tiểu luận số học hiện đại docx

Lời Mở Đầu “S ố học hiện đại” là một nghành khoa học tự nhiên ra đời cùng với sự ra đời của nghành toán học.Số Học ra đơi tư rất sớm trong lịch sử phát triên nghành toán và có vai trò

Lời Mở Đầu

“S ố học hiện đại” là một nghành khoa học tự nhiên ra đời cùng với

sự ra đời của nghành toán học.Số Học ra đơi tư rất sớm trong lịch sử phát

triên nghành toán và có vai trò quan trọng trong các nghành khoa học khác

cũng như trong cuộc sống thực tế.Trong nền toán học hiện đại Số học có vai

trò quan trọng,là nền tảng cho các nghanh toán đó

Tuy vậy khi tiếp cận với Số học hiện đại người học sẽ gặp rất nhiều

khó khăn vì tính trừu tương và độ tư duy rất cao của nghành học.Để khắc

phục vấn đề đó tôi đưa ra một số ít những gì mình đã học trong chương I và

III của giáo trình “Số học hiện đại” của thầy Nguyễn Thành Quang.Thông

qua một số kết quả và một số ví dụ để minh họa cho sự quan trọng đó và sự

tương tự trong các nghiên cứu đó Từ định lý Mason, người ta dễ dàng thu

được định lý cuối cùng Fermat đối với đa thức trên hệ thức giữa các đa thức

Chẳng hạn một trong những hệ quả đó là định lý Davenport mà khẳng định

tương tự của nó đối với số nguyên là giả thuyết Hall hoặc Giả thuyết “ABC”

vẫn còn chưa được chứng minh.Số nguyên tố và số giả nguyên tố cùng

những ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn của cuộc sống

Cuối cùng tôi xin cám ơn Thầy giáo Nguyễn Thành Quang đã tận tình

dạy bảo va giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.Vì khả năng còn nhiêu hạn

chế chắc chắn sẽ còn rất nhiều hạn chế và thiếu sót,vì vậy rất mong được sự

góp ý chỉ dẫn của các thầy,cô và các bạn

Tôi Xin Chân Thành Cám Ơn!

Vinh,tháng 5 năm 2010

I.Trường định chuẩn

I.1 Định nghĩa: Môt trường định chuẩn nếu trên K đã xác định một ánh xạ: ϕ:K → R,

thỏa mãn các điều kiện sau:

i.ϕ(a) là số thực ,∀a ∈ K,

ii ϕ(0)= 0; ϕ(a)> 0; với 0≠a ∈ K,

iii.ϕ(ab)= ϕ(a)ϕ(b),

iv.ϕ (a+b)≤max( ϕ ( ) ( )a ,ϕ b );∀a ∈,b K

I.2 Ví d ụ: Về trường định chuẩn (K,ϕ )

Giả sử Q là trường các số hữu tỉ, p là một số nguyên tố cố định nào đó Khi đó

với mỗi 0≠a ∈ Q, ta có thể viết một cách duy nhất n

p t

s

a = , (n∈Ζ)

Trong đó các số nguyên s,t không chia hết cho p.Ta đặt ( ) ( ) n

p

=

trên Q sẽ xác định cho ta một sự định chuẩn.Chuẩn này được gọi là chuẩn p_adic

p

t

s

t

s

p

n

5

1 7

1 5

1 35

1

7

1 7

7

=

⋅

=

⋅

1 2 2 35

1 1 35

1 35

2 2

=

=

⋅

=

⋅

=

Nhận xét: Với p,q là hai số nguyên tố phân biệt thì chuẩn p_adic va chuẩn q_adic không

tương đương nhau trên trường các số hữu tỉ Q

I.3 Định chuẩn không Ácsimet

Một chuẩn ϕ trên trường K là một định chuẩn không Ácsimet nếu

(a+b)≤Max( ϕ ( ) ( )a,ϕ b );∀a,b∈K

II.Định lý Mason

II.1 Định lý: Cho K la một trường đóng đại số đặc số không.Giả sử a(t),b(t),c(t) là các đa

thức khác hằng số với hệ số trong K, nguyên tố cùng nhau sao cho a+b=c.Khi đó nếu

kí hiệu n0( )f là số nghiệm phân biệt của đa thức f thì ta có:

Max(deg(a) ,deg(b), deg(c)) ≤n0(abc)−1

II.2 Định lý Fermat

Từ định lí trên ta suy ra được hệ quả sau: (Tương tự của định lí cuối cùng của

Fermat trên đa thức) : Không tồn tại các đa thức a,b,c với hệ tử trong một trường đóng

đại số đặc số không, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau và thõa mãn phương trình:

n

n

a + = , với n≥3

Chứng minh:

Giả sử các đa thức a, b, c thoả mãn phương trình nói trên Rõ ràng số nghiệm phân

biệt của đa thức anbncn không vượt quá deg(a) + deg(b) + deg(c) Áp dụng định lý

Mason, ta có:

deg(an) = ndega ≤ no(anbncn) – 1

Nên

deg(an) = ndega ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1

deg(bn) = ndegb ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1

deg(cn) = ndegc ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1

Cộng từng vế các bất phương trìng trên, ta có

n(dega + degb + degc) ≤ 3(dega + degb + degc) – 3

Ta có mâu thuẫn vì n ≥ 3

II.3 Định lý Davenport

Đặc biệt một trong những hệ quả của định lí Mason là định lý sau đây Định lý

Davenport:

Giả sử f,g là các đa thức trên trường K, nguyên tố cùng nhau sao cho

2

2

1

+

≥

Chứng minh: Ta dùng định lý Mason với

a = g2, b = f3 – g2, c = g=f3

Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c Theo định lý

Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1

≤ no(g2(f3 – g2)f3) – 1

≤ no(g(f3 - g4)f) – 1

= deg(g(f3 - g4)f) – 1

= degg + deg(f3 – g2) + degf – 1

⇒ 2degg ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (1)

Tương tự:

⇒ 3degf ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (2)

Cộng từng vế các bất phương trìng (1) và (2) trên, ta có:

2degg + 3degf ≤ 2degg + 2deg(f3 – g2) + 2deg(f) – 2

⇒ deg(f) ≤ 2deg(f3 – g2) - 2

⇒ deg(f3 – g2) ≥

2

1 deg(f) + 1 Suy ra đpcm

II.4.H ệ quả:

II.4.1.Hệ quả 1 (Tưong tự định lý Davenport)

Giả sử f, g là các đa thức khác hằng số trên trường đóng đại số, đặc số không K,

nguyên tố cùng nhau, sao cho f 3 ≠g 4 Khi đó ta có: deg(f 3 – g 4 ) ≥

4

5

degf + 1 (*)

Chứng minh:

+) Nếu 3deg(f) > 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(f3) = 3deg(f) Khi đó hiển nhiên ta có

(*),với chú ý rằng deg(f) ≥ 1

+) Nếu 3deg(f) < 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(g4) = 4deg(g) khi đó ta cũng có (*), vì:

deg(f3 - g4) = 4deg(g) > 3deg(f) >

4

5 degf + 1 +) Nếu 3deg(f) = 4deg(g)

Sử dụng định lý Mason với: a = f3, b = g4 - f3, c = g4

Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c Theo định lý

Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1

Hay: 3deg(f) ≤ no(g4(f3 - g4)f3) – 1

Suy ra 3deg(f) ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1

Do đó ta có 3deg(f) ≤ deg(g) + deg(f3 - g4) + deg(f) – 1

⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(g) + 1

⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) –

4

3 deg(f) + 1

⇒ deg(f3 - g4) ≥

4

5 deg(g) + 1

II.4.2 T ổng quát của định ký Davenport

Giả sử f,g là các đa thức khác hằng trên trường đóng đại số đặc số không K,

nguyên tố cùng nhau , sao cho f n ≠g m Khi đó ta có

deg(f n - g m ) ≥

m

m n

nm− −

degf + 1 (**)

Chứng minh:

+) Nếu ndeg(f) > mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(fn)= ndeg(f) Khi đó hiển nhiên ta có

(**),vơi chú ý rằng deg(f) ≥ 1

+) Nếu ndeg(f) < mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(gm)= mdeg(g) Khi đó hiển nhiên ta có

(**),với deg(fn - gm) = mdeg(g) > n deg(f) >

m

m n

nm− −

deg(f) + 1

+) Nếu ndeg(f) = mdeg(g)

Sử dụng định lý Mason với: a = fn, b = gm – fn, c = gm

Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c Theo định lý

Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1

Hay: ndeg(f) ≤ no(gm(fn – gm)fn) – 1

Suy ra ndeg(f) ≤ no(g(fn – gm)f) – 1

Do đó ta có ndeg(f) ≤ deg(g) + deg(fn – gm) + deg(f) – 1

⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(g) + 1

⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) –

m

n

deg(f) + 1

⇒ deg(fn – gm) ≥

m

m n

nm− −

degf + 1

Ngoài định lí Mason ta còn có các giả thuyết: Hall, ’abc’, Fermat suy rộng, Pilai,

Erdos_Mollon_Walsh

Ta có sự liên hệ giữa định lí Mason với các giả thuyết và các định lí khác như sau:

?

Fermat Theorem Hall Conjecture

Mason Theorem Davenport

Analog of Fermat

‘abc

Fermat Theorem

(n ≥ n0)

III Số nguyên tố

III.1 Định nghĩa:

Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1.Không chia hết cho số nguyên dương nào

ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự).Một số nguyên lớn hơn 1 không phải là số

nguyên tố được gọi là hợp số

Vd: 3,5,7,11,13, là số nguyên tố

III.2.Số hoàn chỉnh (The perfect number)

Số hoàn chỉnh là số nguyên dương mà tổng các ước số dương thực sự của nó bằng

chính nó

Ta có kết quả sau:”Một số nguyên dương chẵn n là số hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu:

(2 1)

2 1

−

= m− m

Trong đó m≥2 là số nguyên dương sao cho 2 −m 1 là số nguyên tố

Vd:

28 4.7 22.(23 1) 23 1.(23 1)

−

=

−

=

(2 1) 2 (2 1)

2 31 16

−

=

−

=

(2 1) 2 (2 1)

2 127 64

−

=

−

=

III.3 S ố nguyên tố Mersenner:

Như ta đã thấy, ta có một số hoàn chỉnh chẵn khi có một số nguyên tố dạng

1

2 −m Các số nguyên tố như vậy gọi là số nguyên tố Mersenner

Trong vd về số hoàn chỉnh ta thấy các số 7,31,127 là các số nguyên tố

Mersenner

Số nguyên tố Mersenner có vai tro quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng

Chẳng hạn vấn đề tìm ra các số nguyên tố lớn hơn để xây dựng hệ mật mã công khai

III.4 S ố nguyên tố Fermat

Fermat đã chi ra rằng,các số tự nhiên 22 1

+

n

F , n=0,1,2, là số nguyên tố

Các số nguyên tố F n được gọi là số nguyên tố Fermat

III.5 Định lý:(định lý cơ bản của số học)

Mọi số tự nhiên lơn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các

thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm.Số nguyên tố

được coi như là “tích” chỉ gồm một thừa số là chính nó

III.6 S ố nguyên tố sánh đôi

Định nghĩa: Nếu 1 là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số nguyên

n

a

a

a1, 2, , thì các số a1,a2, ,a n được gọi là nguyên tố cùng nhau.Nếu ta còn có 1 là

ƯCLN của mọi cặp số phân biệt a i,a j,1≤i≠ j≤n, thì các số nguyên a1,a2, ,a n được

gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một,hay nguyên tố sánh đôi

Chẵng hạn dãy số 3,5,17,257,65537, là dãy số nguyên tố Fermat thõa mãn điều

kiện là dãy số nguyên tố sánh đôi

III.7 S ố giả nguyên tố

Giả sử b là một số nguyên dương cho trước.Nếu n là hợp số nguyên dương và

( n)

b

b n ≡ mod ,thì n được gọi là số nguyên tố cơ sở b

Trong trường hợp (n,b)=1, ta thương dùng định nghĩa tương đương sau:

( n)

b n 1 1mod

≡

Thật vậy: Ta có 561=3.11.17 và (3,2)=(11,2)=(17,2)=1,do đó áp dụng định lý

Fermat, ta có:

( )2 1(mod17) 2

11 mod 1 2

2

3 mod 1 2

2

35 16 560

56 10 560

280 2 260

≡

=

≡

=

≡

=

Từ đó suy ra 2560 1(mod561)

≡ hay 2561 2(mod561)

≡ Do đó 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2

III.8 S ố Carmichael

Hợp số n thỏa mãn đồng dư thức b n 1 1(modn)

≡

cho (n,b)=1 được gọi là số Carmichael

Vd: Số nguyên 561 là một số Carmichael

Thật vậy:

Do 561=3.11.17 nên 561 là hợp số

Với mọi số nguyên dương n thõa mãn: (b,n)= 1,ta thấy (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1

Theo định lý Fermat bé, ta có:











≡

≡

≡

17 mod 1

11 mod 1

3 mod 1

16 10 2

b b

b

⇔

( ) ( ) ( )















≡

=

=

≡

≡

=

) 17 (mod 1

) 11 (mod 1

) 3 (mod 1

35 16 560

56 10 560

280 2 560

b b

b b

b b

⇒ 560 1(mod561)

≡

Một cách khác để ta nhận biết một số có phải là số Carmichael hay không nhờ vào

định lý sau:” Số tự nhiên n là số Carmichael khi và chỉ khi n=q1q2 q k, trong đó

(j k)

q j, =1,2, ,là các số nguyên tố khác nhau thỏa mãn q j −1 là ước của n-1