Tài liệu lý thuyết và bài tập tự luyện ôn tập kiểm tra học kỳ 2 giải tích lớp 12 trần thông file word có đáp án chi tiết doc

1 A.TÍCH PHÂN PHẦN 1: TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.Ngun hàm 1.Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K, F'(x) = f(x), với x  K Định lý Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f(x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f(x) f(x)dx F(x)  C , F(x) nguyên hàm f(x), C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp kdx=kx  C, k  R dx  x 1  C(  1) 1 dx x ln x  C(x 0) dx  x 2 x  C x x e dx e  C x  Nguyên hàm hàm số hợp u=u(x) kdu=ku  C, k  R du  u 1  C(  1) 1 du u ln u  C(x 0) du  u 2 u  C u u e du e  C u  ax a dx  ln a  C(0  a 1) cos xdx sin x  C au a du  ln a  C(0  a 1) cosu du sinu C sin xdx  cos x  C sinudu  cosu C x dx cos dx tan x  C;   cot x  C x sin x u du cos dx tanu C;   cotu C u sin x Ngoài cịn số cơng thức thường gặp (ax  b)k 1 (ax  b) dx  a k   C,(a 0, k  1); ax  b ax  b e dx  e  C;  a sin(ax  b)dx  a cos(ax  b)  C k 1 ax  b dx  a ln ax  b  C,a 0 cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C  a Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F(x), G(x) tương ứng nguyên hàm f(x), g(x) a f '(x)dx f(x)  C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx F(x) G(x)  C ; c a.f(x)dx a f(x)dx=aF(x)+C(a 0) b Một số phương pháp đổi nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức f(u)du F(u)  C f[u(x)]dx F[u(x)]  C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: Dạng P(x).e ax  b dx, P(x)sin(ax  b)dx, P(x)cos(ax  b)dx Cách giải: Đặt u = P(x), dv eax  bdx (dv = sin(ax+b)dx, dv = cos(ax+b)dx) Dạng P(x)ln(ax  b)dx Cách giải: Đặt u = ln(ax+b), dv = P(x)dx II Tích phân Định nghĩa Cho hàm f(x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F(x) nguyên hàm f(x) hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân f(x) từ a đến b ký hiệu b b a a f(x)dx Trong trường hợp a < b f(x)dx tích phân f [a;b] Tính chất Cho hàm số f(x), g(x) liên tục K a,b,c ba số thuộc K a  f(x)dx 0  a b  b f(x)dx f(x)dx  f(x)dx a  c a  c b b b a a a b a a b f(x)dx  f(x)dx b b a a k.f(x)dx k f(x)dx [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx Một số phương pháp tính tích phân  Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số b u(b) a u(a) f[u(x)]u'(x)dx  f(u)du Trong f(x) hàm số liên tục u(x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f[u(x)] xác định J; a, b  J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách 1: Đặt ẩn phụ u = u(x) (u hàm x) Cách 2: Đặt ẩn phụ x = x(t) (x hàm số t) Đối với ngun hàm nói chung tích phân nói riêng cần ý số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ sau : Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hàm f (x, (x)) Đặt t (x) Hàm f (x, n (x), m (x)) Đặt t mn (x) Hàm f (x)  a sin x  b cos x csin x  d cos x  e Đặt t tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t = sin x Hàm chẵn với sinx cosx t = tan x a x     x  a sin t,  t    x  a cos t, t   a   ,  t  ; t 0 x  sin t 2  a   , t ; t  x  cos t      x  a tan t,   t    x  a cot t,  t   x2  a2 x2  a2 ax a x a x ax Đặt x = a cos 2t (x  a)(b  x) Đặt x a  (b  a) sin t Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u(x), v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a,b hai số thuộc K b b b u(x)v '(x) dx u(x)v(x)  v(x)u '(x) dx  a a a Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng  Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a ;b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = b f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S f (x) dx a  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b b S f (x)  g(x) dx a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải "phá" dấu giá trị tuyệt đối b a  Nếu f (x) 0;  x  [a; b ] S f (x) dx f (x)dx a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b b  Nếu f (x) 0;  x  [a; b ] S f (x) dx  (f (x))dx a a Chú ý: Muốn "phá" dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau: - Cách 1: Dùng định lí "dấu nhị thức bậc nhất", định lý "dấu tam thức bậc hai" để xét dấu biểu thức f(x); phải giải bất phương trình f (x) 0, f (x) 0 đoạn [a;b] - Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) đoạn [a;b] để suy dấu f(x) đoạn Nếu đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "trên" trục hồnh f (x) 0;  x  [a; b ] Nếu đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "dưới" trục hồnh f (x) 0;  x  [a; b ] b b - Cách 3: Nếu f(x) khơng đổi dấu [a;b] ta có S f (x) dx  f (x)dx a a  Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox b điểm a, b V S(x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng a vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  [a; b] S(x) hàm liên tục  Tính thể tích khối trịn xoay  Hàm số y = f(x) liên tục không âm [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hồnh tạo nên khối trịn xoay Thể b tích V tính cơng thức V f (x)dx a  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục tung hai đường thẳng y = c, y = d quay d quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính cơng thức V g (y)dy c PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ 2 x dx Bài 1: Tính tích phân I  x  7x  12 Hướng dẫn: I (1  16  )dx (x  16 ln x   ln x  ) 1  25ln  16ln x x dx Bài 2: Tính tích phân I  x  x3 1 1 x    Hướng dẫn: Ta có x (x  1) x x x 1 1 3    I   ln x   ln(x  1)   ln  ln  2x 2  1 xdx Bài 3: Tính tích phân I  (x  1) Hướng dẫn: x x 1  1  (x  1)   (x  1)   I  (x  1)   (x  1)   dx  Ta có: 3 (x  1) (x  1) (x  1) dx Bài 4: Tính nguyên hàm I  (2x  1)  x1  Hướng dẫn: Ta có: f (x)     2x   x7 dx Bài 5: Tính tích phân I  (1  x )5 ' 1 x   x     I   C  2x 1   2x   2 Hướng dẫn: Đặt t 1  x  dt 2xdx  I  (t  1)3 1 dt   21 t Bài 6: Tính tích phân I x (1  x ) dx  dt  t t8  Hướng dẫn: Đặt t 1  x  dt  3x dx  dx   I  t (1  t)dt      3x 30   168 Bài 7: Tính tích phân I x (1  x ) dx  dt  t t8  Hướng dẫn: Đặt t 1  x  dt  3x dx  dx   I  t (1  t)dt      3x 30   168 x 2001 I  dx Bài 8: Tính tích phân  1002 1 x  Hướng dẫn: Ta có: I  x 2000 2xdx 2 2000 2 Đặt t 1  x  dt 2xdx 2 (1  x ) (1  x ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 (t  1)1000   I   1000 dt    21 t t 1 1  t 1000  d 1  1  t  2002.21001 1 x 1 dx  x  x 1 1 1 2 x 1 1   x  Hướng dẫn: Ta có Đặt t x   dt    dx x  x 1 x   x  x  x Bài 9: Tính tích phân I   dt  I  Đặt t tan u  dt  du  I  du    t 1 cos u Dạng 2: Tích phân hàm vơ tỷ x dx Bài 1: Tính nguyên hàm I  3x  9x  x dx x(3x  Hướng dẫn: Ta có I  3x  9x  Lại có I1 3x dx x  C1 9x  1)dx 3x 2dx  x 9x  1dx 1 I x 9x  1dx   9x  1d(9x  1)  (9x  1)  C 18 27  I  (9x  1)  x  C 27 Bài 2: Tính nguyên hàm I  Hướng dẫn: Ta có Lại có: I1   x  x2  x  1 x x x2  x 1 x x 1 x x dx  dx x2 1 x x dx   x 1 x x dx dx Đặt t   x x  t  x x  x (t  1)2  x 2dx= t(t  1)dt  4 4  3 (t  1)dt  t  t  C    x x    x x  C1 Đối với I   x 1 x x dx  d(1  x x)   x x  C2  1 x x 3 Vậy I    x x   C 9  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 3: Tính tích phân I  3 x x 1  x  dx Hướng dẫn: 2 2t  8t dt (2t  6)dt   dt   ln Đặt t  x   2tdu dx  I  t 1 t  3t  1 Bài 4: Tính tích phân I  2x2  x   x 1 dx x  t  x t   dx 2tdt Hướng dẫn: Đặt 2  4t  54 2(t  1)  (t  1)   I  2tdt 2 (2t  3t )dt   2t   t 1  1 Bài 5: Tính tích phân I  x x2  3x  dx Hướng dẫn: Đặt t  3x   dx  3tdt  t2    1  2tdt   I     t  9 t  t 4 t  100 t   ln   ln t  27 2 Bài 6: Tính tích phân I  (x  1) 2x  x dx  1 0 2 Hướng dẫn: I (x  1) 2x  x dx (x  2x  1) 2x  x (x  1)dx 15 2x3  3x  x Đặt t  2x  x  I  Bài 7: Tính tích phân I   x  x 1 dx Hướng dẫn: 1  x   x2  x   x2 1  dx   dx     dx   2 2x  1 x   (1  x)  (1  x ) 1 Ta có: I  1  1  x2 dx 2x 1 1  1 + I1    1 dx   ln x  x   1 x  1 + I2   1 t 2dt  x2 2 0 dx Đặt t   x  t 1  x  2tdt 2xdx  I   2(t  1) 2x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy I = Bài 8: Tính tích phân I   x2 dx x  Hướng dẫn: Ta có: I   x2 xdx Đặt t   x  t 4  x  tdt  xdx x2  0  t( tdt) t2 t   I   dt  (1  )dt  t  ln   t   t  t 2   t2  3 3  2      ln      x2 I  dx Bài 9: Tính tích phân  2 (1   x ) (2   x)  Hướng dẫn: Đặt   x t  I   2t  16   Bài 10: Tính tích phân I  dx (1  x ) 3 3 42 36    dt  12  42 ln t t  Hướng dẫn: Đặt t   x  I   x3 2 dt dt   3 t (t  1) t (t  1)  t2 3 =  dt    t2  t3     t    dt   1 1  t    dt t  3 t4 1   t    3dt u 1 Đặt u 1   du   I  du  u du   30 3 t t    2  u3  1 1  u  0   2 x4 I dx Bài 11: Tính tích phân  1  x  x  x 1   Hướng dẫn: Đặt t  x  3 3 (t  1)2 t  2t  1 19  4   I  dt  dt t 2dt   dt   ln     t  t  t   2 2   27 Bài 12: tính tích phân I  x x  x dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn: 3   t3  2t   5 Đặt t  x  I 5  dt 5      dt 5    ln   t t  t  1  12  t(t  1)  2 Bài 13: Tính tích phân I  (x  x )  x dx  2 2 2 2 Hướng dẫn: I  (x  x )  x dx  x  x dx  x  x dx A  B   2 2 + Tính B = x 2  x dx Đặt t = -x Tính A =  x dx Đặt x = 2sint Tính B 2 x + Tính A =  2 2 Vậy: I 2 3 Bài 14: Tính tích phân I   Hướng dẫn: I  + Tính I1  + Tính I    I2   2 dx   2x 2x dx     x dx 2x 4  x dx 2x 4 x dx   21 16  x2 dx Đặt x = 2sint  dx = 2costdt 2x   6 cos tdt 1    cot t dt  cot t.d(cot t)        sin t 8 8  sin t  (7  3) 16 Vậy: I  Bài 15: Tính tích phân I   x  1dx  x  u  x  du  dx   Hướng dẫn: Đặt  x 1 dv dx v x  3  x   x x 1  x dx 5   x2    dx 2 x2  x    http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 = 2   I x  1dx   dx x2  5   ln x  x   ln(  1)  ln 2 Dạng 3: Tích phân hàm lượng tam giác 8cos2 x  sin 2x  Bài 1: Tính nguyên hàm I  dx sin x  cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word