CHUYÊN ĐỀ : ĐỐI XỨNG TÂM A Lý thuyết Hai điểm đối xứng qua điểm: Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm A đối xứng với A’ qua O O trung điểm AA’ Khi đó, ta cịn nói: A’ đối xứng với A qua O A A’ đối xứng với qua O Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O điểm O Hai hình đối xứng qua điểm: Hai hình gọi đối xứng với qua điểm O điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua O ngược lại Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm Hình có tâm đối xứng: Điểm O gọi tâm đối xứng với hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H qua điểm O thuộc hình H Định lý: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành O B tâm đối xứng hình bình hành ABCD Bài tập Bài toán 1: Cho ABC , gọi điểm D, E theo thứ tự trung điểm AB AC Lấy P đối xứng với B qua tâm E Q đối xứng với C qua tâm D Chứng minh hai điểm P, Q đối xứng với qua tâm A Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm câc cạnh AB, BC, CD, DA Gọi E điểm nằm tứ giác, F điểm đối xứng với E qua M, G điểm đối xứng với F qua Q, H điểm đối xứng với G qua P Chứng minh E điểm đối xứng với H qua N Bài toán 3: Cho ABC Gõi E F theo thứ tự trung điểm cạnh AB AC Một điểm M thuộc BC, có điểm đối xứng với M qua E P điểm đối xứng M qua F Q Chứng minh: a) A thuộc đường thẳng PQ b) BCQP hình bình hành Bài tốn 4: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AD lấy điểm E cạnh BC lấy điểm F cho AE CF Chứng minh hai điểm E, F đối xứng với qua giao điểm O đường chéo AC, BD Bài toán 5: Cho ABC , điểm D thuộc BC Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E đường thẳng qua D song song với AC cắt AB F Chứng minh hai điểm E F đối xứng với qua trung điểm I đoạn thẳng AD Bài tốn 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AD, BC E F Chứng minh E F đối xứng qua O Bài tốn 7: Cho góc xOy Điểm A nằm bên góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O Bài toán 8: Cho ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C Tia MA cắt DE N Chứng minh MC NE Bài toán 9: Cho điểm O nằm tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H điểm đối xứng O theo thứ tự qua trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh EFGH hình bình hành Bài tốn 10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi E điểm nằm tứ giác, F điểm đối xứng với E qua M, G điểm đối xứng với F qua N, H điểm đối xứng với G qua P Chứng minh E điểm đối xứng với H qua Q Bài toán 11: Cho ABC Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C F đối xứng với C qua A Gọi G giao điểm đường trung tuyến AM tam giác ABC với đường trung tuyến DN tam giác DEF Gọi I K trung điểm GA GD Chứng minh rằng: a) Tứ giác MNIK hình bình hành b) Trọng tâm ABC DEF trùng Bài toán 12: Cho ABC điểm M tuỳ ý tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Gọi H, I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua D, E, F Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH, BI, CK đồng quy b) Khi M di động tam giác đường thẳng OM ln qua điểm cố định