Nv 61 bài giảng tự luận khoảng cách và góc đáp án chi tiết (2)

Bài 1.GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH I GÓC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : ax  by  c 0 , d : ax  by  c0 1) Góc d d tính theo cơng thức    n.n cos  d , d     n n    (với n, n theo thứ tự vectơ pháp tuyến d , d ) 2) Góc d d tính theo công thức sau  u.u cos  d , d     u u   u (với , u theo thứ tự vectơ phương d , d ) Hay    n.u sin  d , d     n u     n.n0 d  d     u.u0 3) Câu Cho đường thẳng d : x  y 1 0 , d : x  y  0 Tính cơsin góc đường thẳng ? Lưu ý Lời giải   n (1;1) n d có vtpt ; d có vtpt (2;  1)  n.n  10 cos  d , d       10 n n d:  x 1  2t y 3  t d : 1.1 Cho đường thẳng , Tính cơsin góc đường thẳng ? Lời giải:   d có vtcp u(2;1) ; d có vtcp n(2;  1)  u.u 2 cos  d , d       5.5 5 u u  x 3 y 2  5t 1.2 Cho đường thẳng d :3x  y  0 , d :  x 2  t y 6  t Tính gần góc đường thẳng Lời giải:   d có vtpt n(3;  4) ; d có vtcp n( 1;1)  n.u   sin  d , d         d , d  81 52 n u Câu Cho tam giác ABC có A(0;1), B(3;5), C (2;1) Viết phương trình  đường phân giác d góc BAC Lời giải   AB(3;4), AC (2;0)  AB 5, AC 2    A (0;1) u Vậy d qua có vectơ phương 2 AB  AC (16;8) hay  vectơ pháp tuyến n(1;  2) Trang -1- Lưu ý Vậy d : x  y  0 2.1 Cho hai đường thẳng d: x  y 1 0 d’: x  y  0 Viết phương trình đường phân giác góc đường thẳng d d’ Lời giải d, d’ cắt điểm M ( 1;0)   u (2;  1), u (1;2) d, d’ có vectơ phương    Có u.u0  d  d  có đường phân giác hai đường vng góc với M       u u   a u  u(3;1) vectơ phương đường phân giác (gọi  )  n Chọn (1;  3) vectơ pháp tuyến  Vậy  : x  y 1 0  :3x  y  0 phân giác lại 2.2 Cho hai đường thẳng d :4 x  y  0, d :5x  12 y  0 Viết phương trình đường phân giác góc đường thẳng cho Lời giải d cắt d’ điểm A(1;1) d d có vectơ phương    u(3;  4), u(12;5)    u 5, u 13    u Có u16  nên góc d d’ góc vectơ phương Suy ra đường phân giác có vectơ   đường phương a 13u  5u(99;  27) Chọn vectơ  n pháp tuyến (3;11) Vậy phương trình đường phân giác qua A(1;1) là: 3x 11y  14 0 Câu Cho điểm M (1;2) đường thẳng d: x  0 Viết phương trình đường thẳng d’ qua M cho góc d d’ 60 Lưu ý Lời giải Giả sử d khơng vng góc với trục Ox, có hệ số góc k Phương trình d : y k ( x  1)   kx  y   k 0   n (2;0), n (k ;  1) d,d’ có vectơ pháp tuyến 2k 1 cos  d , d  cos60    k  k 1.2 Vậy phương trình d là: x  y   0 x  y   0 II KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c 0 ta áp dụng công thức sau: d ( M , )  ax0  by0  c a  b2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (1;2) đường thẳng  :3x  y  26 0 Tính khoảng cách từ M đến  Lời giải Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là: Trang -2- Lưu ý d ( M , )  3.1  4.2  26 3 32  42 1.1 Tính khoảng cách từ điểm M (2;  3) đến đường 1.2.Cho đường thẳng qua hai điểm A(1;0), B(0;3) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng thẳng  : x  y  0 AB Lời giải Lời giải Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là: y AB : x  1  3x  y  0  2.( 3)  Đường thẳng d ( M , )   12  22 Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là: 3 10  2 10 1 Lưu ý Câu Tính khoảng cách hai đường thẳng  : x  y 1 0 : x  y  0 d (O, AB)  Lời giải Chọn M ( 1;0)  d (M , )  10 Do  //  nên khoảng cách đường thẳng 2.1 Cho đường thẳng d : x  y  0 điểm M (1;3) Viết phương trình đường thẳng  song song với d cho khoảng cách từ M đến  Lời giải Phương trình đường thẳng  có dạng x  y  m 0 ( m 2 ) d (M , ) 3  4m 3  m 2 (loại)  m  10 (thỏa mãn) Vậy  : x  y  10 0 2.2 Cho đường thẳng d : x  y  0 điểm M (1;0) Viết phương trình đường thẳng  vng góc d cho khoảng cách từ M đến  Lời giải Phương trình đường thẳng  có dạng x  y  m 0 2m m 3 d ( M , )       m  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đk đề bài: x  y  0, x  y  0 Câu Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;  1), C (5;2) Tính diện tích tam giác ABC  Lời giải tham khảo BC (4;3) , BC 5  B (1;  1) n BC Đường thẳng qua có vectơ pháp tuyến (3;  4) nên có phương trình 3x  y  0 Chiều cao tam giác ABC d ( A, BC )    11  32  42 11 S  BC  2 Vậy diện tích tam giác ABC là: Trang -3- Lưu ý 3.1 Cho hình vng ABCD biết B(3;0) đường 3.2 Cho hình thoi ABCD có D(0;2) , đường thẳng thẳng chứa đường chéo AC có phương trình chứa đường chéo AC có phương trình  :4 x  y  0 Tính diện tích hình vuông ABCD  : x  y  0  , góc BAD 60 Tính diện tích hình Lời giải thoi ABCD Có BD 2.d ( B, ) 4 Lời giải S  BD 8 Vậy diện tích hình vng ABCD Có BD 2.d ( D, ) 2 AC 2 Tam giác ABD nên Vậy diện tích hình S  AC.BD 10 Lưu ý Câu Cho hai điểm A(1;2), B(5;4) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ cho khoảng cách từ A, B đến d BD 2 15 thoi ABCD là: Lời giải TH 1: d//AB   AB (4;2)  chọn n (1;  2) vectơ pháp tuyến d, mà d qua O(0;0) nên pt d : x  y 0 TH2: d qua trung điểm AB Gọi I trung điểm AB  I (3;3)  OI (3;3)  chọn vectơ d qua O I nên nhận vectơ phương  pháp tuyến n (1;  1)  d : x  y 0 4.1 Cho điểm A(0;1), B(6;4), C(1;0) Viết phương trình đường thẳng d qua C cho khoảng cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ B đến d, đồng thời A, B nằm khác phía so với d Lời giải   Gọi M thuộc đoạn AB, AM 2MB  M (4;3) 4.1 Cho điểm A(-1;2), B(1;1), C(1;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua C cho khoảng cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ B đến d, đồng thời A, B nằm phía so với d Lời giải   Gọi điểm M thỏa mãn AM 2BM  M (3;0) Chứng minh đường thẳng d qua C M thỏa mãn yêu cầu toán Vậy d nhận CM (3;3) vectơ phương Chọn  n (1;  1) vectơ pháp tuyến Phương trình d: x  y  0 Chứng minh đường thẳng d qua C M thỏa mãn yêu cầu toán  CM (2;1) vectơ phương Chọn Vậy d nhận  n (1;  2) vectơ pháp tuyến Phương trình d: x  y  0 Câu Cho đường thẳng cắt d: x  y 1 0 , d’: x  y  0 Viết phương trình đường phân giác góc nhọn góc tù d d’ Lời giải Gọi M ( x; y) điểm tùy ý thuộc hai đường phân giác x  y 1 x  y  d (M , d ) d (M , d   5 Khi Trang -4- Lưu ý x  y  0    3x  y  0 Vậy phương trình đường phân giác x  y  0, 3x  y  0 5.1 Cho đường thẳng d :7 x  y  0 5.2 Cho tam giác ABC có A(1;4), B( 1;0), C (5;2) d :7 x  y  0 Viết phương trình đường thẳng  Trong đường thẳng cách đỉnh A, B,C , viết phương trình đường thẳng vng góc với đường thẳng cách đường thẳng d , d  :3x  y  0 Lời giải Gọi M ( x; y) điểm tùy ý thuộc  Khi Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm d Khi d đường 7x  y  7x  y  d (M , d ) d (M , d    trung bình tam giác ABC  50 50 n   x  y  0 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến  (3;1)   :7 x  y   n d    d Vậy Do nhận  (3;1) vectơ phương   BC  (6;2) n Nhận thấy phương với  (3;1) nên d qua trung điểm I AB , I (0;2)  I (0;2) n d Vậy qua , vectơ pháp tuyến (1;  3)  d : x  y  0 Câu Cho điểm I (3;2) đường thẳng  : x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C) tâm I tiếp xúc với  Lưu ý Lời giải R d ( I , )  10 Vậy phương trình đường trịn (C ):  x  3 ²   y  2 ²  10 6.1 Cho đường tròn (C ) :  x  5 ²   y 1 ² 10 6.2 Cho đường tròn (C ):  x  2 ²  y² 5 điểm đường thẳng d : x  y  18 0 Viết phương trình M (7;0) Viết phương trình đường thẳng  qua M đường thẳng  song song với d tiếp xúc với tiếp xúc với (C ) đường tròn (C ) Lời giải Lời giải (C ) có tâm I (2;0), R  (C ) có tâm I (5;  1), R  10 Phương trình  có Nhận thấy  khơng vng góc với trục Ox nên gọi dạng phương trình Ox là: y k ( x  7)  kx  y  7k 0 d : x  y  m 0 (m  18) 2k  7k d ( I ,  )  R    k  8m m   2 k 1 d ( I , ) R   10   m  18 ( l ) 10  Có Vậy 1 : x  y  0,  : x  y  0  : x  y   Vậy 6.3 Cho điểm I ( 1;3) đường thẳng 6.4 Cho đường tròn (C ) có tâm I (3;1) , bán kính  : x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C ) R  13 đường thẳng d : x  y  0 Gọi  tâm I , cắt đường thẳng  tho dây cung đường thẳng vng góc với d , cắt (C ) điểm AB 3 A, B cho diện tích tam giác IAB lớn Viết Lời giải phương trình đường thẳng  Trang -5- AB  d d (I , )   R    d 17 2   Có Vậy (C ):  x  1 ²   y  3 ²  17 Lời giải Có IA IB R 1 SIAB  R sin AIB  R   SIAB  max  R 2 2  AIB 90  AB R  26 Do   d   :5 x  y  m 0 14  m h d ( I , )  26 m  AB  (14  m)2 26 h   R   13    26   14  m  27 Vậy 1 :5x  y  0,  :5 x  y  27 0 Câu Cho điểm A(3;1) , B(5;0) Viết phương trình đường thẳng d qua B cho khoảng cách từ A đến d lớn Lời giải tham khảo Gọi H hình chiếu A d, có d ( A, d )  AH  AB Vậy  d ( A, d )Max H trùng với B, nghĩa AB(2;  1) vtpt d Vậy d :2 x  y  10 0 Trang -6- Lưu ý