên có phương trình  x     y  3 13 2 c) Gọi phương trình đường trịn (C) có dạng là: x  y  2ax  2by  c 0 Do đường tròn qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình:   16  4a  8b  c 0   25  25  10a  10b  c 0  36   12a  4b  c 0  a 2  b 1 c  20  2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm là: x  y  x  y  20 0 Nhận xét: Đối với ý c) ta làm theo cách sau Gọi I  x; y  R tâm bán kính đường trịn cần tìm  IM IN IM IN IP   2  IM IP nên ta có hệ Vì   x     y    x     y    x 2    2 2  y 1  x     y    x     y   Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I   1;  tiếp xúc với đường thẳng  : x  y  0 b) (C) qua A  2;  1 tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox Oy c) (C) có tâm nằm đường thẳng d : x  y  10 0 tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 : 3x  y  0 d : x  y  0 Lời giải a) Bán kính đường trịn (C) khoẳng cách từ I tới đường thẳng  nên R d  I ;     1  1  Vậy phương trình đường trịn (C) là:  x  1 2   y  2  b) Vì điểm A nằm góc phần tư thứ tư đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm đường trịn có dạng I  R;  R  R bán kính đường tròn (C)  R 1 2 R IA2  R   R      R   R  R  0    R 5 Ta có:  x  1 Vậy có hai đường trịn thoả mãn đầu là: 2   y  1 1  x  5 c) Vì đường trịn cần tìm có tâm K nằm đường thẳng d nên gọi 2   y   25 K  6a  10; a  Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1 , d nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R suy + Nếu IM  R suy M nằm ngồi đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng  đường tròn (C) Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính d  I ;   + Nếu d  I ;    R suy  cắt đường tròn hai điểm phân biệt + Nếu d  I ;   R suy  tiếp xúc với đường tròn + Nếu d  I ;    R suy  không cắt đường trịn Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng  đường trịn (C) số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm nghiệm hệ Vị trí tương đối đường tròn (C) đường tròn (C') Xác định tâm I, bán kính R đường trịn (C) tâm I', bán kính R' đường trịn (C') R  R ', R  R ' tính II ' , + Nếu II '  R  R ' suy hai đường trịn khơng cắt + Nếu II ' R  R ' suy hai đường trịn tiếp xúc ngồi với + Nếu + Nếu + Nếu II ' R  R ' II '  R  R ' suy hai đường trịn khơng cắt lồng vào suy hai đường tròn tiếp xúc với R  R '  II '  R  R ' suy hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng (C) đường tròn (C') số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm nghiệm hệ = = = Câu 1: I BÀI TẬP TỰ LUẬ N  C  : x  y  x  y  0 Cho đường thẳng  : x  y  0 đường tròn a) Chứng minh điểm M  2;1 nằm đường trịn  C b) Xét vị trí tương đối  c) Viết phương trình đường thẳng  ' vng góc với  cắt đường tròn hai điểm phân biệt cho khoảng cách chúng lớn Lời giải a) Đường tròn (C) có tâm I  2;  1 bán kính R 3 Ta có b) Vì IM    2 d  I ;    2   1 2  R 1 1 1 2  R M nằm đường trịn  C  hai điểm phân biệt nên  cắt c) Vì  ' vng góc với  cắt đường tròn hai điểm phân biệt cho khoảng cách chúng lớn nên  ' vng góc với  qua tâm I đường tròn (C)   ' :1 x    1 y  1 0 u  1;1 Do  ' nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến suy hay x  y  0 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm  ' : x  y  0 Câu 2: Trong mặt  C ' : x Oxy , phẳng cho hai đường tròn  C  : x  y  x  y  15 0  y  x  y  0 a) Chứng minh hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B b) Viết phương trình đường thẳng qua A B c) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A, B O Lời giải a) Cách 1: II '   C   1 Ta thấy có tâm I  1;3  C  có tâm I '  3;1 bán kính R  13 bán kính R 5 ,    3 2 R1  R2  I1 I  R1  R2 suy hai đường trịn cắt Cách 2: Xét hệ phương trình  x  y  x  y  15 0  x  y  x  y  15 0    x  y  0  x  y  x  y  0   y  3  y   y  3  y  15 0  y  y  0    x  y  x y      y     y 3 x y   A  1;   B  6;3 Suy hai đường tròn cắt hai điểm có tọa độ  AB  5;5  b) Đường thẳng qua hai điểm A, B nhận làm vectơ phương suy phương trình  x 1  5t  đường thẳng cần tìm  y   5t 2 c) Cách 1: Đường trịn cần tìm (C") có dạng x  y  2ax  2by  c 0  a     2a  4b  c 0    36   12a  6b  c 0  b    c 0   c 0   (C") qua ba điểm A, B O nên ta có hệ 2 Vậy (C"): x  y  x  y 0 Cách 2: Vì A, B giao điểm hai đường tròn (C) (C') nên tọa độ thỏa mãn phương trình x  y  x  y  15  m  x  y  x  y  3 0 (*) Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*)  15  m   3 0  m  2 Khi phương trình (*) trở thành x  y  x  y 0 2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm x  y  x  y 0 Câu 3: Cho đường  : x  my   (C ) : x  y  x  y  0 trịn có tâm I 0 a) Tìm m để đường thẳng  cắt đường trịn (C) hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để diện tích tam giác IAB lớn Lời giải I A a) Đường trịn (C) có tâm I  1;   , bán kính R 3  cắt (C) hai điểm phân biệt d  I ;    R   2m    m2 H 3  5m  5m  17  (đúng với m) 9 S IAB  IA.IB.sin AIB  sin AIB  2 b) Ta có B đường thẳng Suy max S IAB  sin AIB 1  AIB 900 AIH 450  IH IA.cos 450  Gọi H hình chiếu I lên  d  I ;   IH   2m 2m Ta có  m  8m  16 0  m   Vậy với m  thỏa mãn yêu cầu toán = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N G HIỆM 2 [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C ) : ( x 1)  ( y  3) 4 đường thẳng d : 3x  y  0 Phương trình đường thẳng d  song song với đường thẳng d chắn (C ) dây cung có độ dài lớn A x  y  13 0 B 3x  y  25 0 C x  y  15 0 D x  y  20 0 Lời giải Chọn C  C I   1;3 có tâm R 2 d // d  d : 3x  y  c 0 I   1; 3  C  , tức :   12  c 0  c 1 Yêu cầu tốn có nghĩa d  qua tâm Vậy d  : 3x  y  15 0 Câu 2: [0H3-2.4-2] Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng  : x  y  0 đường tròn (C ) : x  y  x  y 0 A  3;3   1;1 B   1;1  3;  3 C  3;3  1;1 Lời giải Chọn A Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình sau  x  y  0   2 x  y  x  y    y  y  0    x 2 y   x 2 y   2  y  3  y   y  3  y 0  y 1  y 3    x   x 3 Vậy tọa độ giao điểm  3;3   1;1 D  2;1  2;  1