PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHO QUAN ĐÊ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu (5,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức sau : a ) A 44.82 202 18.44 17 18 19 20 1 b) C 28 29 30 31 3 c ) S 3 10 2 2 3 32 d )D 1.4 4.7 13.16 300 200 2) So sánh hai số sau : A 3 B 5 1 1 Q 1 2 n 1 n 3) Chứng minh Câu (4,0 điểm) 1) Tìm x biết : với n N , n 2 a )72 : x 23 b) x x x x x x 224 12 20 30 42 56 72 2) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 30;39; 42 số dư 11; 20; 23 3) Tìm phân số tối giản biết giá trị khơng đổi ta cộng tử số với cộng mẫu số với Câu (4,0 điểm) 4n 2n 1) Cho biểu thức a) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị số nguyên P b) Tìm số nguyên n để P có giá trị nhỏ 102 102 2016 2) Tìm số dư phép chia số B 8 2016 cho Câu (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC=6cm Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD 3cm a) Tính độ dài CD b) Gọi M trung điểm CD Tính độ dài BM c) Biết DAC 120 , Ax , Ay tia phân giác BAC , BAD Tính số đo xAy d) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB không chứa điểm D, vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với tia AB, AC , Ax có tất góc đỉnh A tạo thành ? Vì ? Câu (1,5 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh biểu thức C p 1 p 1 chia hết cho 24 ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) 4) Tính giá trị biểu thức sau : a ) A 44.82 202 18.44 44 82 18 400 44.100 400 4000 17 18 19 20 1 17 18 19 20 b) C 0 28 29 30 31 28 29 30 31 3 1 3 c ) S 3 10 3 3 ( S 10 ) 2 2 2 2 3 6141 S 6 S 10 S 6 10 6 2 1024 1024 2 3 3 d )D 3 1.4 4.7 13.16 13.16 1.4 4.7 1 45 1 3 3 13 16 4 16 16 300 200 5) So sánh hai số sau : A 3 B 5 A 33 100 27100 ; B 52 Q 6) Chứng minh Q 100 25100 ; Do 27100 25100 A B 1 1 1 2 n 1 n với n N , n 2 1 1 2 2 n 1 n 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 (n 1).n 1 1 1 1 Q 1 Q 2 n n n Câu (4,0 điểm) 4) Tìm x biết : x 9 x 12 72 9 x x x x x x x x b) 224 12 20 30 42 56 72 1 1 1 1 x 1 224 x 1 224 8.9 9 3.4 4.5 3 4 224 x 1 1008 x 1009 1 a )72 : x 23 x 5) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 30;39; 42 số dư 11; 20; 23 Gọi số tự nhiên phải tìm x x 19 30, x 19 39, x 19 42 x 19 BC (30;39; 42) BCNN (30;39; 42) 2730 x 19 k 2730 k N Ta có Từ giả thiết suy Vì x số tự nhiên có chữ số nên x 9999 x 19 10018 k 2730 10018 k 1, 2,3 x 2711,5441,8171 Vậy số cần tìm 2711,5441,8171 6) Tìm phân số tối giản biết giá trị khơng đổi ta cộng tử số với cộng mẫu số với a a a 6 Gọi phân số cần tìm b Theo đầu ta có b b a a b b a 8a 6b b Vậy phân số cho Câu (4,0 điểm) 4n 2n 3) Cho biểu thức c) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị số nguyên 4n 4n 2n 5 PZ P Z ma` 2 2n 2n 2n 2n P Z 2n 3 U (5) 1; 5 n 4; 2; 1;1 P d) Tìm số nguyên n để P có giá trị nhỏ 5 2n đạt giá trị nhỏ 2n lớn Vì Suy 2n+3 có giá trị nhỏ mà n Z 2n Z số nguyên dương nhỏ 2n 1 n Vậy với n P có giá trị nhỏ -3 P 2 102 102 2016 4) Tìm số dư phép chia số B 8 2016 cho Ta có : 25 25 8102 84 82 .6 64 .6 64 1 25 2102 24 22 1625.4 ( 6).4 .4 102 102 Từ (1) (2) ta có có tận nên chia hết cho 2016 Số 2016 có chữ số hàng đơn vị nên 2016 có chữ số tận Vậy B chia cho dư Câu (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC=6cm Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD 3cm A C B M D y x e) Tính độ dài CD Vì điểm D thuộc tia đối tia BC nên điểm B nằm hai tia C D, ta có CD BC BD 6 9(cm) f) Gọi M trung điểm CD Tính độ dài BM Vì M trung điểm đoạn CD nên CM MD CD : 4,5(cm) CM < CB nên điểm M nằm hai điểm C B Ta có BC BM CM BM BC CM 6 4,5 1,5(cm) g) Biết DAC 120 , Ax , Ay tia phân giác BAC , BAD Tính số đo xAy 1 xAB BAC Vì Ax tia phân giác góc BAC nên yAB BAD Vì Ay tia phân giác góc BAD nên Vì điểm B nằm hai điểm C D nên tia AB nằm hai tia AC , AD BAC BAD DAC 120 Vì Ax tia phân giác BAC , Ay tia phân giác BAD nên tia AB nằm hai Ax , Ay tia 1 1 1 xAy xAB BAy BAC BAD BAC BAD DAC 60 2 2 h) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB không chứa điểm D, vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với tia AB, AC , Ax có tất góc đỉnh A tạo thành ? Vì ? Ta có n tia gốc A phân biệt (kể tia AB, AC, Ax) Mỗi tia n tia hợp với n tia cịn lại góc Có n+3 tia nên có tất n 3 n góc n 3 n Tính góc tính lần nên có tất góc đỉnh A Câu (1,5 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh biểu thức C p 1 p 1 chia hết cho 24 Vì p số nguyên tố, p > nên p lẻ p không chia hết cho p số lẻ nên p 1; p số chẵn C p 1 p 1 tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho (1) Mặt khác p 1; p; p số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho p 13 C p 1 p 1 3 p Vì p khơng chia hết cho Vì (3,8)=1 nên từ 1 , C 24