22 2 2 a bài giảng tự luận hàm số bậc nhất đáp án chi tiết

Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số đồng biến a  nghịch biến a  Bảng biến thiên x y = ax + b (a > ) +¥ +¥ - ¥ - ¥ x y = ax + b (a < ) - ¥ +¥ +¥ - ¥ Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đường thẳng không song song không trùng với trục ổb Aỗ - ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố a ø y = ax tọa độ Đường thẳng song song với b 0 cắt trục hoành trục tung B  0; b  Hàm số y b · TXĐ: D = ¡ · Hàm số hàm số chẵn · Đồ thị hàm số đường thẳng song song trùng với trục hoành cắt trục tung điểm có tọa độ  0;b  y x Hàm số · TXĐ: D = ¡ · Hàm số y x hàm số chẵn  0;  nghịch biến khoảng   ;0  Hàm số số đồng biến khoảng Chú ý: · Phương trình x = a đường thẳng (nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a · · M ( x0;y0 ) Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm , phương trình đường thẳng d là: y - y0 = a ( x - x0 ) B – BÀI TẬP Dạng tốn Tính đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp: + Hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đồng biến a  nghịch biến a  y  ax  b + Hàm số Trang-1- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT b  x  ax  b a y  ax  b  b    ax  b  x   b  ;     a a nghịch biến khoảng   b    ;    a  Câu Giá trị đồng biến khoảng Lưu ý y  m  1 x  m  k hàm số nghịch biến tập xác định? Lời giải tham khảo Hàm số nghịch biến tập xác định m    m  1.2 Với giá trị m hàm số y  m  1 x  2m  1.1 Cho hàm số Tìm m để y  m  1 x  đồng biến  ? hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi  ? Lời giải Lời giải y  m  1 x  + Điều kiện để hàm số đồng biến: Hàm số đồng biến m    m 1  m 1   m   + Điều kiện để hàm số nghịch biến: m    m 1 + Điều kiện để hàm số không đổi biến: m  0  m 1 y  m   x  f  x   m  1 x  1.3 Cho hàm số Với giá trị 1.4 Cho hai hàm số  m hàm số đồng biến ? Nghịch g  x  mx  , với m 0 Chứng minh rằng: biến  ? f  x , f  x  g  x , f  x  g  x Lời giải a Các hàm số y  m   x  hàm đồng biến  Hàm số đồng biến   m 0  m  g  x  f  x b Hàm số hàm nghịch biến  y  m   x  Hàm số nghịch biến Lời giải   m 20  m2 a Ta xét: f  x  Hàm số có hệ số a m   hàm đồng biến  Hàm số: f  x   g  x   m  1 x   mx   m  m  1 x  2 1  a m2  m   m     2  có hệ số: đó, hàm đồng biến  Hàm số: Trang-2- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT f  x   g  x   m  1 x    mx    m  m  1 x  1  a m  m   m     2  có hệ số: đó, hàm đồng biến b Hàm số: g  x   f  x  mx     m  1 x     m  m  1 x  y x Câu Lập bảng biến thiên hàm số Lời giải tham khảo ïì x - x ³ y = x - = ïí ïï - x x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y y   2x  2.1.Lập bảng biến thiên hàm số Lời giải ïì - 2x + x ³ y = - 2x + = ïí ïï 2x - x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x +¥ - ¥ +¥ +¥ y   3 a   m  m  1    m          có hệ số: đó, hàm nghịch biến Lưu ý +¥ +¥ 2.2 Lập bảng biến thiên hàm số ìï - x + x ³ ïï y = ïí x - - < x < ïï ïïỵ - 3x - x £ - Lời giải Bảng biến thiên x - 2 - ¥ +¥ +¥ y -3  Dạng toán Xác định hàm số bậc Phương pháp: Để xác định hàm số bậc ta sau: Gọi hàm số cần tìm y ax  b, a 0 Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương a,b trình với ẩn , từ suy hàm số cần tìm Trang-3- Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(1;3), B (2;- 1) Lưu ý Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm A Ỵ d B Ỵ d Vì nên ta có hệ phương trình ïìï = a + b ïì a = - Û ïí í ïï - = 2a + b ïï b = ỵ ỵ y = 4x + Vậy hàm số cần tìm 1.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua C (1;1), D(3;- 2) Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm C Ỵ d D Ỵ d Vì nên ta có hệ phương trình ìï ïï a = - ìï = a + b ïí Û íï ïï - = 3a + b ïï î ïï b = î y=- x+ 2 Vậy hàm số cần tìm 1.3 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua G (1;3), H(3;1) Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm G Ỵ d H Ỵ d Vì nên ta có hệ phương trình ïìï = a + b ïì a = - Û ïí í ïï = 3a + b ïï b = ỵ î y = - x + Vậy hàm số cần tìm 1.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d E (0;2), F( ;0) Tìm hàm số biết: d qua Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm E Ỵ d F Ỵ d Vì nên ta có hệ phương trình ìï = 0.a + b ïï ïì a = - Û íï í ïï = a + b ïï b = ỵ ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = - 5x + 1.4 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua I (12;- 3), K(8;- 3) Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm I Ỵ d K Ỵ d Vì nên ta có hệ phương trình ïìï - = 12a + b ïì a = Û ïí í ïï - = 8a + b ïï b = - î î y = Vậy hàm số cần tìm Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(3;- 2) song song với D : 3x - 2y + = Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm ìï ïï a = ï í ïï D :y = x+ ï b¹ (1) 2 Vì d / / D nên ïỵ Ta cú Mt khỏc A ẻ d ị - = 3a + b (2) Trang-4- Lưu ý Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 d d Khi đó: song song ìï a = a2 Û ùớ ; ùù b1 b2 ợ Toỏn t luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT ìï ïï a = ï í ïï ïb=Từ (1) (2) suy ïỵ 13 13 y = x2 Vậy hàm số cần tìm 2.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường 2.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d B (1 ;1 ) thẳng d Tìm hàm số biết: d qua Tìm hàm số biết: d qua C (- 1;- 1) song song song song với Ox với Ox Lời giải Lời giải y = ax + b,a ¹ y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Gọi hàm số cần tìm ìï a = ìï a = ïí ïí Ox : y = d / /Ox ïï b ¹ ï b¹ Ta có Vì nên ỵ (1) Ta có Ox : y = Vì d / /Ox nên ỵï (1) B ẻ d ị = a + b C ẻ d ị = a + b Mt khác (2) Mặt khác (2) ìï a = ìï a = ïí ïí ïï b = ïb=- Từ (1) (2) suy ỵ Từ (1) (2) suy ỵï Vậy hàm số cần tìm y = Vậy hàm số cần tìm y = - 2.3 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua D(2;- 2) song song với D : x - y + = Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm ïìï a = í ïb¹ D : y = x + d / / D Ta có Vì nờn ùợ (1) Mt khỏc D ẻ d ị - = 2a + b (2) ìï a = ïí ïb=- Từ (1) (2) suy ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = x - 2.4 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua E (- 1;- 5) song song với D : 2x - y - = Lời giải Gọi hàm số cần tìm ìï a = ïí ïb¹ - Ta có D : y = 2x - Vì d / / D nờn ùợ (1) Mt khỏc E ẻ d Þ - = - a + b (2) ìï a = ïí ïb=- Từ (1) (2) suy ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = 2x - Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số A 2;- 1) biết: d qua ( d ^ d ' với d ' : y = 4x + Gọi hàm số cần tìm Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ A ( 2;- 1) nên - = 2a + b (1) 1 d ^ d ' Þ 4.a = - Û a = b=4 thay vào (*) ta Và 1 y =- x4 Vậy hàm số cần tìm Đường thẳng d qua Trang-5- y = ax + b,a ¹ Lưu ý Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 d d Khi đó: vng góc Û a1.a2 = - Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 3.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d B 1;- 1) d ^ d ' Tìm hàm số biết: d , qua ( d ' : y = x + với Lời giải y = ax + b,a ¹ B 1;- 1) Đường thẳng d qua ( nên: - = a + b (1) Và d ^ d ' Þ - 1.a = - Û a = thay vào (1) ta b = - Vậy hàm số cần tìm y = x - Gọi hàm số cần tìm 3.2 Tìm hàm số bậc biết đồ thị hàm số C - 1;- 5) đường thẳng d qua ( d ^ d ' với d ' : y = 2x - Lời giải Gọi hàm số cần tìm y = ax + b,a ¹ C - 1;- 5) Đường thẳng d qua ( nên: - = - a + b (1) Và d ^ d ' Þ 2.a = - Û a = - b=- thay vào (1) ta 11 Vậy hàm số cần tìm Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số A - 1;1) biết d qua điểm ( có hệ số góc - y=- 11 x2 Lưu ý Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Đường thẳng d có hệ số góc   a  A 2;- 1) Đường thẳng d qua ( nên - = 2a + b mà a  nên: - = 2a + b Þ - = 2.( - 3) + b Þ b = y = x + Vậy hàm số cần tìm 4.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d B 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( có hệ số góc Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm  a  Đường thẳng d có hệ số góc B 1;- 3) Đường thẳng d qua ( nên - = a + b mà a 2 nên: - = a + b Þ - = + b Þ b = - Vậy hàm số cần tìm y = 2x - 4.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d C - 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( có hệ số góc - Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm   a  Đường thẳng d có hệ số góc C - 1;- 3) Đường thẳng d qua ( nên - = - a + b mà a 2 nên: - = - a +b Þ - = - 2+b Þ b = - Vậy hàm số cần tìm y = - 2x - Dạng toán Bài toán tương giao Phương pháp: · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 Khi đó: ïì a = a2 Û ïí ; ïï b1 = b2 d d ỵ a) trùng Trang-6- Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT ìï a1 = a2 Û ïí ; ïï b1 ¹ b2 d d ỵ b) song song ìï y = a1x + b1 ïí d d Û a1 ¹ a2 Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình ïïỵ y = a2x + b2 c) cắt d d Û a1.a2 = - d) vng góc d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + Lưu ý Câu Cho hai đường thẳng ( m tham số) d, d ' a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm chúng d,d ' b) Tìm m để ba đường thẳng d " : y = - mx + phân biệt đồng quy Lời giải tham khảo a = ¹ ad ' = suy hai đường thẳng d, d ' cắt a) Ta có d d, d ' Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương ïìï y = x + 2m ïì x = m - Û ïí í d, d ' ï y = 3x + ïï y = 3m - ỵ trình ỵï suy cắt M ( m - 1;3m - 1) d, d ', d " b) Vì ba đường thẳng đồng quy nên M Ỵ d " ta có ém = 3m - = - m( m - 1) + Û m2 + 2m - = Û ê êm = - ê ë · Với m = ta có ba đường thẳng d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân biệt đồng M 0;2) quy ( m = · Với ta có d ' º d " suy m = - không thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm 1.1 Cho hai đường thẳng: d : y = ( m - 1) x + m 1.2 Cho đường thẳng d : y = - x + 1, d ' : y = 3x + d ' : y = ( m - 1) x + Tìm m để hai đường d, d ' d, d ' Chứng minh hai đường thẳng cắt thẳng song song với tìm tọa độ giao điểm chúng Lời giải Lời giải d : y = 1, d ' : y = m = Với ta có hai Ta có hệ số góc hai đường thẳng đường thẳng song song với (1) d : y = - 2x - 1, d ' : y = ad = - ¹ ad ' = d, d ' Với m = - ta có suy suy hai đường thẳng ỉ ct Mỗ - ;6ữ ữ ỗ ữ ỗ d, d ' è ø M Gọi giao điểm hai đường thẳng Tọa hai đường thẳng cắt d, d ' Với m ¹ ±1 hai đường thẳng đồ thị độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm Trang-7- Tốn tự luận hệ phương trình: BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT ïìï ïí y = - x + Û ïï y = 32 x +5 ỵï ìï ïï x = - ï í ïï 11 ùù y = ợ ổ 11ữ ç M ; ÷ ç ÷ d, d ' ç Suy cắt è 7 ø hàm số bậc nên song song với ïìï ém = ìï m - = m2 - ém = ïê ïí ê m = Û ïí ê Û ê êm = ùù ùù mạ ợ m ïïỵ Đối chiếu với điều kiện m ¹ ±1 suy m = 0(2) Từ (1) (2), suy m = m = giá trị cần tìm 1.3 Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + phân biệt đồng quy Lời giải a = ¹ ad ' = - suy hai đường thẳng Ta có d d, d ' cắt d, d ' Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: ìï y = 2x ìï x = ïí Û ïí d, d ' ïï y = - x + ïï y = ỵ ỵ suy cắt M ( 2;4) d, d ', d " Vì ba đường thẳng đồng quy nên M Ỵ d " ta có: = 2m + m + ém = - ê Û 2m + m - = Û ê êm = ê ë · Với m = - ta có ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = x + M 2;4) phân biệt đồng quy ( m= ta có ba đường thẳng · Với d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = 13 x+ 4 M 0;2) phân biệt đồng quy ( m= giá trị cần tìm Vậy m = - Câu Cho hàm số y = - 3x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải tham khảo A  2;0  ; B  0;6  Giao điểm d với trục hoành, trục tung Trang-8- Lưu ý Tốn tự luận Ta có: BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT OA 2, OB 6 1 SOAB  OA.OB  2.6 6 2 Diện tích tam giác vuông OAB là: (đvdt) 2.1 Cho hàm số y = - 2x - có đồ thị đường d 2.2 Cho hàm số y = x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải Lời giải Giao điểm d với trục hoành, trục tung Giao điểm d với trục hoành, trục tung A   2;0  ; B  0;   Ta có: OA 2, OB 4 A   4;0  ; B  0;  Ta có: OA 4, OB 4 Diện tích tam giác vng OAB là: Diện tích tam giác vng OAB là: 1 SOAB  OA.OB  2.4 4 2 (đvdt) Dạng toán Đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải * Đồ thị hàm số y ax  b 1 SOAB  OA.OB  4.4 8 2 (đvdt) Để vẽ đồ thị hàm số y ax  b ta cần xác định giao điểm phân biệt đường thẳng * Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối C y = ax + b Vẽ đồ thị ( ) hàm số b  x  ax  b a y  ax  b    ax  b  x   b  a Ta có: C Phương pháp 1: Vẽ ( ) đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị cho hoành độ x thỏa mãn b b x³ x suy hàm số đồng biến ¡ D = ¡ TXĐ: , Bảng biến thiên x +¥ - ¥ Lưu ý +¥ y = 3x + - ¥ y = 3x + qua Đồ thị hàm số y -2 -1 O x A ( - 2;0) , B ( - 1;3) 1.1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1.2 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2 x  y=- x+ Lời giải 2 TXĐ: D = ¡ , a = > suy hàm số đồng biến Lời giải ¡ x +¥ - ¥ a=-