22 2 2 a bài giảng tự luận hàm số bậc nhất in cho học sinh

Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số đồng biến a  nghịch biến a  Bảng biến thiên x y = ax + b (a > ) x +¥ +¥ - ¥ y = ax + b (a < ) - ¥ - ¥ +¥ +¥ - ¥ Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đường thẳng khơng song song khơng trùng với ỉb Aỗ - ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ trc ta độ Đường thẳng song song với y = ax b 0 cắt trục hoành è a ø trục tung B  0; b  Hàm số y b · TXĐ: D = ¡ · Hàm số hàm số chẵn · Đồ thị hàm số đường thẳng song song trùng với trục hoành cắt trục tung điểm có tọa độ  0;b  y x Hàm số · TXĐ: D = ¡ · Hàm số y x hàm số chẵn  0;  nghịch biến khoảng   ;0  Hàm số số đồng biến khoảng Chú ý: · Phương trình x = a đường thẳng(nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M ( x0;y0 ) , phương trình đường thẳng d · là: y - y0 = a ( x - x0 ) B – BÀI TẬP Dạng tốn Tính đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp: + Hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đồng biến a  nghịch biến a  + Hàm số y  ax  b Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-1- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT b  x  ax  b a y  ax  b    ax  b  x   b  a nghịch biến khoảng b   b    ;     ;   a  đồng biến khoảng  a   Giá trị Lưu ý Câu y  m  1 x  m  k hàm số nghịch biến tập xác định? Lời giải tham khảo Hàm số nghịch biến tập xác định m    m  1.2 Với giá trị m hàm số y  m  1 x  2m  1.1 Cho hàm số Tìm m để y  m  1 x  đồng biếntrên  ? hàm sốđồng biến, nghịch biến, không đổi  ? Lời giải Lời giải y  m   x  f  x   m2  1 x  1.3 Cho hàm số Với giá trị 1.4 Cho hai hàm số  m hàm số đồng biến ? Nghịch g  x  mx  , với m 0 Chứng minh rằng:  biến ? f  x , f  x  g  x , f  x  g  x a Các hàm số Lời giải hàm đồng biếntrên  g  x  f  x b Hàm số hàm nghịch biếntrên  Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-2- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y x Câu Lập bảng biến thiêncủa hàm số Lời giải tham khảo ïì x - x ³ y = x - = ïí ïï - x x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y Lưu ý +¥ +¥ y   2x  2.1 Lập bảng biến thiêncủa hàm số Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-3- 2.2 Lập bảng biến thiêncủa hàm số ìï - x + x ³ ïï y = ïí x - - < x < ïï ïïỵ - 3x - x £ - Lời giải Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Dạng toán Xác định hàm số bậc Phương pháp: Để xác định hàm số bậc ta sau: Gọi hàm số cần tìm y ax  b, a 0 Căn theo giả thiết tốn để thiết lập giải hệ phương trình với ẩn a,b , từ suy hàm số cần tìm Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(1;3), B (2;- 1) Lưu ý Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì A Î d B Î d nên ta có hệ phương trình ìï = a + b ïí Û ïï - = 2a + b ỵ ìï a = - ïí ïï b = ỵ Vậy hàm số cần tìm y = - 4x + 1.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua C (1;1), D(3;- 2) Lời giải 1.3 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua G (1;3), H(3;1) Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-4- 1.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d E (0;2), F( ;0) Tìm hàm số biết: d qua Lời giải 1.4 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua I (12;- 3), K(8;- 3) Lời giải Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Lưu ý Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số Cho hai đường thẳng: biết: d qua A(3;- 2) song song với D : 3x - 2y + = d1 : y = a1x + b1 Lời giải tham khảo Gọi hàm số cần tìm y = ax + b,a ¹ d2 : y = a2x + b2 d d Khi đó: song songnhau ìï a = a2 ùớ ; ùù b1 b2 ợ ìï ïï a = ï í ïï D :y = x+ ï b¹ (1) 2 Vì d / / D nên ïỵ Ta cú Mt khỏc A ẻ d ị - = 3a + b (2) ìï ïï a = ï í ïï ïb=Từ (1) (2) suy ïỵ y= 13 13 x2 Vậy hàm số cần tìm 2.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua B (1;1) song song 2.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua C (- 1;- 1) song với Ox Lời giải 2.3 d qua D(2;- 2) song song với song với Ox Lời giải 2.4 d qua E (- 1;- 5) song song với D : x - y +1= D : 2x - y - = Lời giải Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-5- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Lưu ý Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số Cho hai đường thẳng: A 2;- 1) biết: d qua ( d ^ d ' với d ' : y = 4x + d1 : y = a1x + b1 Lời giải tham khảo d2 : y = a2x + b2 y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm d d Khi đó: vng góc A 2;- 1) Đường thẳng d qua ( nên - = 2a + b (1) Û a1.a2 = - 1 d ^ d ' Þ 4.a = - Û a = b=4 thay vào (*) ta Và 1 x4 Vậy hàm số cần tìm 3.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d y=- Tìm hàm số biết: d qua với d ' : y = - x + B ( 1;- 1) d ^ d ' Lời giải 3.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua với d ' : y = 2x - C ( - 1;- 5) d ^ d ' Lời giải Lưu ý Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số A - 1;1) biết d qua điểm ( có hệ số góc - Gọi hàm số cần tìm Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-6- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Đường thẳng d có hệ số góc   a  A 2;- 1) Đường thẳng d qua ( nên - = 2a + b mà a  nên: - = 2a + b Þ - = 2.( - 3) + b Þ b = Vậy hàm số cần tìm y = - 3x + 4.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d B 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( có hệ số góc Lời giải Dạng toán Bài toán tương giao 4.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d C - 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( có hệ số góc - Lời giải Phương pháp: · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 Khi đó: ìï a1 = a2 Û ïí ; ïï b1 = b2 d d ỵ a) trùng ìï a = a2 Û ïí ; ïï b1 ¹ b2 d d ỵ b) song song ïìï y = a1x + b1 í ï y = a2x + b2 d d Û a ¹ a Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình ïỵ c) cắt d d Û a1.a2 = - d) vng góc d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + Lưu ý Câu Cho hai đường thẳng ( m tham số) d, d ' a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm chúng Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-7- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT b) Tìm m để ba đường thẳng đồng quy d,d ' d " : y = - mx + phân biệt Lời giải tham khảo a) Ta có ad = ¹ ad ' = suy hai đường thẳng d, d ' cắt Tọa độ giao điểm hai đường thẳng ìï y = x + 2m ïí Û ïï y = 3x + trình ỵ M ( m - 1;3m - 1) d, d ' nghiệm hệ phương ìï x = m - ïí d, d ' ïï y = 3m - ỵ suy cắt b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có ém = 3m - = - m( m - 1) + Û m2 + 2m - = Û ê êm = - ê ë · Với m = ta có ba đường thẳng d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân biệt đồng M 0;2) quy ( · Với m = - ta có d ' º d " suy m = - không thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm 1.1 Cho hai đường thẳng: d : y = ( m - 1) x + m 1.2 Cho đường thẳng d : y = - x + 1, d ' : y = 3x + d ' : y = ( m - 1) x + Tìm m để hai đường d, d ' d, d ' Chứng minh hai đường thẳng cắt thẳng song song với tìm tọa độ giao điểm chúng Lời giải Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-8- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.3 Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + phân biệt đồng quy Lời giải Câu Cho hàm số y = - 3x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải tham khảo A  2;0  ; B  0;6  Giao điểm d với trục hoành, trục tung Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-9- Lưu ý Toán tự luận Ta có: BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT OA 2, OB 6 1 SOAB  OA.OB  2.6 6 2 Diện tích tam giác vng OAB là: (đvdt) 2.1 Cho hàm số y = - 2x - có đồ thị đường d 2.2 Cho hàm số y = x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải Dạng toán Đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải * Đồ thị hàm số y ax  b Lời giải Để vẽ đồ thị hàm số y ax  b ta cần xác định giao điểm phân biệt đường thẳng C y = ax + b * Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Vẽ đồ thị ( ) hàm số b  x  ax  b a y  ax  b    ax  b  x   b  a Ta có: Phương pháp 1: Vẽ x³ - ( C1) đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị cho hoành độ x thỏa mãn b b x suy hàm số đồng biến ¡ Bảng biến thiên x +¥ - ¥ +¥ y = 3x + - ¥ A ( - 2;0) , B ( - 1;3) Đồ thị hàm số y = 3x + qua y -2 -1 O y=- x x+ 2 1.1 Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-11- 1.2 y 2 x  Lời giải Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y = 2x - 3, y = - x - 3, y Câu 2.Cho hàm số : a) Vẽ đồ thị hàm số b) Xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải tham khảo =- Lưu ý ỉ3 A ( 0;- 3) , B ỗ ;0ữ ữ ỗ ữ ç è ø y = x a) Đường thẳng qua điểm A ( 0;- 3) ,C ( - 3;0) Đường thẳng y = - x - qua điểm Đường thẳng y = - song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ -2 y -3 -1 O x -2 -3 Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-12- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y = 2x - 3, y = - x - A 0;- 3) b) đường thẳng cắt ( , y = - x - 3, y = - A ' - 1;- 2) đường thẳng cắt ( , ổ1 ữ ỗ A " ; ữ ỗ ữ y = 2x - 3, y = - ỗ ố ứ ng thng ct 2.1 Cho hàm số: y = - 2x + 3, y = x + 2, y = a) Vẽ đồ thị hàm số b) Xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải 3x x 0 y   3x x  Câu 3: Vẽ đồ thị hàm số Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-13- Lưu ý Ta vẽ đồ thị hàm số cách: Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Lời giải tham khảo Với x ³ đồ thị hàm số y = 3x phần đường thẳng qua hai điểm O ( 0;0) , A ( 1;3) nằm bên phải đường thẳng x = Với x < đồ thị hàm số y = - 3x phần đường thẳng qua hai điểm B ( - 1;3) , C ( - 2;6) nằm bên trái đường thẳng x = 3.1 Vẽ đồ thị hàm số sau: ìï 2x x ³ y = ïí ïï - x x < ỵ a) y = - 3x + b) Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-14- Vẽ đường thẳng y = 3x y = - 3x xóa phần đường thẳng nằm trục hoành Phần đường thẳng nằm trục hồnh đồ thị hàm số cần tìm Đồ thị hàm số nhận trục tunglàm trục đối xứng y= x - 3.2 Vẽ đồ thị hàm số Lời giải ……………………………………………………… ………………………………………………… Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y= x - 3.3 Vẽ đồ thị hàm số Lời giải ……………………………………………………… y = x - - 2x - 3.4 Vẽ đồ thị hàm số Lời giải Dạng toán Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: éa; b ùÌ ¡ f x = ax + b y  f  x Cho hàm số ( ) đoạn ë û Khi đó, đồ thị hàm số [a; b] đoạn thẳng nên ta có số tính chất:  max f ( x ) = max { ff( a ) ; é ù ëa ,b û Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi ( b) } Trang-15- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT   f ( x ) = { ff( a ) ; é ù ( b) } ëa ,b û max f (x) = max { ff(a) ; é ù ëa ,b û (b) } Áp dụng tính chất đơn giản cho cách giải nhiều toán cách thú vị, ngắn gọn, hiệu Câu 1: Cho hàm số y = f (x) = x - Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [  1,3] Lưu ý Lời giải tham khảo Do a 1  nên hàm số đồng biến ¡ y = f (- 1) = - é ù ë- 1;3û Do đó, Vậy giá trị nhỏ hàm số đoạn [  1,3]  1.1 Cho hàm số y = f (x) = - x + Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [1, 2] Lời giải f x = 2x - m Câu 2: Cho hàm số ( ) Tìm m để giá trị lớn é1;2ù f ( x) ë û đạt giá trị nhỏ Lời giải tham khảo Dựa vào nhận xét ta thấy x = x = Như đặt M = M ³ f ( 2) = - m max f (x) [1;2] max f (x) [1;2] đạt M ³ f ( 1) = - m Ta có Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-16- Lưu ý Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 2- m + 4- m (2 - m) + (m - 4) ff(1) + (2) = ³ =1 2 ïìï - m = - m Û m=3 í ïï (2 - m)(m - 4) ³ Đẳng thức xảy ỵ M ³ Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m = y= 2x - x2 - 3m + 2.1 Cho hàm số Tìm m để giá trị lớn hàm số y nhỏ Lời giải Dạng toán Bài tập tổng hợp Lưu ý Từ bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số khoảng, đoạn Bài 2.1 Lập bảng biến thiên hàm số sau Bài 2.2 Lập bảng biến thiên hàm số sau y x ìï - 2x + x ³ ïï y = ïí x - < x < ïï ïïỵ - 3x - x £ Lời giải Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-17- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 2.3 Lập bảng biến thiêncủa hàm số sau y = x2 + x2 - 2x + é- 2;2ù û Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë Lời giải y = x2 + 4x + - x + Lập bảng biến thiên hàm số sau Bài é- 2;2ù û Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë Lời giải 2 Bài 2.5 Lập bảng biến thiên hàm số sau y = x - 4x + - x - 2x + é0;2ù Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë û Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-18- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 2.6 Cho hàm số bậc có đồ thị đường Bài 2.7 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(3;1), B(- 2;- 1) A(1;5), B (- 5;- 1) Lời giải d : y = ( m - 1) x + m Bài 2.8 Cho đường thẳng d ' : y = ( m2 - 1) x + Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A , d ' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-19- Lời giải Bài 2.9 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua M (1;2) cắt hai tia Ox,Oy P ,Q cho D OPQ cân O Lời giải Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 2.10 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua M (1;2) S cắt hai tia Ox,Oy P ,Q cho D OPQ nhỏ Lời giải Bài 2.12 Cho hàm số y = 3x - có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-20- Bài 2.11 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết d qua điểm A ( 2;- 1) có hệ số góc Lời giải