Thông tin tài liệu
Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số đồng biến a nghịch biến a Bảng biến thiên x y = ax + b (a > ) - ¥ +¥ +¥ - ¥ x y = ax + b (a < ) - ¥ +¥ +¥ - ¥ Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đường thẳng khơng song song khơng trùng với ỉb Aỗ - ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố a ø y = ax trục tọa độ Đường thẳng song song với b 0 cắt trục hoành trục tung B 0; b Hàm số y b · TXĐ: D = ¡ · Hàm số hàm số chẵn · Đồ thị hàm số đường thẳng song song trùng với trục hoành cắt trục tung điểm có tọa độ 0;b yx Hàm số · TXĐ: D = ¡ · Hàm số yx hàm số chẵn · Hàm số số đồng biến khoảng 0; nghịch biến khoảng ;0 Chú ý: · Phương trình x = a đường thẳng(nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M ( x0;y0 ) , phương trình đường thẳng d y - y0 = a ( x - x0 ) là: B – BÀI TẬP Dạng tốn Tính đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp: + Hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đồng biến a nghịch biến a + Hàm số y ax b Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-1- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT b x ax b a y ax b ax b x b a nghịch biến khoảng b b ; ; a đồng biến khoảng a Giá trị Lưu ý Câu y m 1 x m k hàm số nghịch biến tập xác định? Lời giải tham khảo Hàm số nghịch biến tập xác định m m 1.2 Với giá trị m hàm số y m 1 x 2m 1.1 Cho hàm số Tìm m để y m 1 x đồng biến ? hàm sốđồng biến, nghịch biến, không đổi ? Lời giải Lời giải + Điều kiện để hàm số đồng biến: y m 1 x Hàm số đồng biến m m 1 m 1 m + Điều kiện để hàm số nghịch biến: m m 1 + Điều kiện để hàm số không đổi biến: m 0 m 1 y m x f x m 1 x 1.3 Cho hàm số Với giá trị 1.4 Cho hai hàm số m hàm số đồng biến ? Nghịch g x mx , với m 0 Chứng minh rằng: biến ? f x , f x g x , f x g x Lời giải a Các hàm số hàm đồng biếntrên y m x Hàm số đồng biến g x f x b Hàm số hàm nghịch biếntrên m 0 m 2 Lời giải y m x Hàm số nghịch biến a.Ta xét: m 20 m2 f x Hàm số có hệ số a m hàm đồng biến Hàm số: f x g x m 1 x mx m m 1 x 2 1 a m m m 2 có hệ số: đó, hàm đồng biến Hàm số: f x g x m 1 x mx m m 1 x Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-2- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 1 a m m m 2 có hệ số: đó, hàm đồng biến b Hàm số: g x f x mx m 1 x 4 m m 1 x 3 a m m 1 m có hệ số: đó, hàm nghịch biến y x Câu Lập bảng biến thiên hàm số Lời giải tham khảo ìï x - x ³ y = x - = ïí ïï - x x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y Lưu ý +¥ +¥ y 2x 2.1 Lập bảng biến thiên hàm số Lời giải ìï - 2x + x ³ y = - 2x + = ïí ïï 2x - x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x +¥ - ¥ +¥ 2.2 Lập bảng biến thiên hàm số ìï - x + x ³ ïï y = ïí x - - < x < ïï ïïỵ - 3x - x £ - Lời giải Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y - Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi - Dạng toán Xác định hàm số bậc Phương pháp: Để xác định hàm số bậc ta sau: Trang-3- +¥ +¥ y - ¥ Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Gọi hàm số cần tìm y ax b, a 0 Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương a,b trình với ẩn , từ suy hàm số cần tìm Lưu ý Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(1;3), B(2;- 1) Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì A Ỵ d B Ỵ d nên ta có hệ phương trình ïìï = a + b Û í ïï - = 2a + b ỵ ïìï a = - í ïï b = ỵ Vậy hàm số cần tìm y = - 4x + 1.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua C (1;1), D(3;- 2) Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì C Ỵ d D Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï = a + b ïí Û ïï - = 3a + b ỵ ìï ïï a = - ï í ïï ïï b = ỵ 1.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d E (0;2), F( ;0) Tìm hàm số biết: d qua Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì E Ỵ d F Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï = 0.a + b ïï Û í ïï = 2a + b ïỵ ïì a = - íï ïï b = ỵ y=- x+ 2 Vậy hàm số cần tìm 1.3 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua G (1;3), H(3;1) Vậy hàm số cần tìm y = - 5x + Lời giải Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì G Ỵ d H Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï = a + b ïí Û ïï = 3a + b ỵ ìï a = - ïí ïï b = ỵ Vậy hàm số cần tìm y = - x + 1.4 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua I (12;- 3), K(8;- 3) y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì I Ỵ d K Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï - = 12a + b ïí Û ïï - = 8a + b ỵ ìï a = ïí ïï b = - î Vậy hàm số cần tìm y = - Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(3;- 2) song song với D : 3x - 2y + = Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Lưu ý Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 d d Khi đó: song songnhau ìï a = a2 Û ïí ; ïï b1 ¹ b2 î Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-4- Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT ìï ïï a = ï í ïï 1 D :y = x+ ï b¹ (1) 2 Vì d / / D nên ïỵ Ta cú Mt khỏc A ẻ d ị - = 3a + b (2) ìï ïï a = ï í ïï ïb=Từ (1) (2) suy ïỵ 13 13 x2 Vậy hàm số cần tìm 2.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua B (1;1) song song với Ox y= Lời giải Gọi hàm số cần tìm y = ax + b,a ¹ 2.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua C (- 1;- 1) song song với Ox Lời giải Gọi hàm số cần tìm y = ax + b,a ¹ ìï a = ïìï a = ïí í Ox : y = d / /Ox ïï b ¹ ï bạ Ta cú Vỡ nờn ợ (1) Ta có Ox : y = Vì d / /Ox nờn ùợ (1) Mt khỏc B ẻ d ị = a + b (2) Mặt khác C Ỵ d Þ - = - a + b (2) ìï a = ïìï a = ïí í ïï b = ïb=- Từ (1) (2) suy ỵ Từ (1) (2) suy ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = Vậy hàm số cần tìm y = - 2.3 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua D(2;- 2) 2.4 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua E (- 1;- 5) song song song song với D : x - y + = Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm ìï a = ïí ïb¹ Ta có D : y = x + Vì d / / D nờn ùợ (1) Mt khỏc D ẻ d Þ - = 2a + b (2) với D : 2x - y - = Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm ìï a = ïí ïb¹ - Ta có D : y = 2x - Vì d / / D nên ïỵ (1) Mặt khác E ẻ d ị - = - a + b (2) ïìï a = í ïb=- Từ (1) (2) suy ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = x - ìï a = ïí ïb=- Từ (1) (2) suy ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = 2x - Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số A ( 2;- 1) d ^ d ' biết: d qua với d ' : y = 4x + Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-5- Lưu ý Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 Toán tự luận Gọi hàm số cần tìm BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT d2 : y = a2x + b2 Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Khi đó: A ( 2;- 1) Đường thẳng d qua nên - = 2a + b (1) Và d ^ d ' Þ 4.a = - Û a = - d1 d2 vuông góc Û a1.a2 = - 1 b=4 thay vào (*) ta 1 x4 Vậy hàm số cần tìm 3.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d y=- Tìm hàm số biết: d , qua với d ' : y = - x + B ( 1;- 1) d ^ d ' 3.2 Tìm hàm số bậc biết đồ thị hàm số C ( - 1;- 5) d ^ d ' đường thẳng d qua với d ' : y = 2x - Lời giải Lời giải y = ax + b,a ¹ B ( 1;- 1) Đường thẳng d qua nên: - = a + b (1) Gọi hàm số cần tìm Gọi hàm số cần tìm y = ax + b,a ¹ C ( - 1;- 5) Đường thẳng d qua nên: - = - a + b (1) Và d ^ d ' Þ - 1.a = - Û a = thay vào (1) ta b = - Vậy hàm số cần tìm y = x - Và d ^ d ' Þ 2.a = - Û a = - b=- thay vào (1) ta 11 Vậy hàm số cần tìm Câu Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số A - 1;1) biết d qua điểm ( có hệ số góc - y=- 11 x2 Lưu ý Lời giải tham khảo y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Đường thẳng d có hệ số góc a A ( 2;- 1) Đường thẳng d qua nên - = 2a + b mà a nên: - = 2a + b Þ - = 2.( - 3) + b Þ b = Vậy hàm số cần tìm y = - 3x + 4.1 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d B 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( có 4.2 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d C - 1;- 3) Tìm hàm số biết d qua điểm ( hệ số góc Lời giải có hệ số góc - Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Đường thẳng d có hệ số góc a 2 y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Đường thẳng d có hệ số góc a Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-6- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT B 1;- 3) Đường thẳng d qua ( nên - = a + b mà a 2 nên: C - 1;- 3) Đường thẳng d qua ( nên - = - a + b mà a 2 nên: - = a + b Þ - = + b Þ b = - - = - a +b Þ - = - 2+b Þ b = - Vậy hàm số cần tìm y = - 2x - Vậy hàm số cần tìm y = 2x - Dạng toán Bài toán tương giao Phương pháp: · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2 Khi đó: ìï a1 = a2 Û ïí ; ïï b1 = b2 d d ỵ a) trùng ïì a1 = a2 Û ïí ; ùù b1 b2 d d ợ b) song song ïìï y = a1x + b1 í ï y = a2x + b2 d d Û a ¹ a 2 c) cắt Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình ỵï d d Û a1.a2 = - d) vng góc Lưu ý d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + Câu Cho hai đường thẳng ( m tham số) d, d ' a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm chúng d,d ' b) Tìm m để ba đường thẳng d " : y = - mx + phân biệt đồng quy Lời giải tham khảo a) Ta có ad = ¹ ad ' = suy hai đường thẳng d, d ' cắt Tọa độ giao điểm hai đường thẳng ìï y = x + 2m ïí Û ïï y = 3x + trình ỵ M ( m - 1;3m - 1) d, d ' nghiệm hệ phương ìï x = m - ïí d, d ' ïï y = 3m - î suy cắt b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có ém = 3m - = - m( m - 1) + Û m2 + 2m - = Û ê êm = - ê ë · Với m = ta có ba đường thẳng d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân biệt đồng quy M ( 0;2) Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-7- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT · Với m = - ta có d ' º d " suy m = - không thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm 1.1 Cho hai đường thẳng: d : y = ( m - 1) x + m 1.2 Cho đường thẳng d : y = - x + 1, d ' : y = 3x + d ' : y = ( m2 - 1) x + Tìm m để hai đường d, d ' d, d ' Chứng minh hai đường thẳng cắt thẳng song song với tìm tọa độ giao điểm chúng Lời giải Lời giải d : y = 1, d ' : y = m = ta có Với hai Ta có hệ số góc hai đường thẳng đường thẳng song song với (1) d : y = - 2x - 1, d ' : y = ad = - ¹ ad ' = d, d ' Với m = - ta có suy suy hai ng thng ổ7 ct Mỗ - ;6ữ ữ ỗ ữ ỗ ứ d, d ' è Gọi M giao điểm hai đường thẳng Tọa hai đường thẳng cắt Với m ¹ ±1 hai đường thẳng đồ thị d, d ' độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hàm số bậc nên song song với hệ phương trình: Suy d, d ' ìï ïï y = - 1x + Û í ïï y = 32 x + ïỵ ìï ïï x = - ï í ïï 11 ïï y = ỵ ổ 11ử Mỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ç è 7 ø cắt Từ (1) (2), suy m = m = giá trị cần tìm 1.3 Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + phân biệt đồng quy Lời giải Ta có d, d ' ad = ¹ ad ' = - suy hai đường thẳng cắt Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: ïìï y = 2x Û í ïï y = - x + ỵ d, d ' ïìï x = í d, d ' ïï y = ỵ suy cắt M ( 2;4) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có: = 2m + m + Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi ïìï ém = ìï m - = m2 - ém = ïê ïí ê m = Û ïí ê Û ê êm = ïï ùù mạ ợ m ùùợ ch i chiu vi iu kin m ±1suy m = 0(2) Trang-8- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT ém = - ê Û 2m + m - = Û ê êm = ê ë 2 · Với m = - ta có ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = x + phân biệt đồng quy · Với m= M ( 2;4) ta có ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = phân biệt đồng quy M ( 0;2) 13 x+ 4 giá trị cần tìm Vậy m = - Câu Cho hàm số y = - 3x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác m= Lưu ý Lời giải tham khảo A 2;0 ; B 0;6 Giao điểm d với trục hoành, trục tung Ta có: OA 2, OB 6 1 SOAB OA.OB 2.6 6 2 Diện tích tam giác vng OAB là: (đvdt) 2.1 Cho hàm số y = - 2x - có đồ thị đường d 2.2 Cho hàm số y = x + có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải Lời giải Giao điểm d với trục hoành, trục tung Giao điểm d với trục hoành, trục tung A 2;0 ; B 0; Ta có: OA 2, OB 4 A 4;0 ; B 0; Ta có: OA 4, OB 4 Diện tích tam giác vng OAB là: Diện tích tam giác vng OAB là: 1 SOAB OA.OB 2.4 4 2 (đvdt) 1 SOAB OA.OB 4.4 8 2 (đvdt) Dạng toán Đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-9- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT * Đồ thị hàm số y ax b Để vẽ đồ thị hàm số y ax b ta cần xác định giao điểm phân biệt đường thẳng * Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Vẽ đồ thị b x ax b a y ax b ax b x b a Ta có: Phương pháp 1: Vẽ x³ - ( C1 ) (C ) hàm số y = ax + b đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị cho hoành độ x thỏa mãn b b x suy hàm số đồng biến ¡ Bảng biến thiên x - ¥ +¥ +¥ y = 3x + - ¥ Đồ thị hàm số y = 3x + qua A ( - 2;0) , B ( - 1;3) Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-10- Lưu ý Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y -2 -1 O x 1.1.Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y=- 1.2 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2 x x+ 2 Lời giải a =- TXĐ: D = ¡ , biến ¡ Ta có bảng biến thiên: Đồ thị hàm số suy hàm số đồng biến ¡ Bảng biến thiên Đồ thị hàm số y = 2x - x - ¥ +¥ x - ¥ +¥ +¥ +¥ y = 2x - 3 y=- x+ - ¥ 2 ỉ 3ử A ( 3;0) , B ỗ 0; ữ ữ ç ÷ ç è 2ø ỉ3 ;0÷ ÷ ç ÷, B ( 0;- 3) ç è ø qua y - ¥ y O 3/2 O Câu 2.Cho hàm số: -3 x y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - a) Vẽ đồ thị hàm số trêncùng hệ trục tọa độ Oxy b) Xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải tham khảo ỉ3 ÷ A ( 0;- 3) , B ỗ ;0ữ ỗ ỗ ố2 ÷ ø a) Đường thẳng y = 2x - qua điểm A ( 0;- 3) ,C ( - 3;0) Đường thẳng y = - x - qua điểm Đường thẳng y = - song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ -2 Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-11- Lưu ý (C) x Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT b) đường thẳng y = 2x - 3, y = - x - y -3 -1 O -2 A ( 0;- 3) , đường thẳng x y = - x - 3, y = - A '( - 1;- 2) , đường thẳng y = 2x - 3, y = - -3 ổ1 A "ỗ ;- 2ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ti 2.1 Cho hàm số: y = - 2x + 3, y = x + 2, y = a)Vẽ đồ thị hàm số trêncùng hệ trục tọa độ Oxy b) Xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải ỉ3 A ( 0;3) , B ỗ ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ è ø y = x + Đường thẳng qua điểm C ( 0;2) , D ( - 2;0) Đường thẳng y = x + qua điểm Đường thẳng y= song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-12- cắt cắt cắt Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y O -2 x b) đường thẳng y = - 2x + 3, y = x + cắt ỉ1 ÷ Aỗ ; ữ ỗ ỗ ố3 3ữ ứ ổ 3ử A 'ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ç cắt è 2ø đường thng ổ3 3ử A "ỗ ; ữ ữ ỗ y = - 2x + 3, y = ữ ỗ è ø 2 đường thẳng cắt 3x x 0 y 3x x Câu 3:Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2, y = Lời giải tham khảo Với x ³ đồ thị hàm số y = 3x phần đường thẳng qua hai điểm O ( 0;0) , A ( 1;3) nằm bên phải đường thẳng x = Với x < đồ thị hàm số y = - 3x phần đường thẳng qua hai điểm B ( - 1;3) , C ( - 2;6) nằm bên trái đường thẳng x = y O Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi x Trang-13- Lưu ý Ta vẽ đồ thị hàm số cách: Vẽ đường thẳng y = 3x y = - 3x xóa phần đường thẳng nằm trục hoành Phần đường thẳng nằm trục hồnh đồ thị hàm số cần tìm Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 3.1.Vẽ đồ thị hàm số sau ìï 2x x ³ y = ïí ïï - x x < ỵ a) 3.2.Vẽ đồ thị hàm số Lời giải y = - 3x + b) Lời giải a) Với x ³ đồ thị hàm số y = 2x phần đường O ( 0;0) , A ( 1;2) thẳng qua hai điểm nằm bên phải đường thẳng x = Với x < đồ thị hàm số y = - x phần đường B ( - 1;1) , C ( - 2;2) thẳng qua hai điểm bên trái đường thẳng x = b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + nằm y -2 O x O ïì x - x ³ y = ïí ïï - x - x < ỵ Cách 1: Ta có Vẽ đường thẳng y = x - qua hai điểm A ( 0;- 2) , B ( 2;0) lấy phần đường thẳng bên phải trục tung Vẽ đường thẳng y = - x - qua hai điểm A ( 0;- 2) , C ( - 2;0) lấy phần đường thẳng bên trái trục tung Cách 2: Đường thẳng d : y = x - qua y = 3x - lấy phần đường thẳng nằm trục hoành y x A ( 0;- 2) , B ( 2;0) y= x - Khi đồ thị hàm số phần đường thẳng d nằm bên phải trục y tung phần đối xứng qua x -2 O trục tung -2 Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi y= x - Trang-14- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 3.3.Vẽ đồ thị hàm số Lời giải y= x - 3.4.Vẽ đồ thị hàm số Lời giải y = x - - 2x - ìï x x ³ ïï y = ïí 5x - 12 < x < ïï x £ ïïỵ - x y= x - - Giữ nguyên đồ thị hàm số phía Ta có trục hồnh Vẽ đường thẳng y = x qua hai điểm Đồ thị y= x - gồm phần: O ( 0;0) , A ( 1;1) y= x - lấy phần đường thẳng bên phải - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số phía trục hoành lấy đối xứng qua trục đường thẳng x = hoành Vẽ đường thẳng y = 5x - 12 qua hai điểm B ( 3;3) , C ( 2;- 2) lấy phần đường thẳng nằm x = 2, x = hai đường thẳng Vẽ đường thẳng y = - x qua hai điểm y O ( 0;0) , D ( - 1;- 1) lấy phần đường thẳng bên trái đường thẳng x = 2 -2 O x y -3 -2 -1 O -1 x -2 -3 Dạng toán Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: éa; b ùÌ ¡ f ( x ) = ax + b y f x Cho hàm số đoạn ë û Khi đó, đồ thị hàm số [a; b] đoạn thẳng nên ta có số tính chất: max f ( x ) = max { ff( a ) ; é ù ( b) } f ( x ) = { ff( a ) ; é ù ( b) } ëa ,b û ëa ,b û Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-15- Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT max f (x) = max { ff(a) ; é ù ëa ,b û (b) } Áp dụng tính chất đơn giản cho cách giải nhiều toán cách thú vị, ngắn gọn, hiệu Câu 1: Cho hàm số y = f (x) = x - Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 1, 3] Lưu ý Lời giải tham khảo Do a 1 nên hàm số đồng biến ¡ y = f (- 1) = - é ù ë- 1;3û Do đó, Vậy giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 1, 3] 1.1 Cho hàm số y = f (x) = - x + Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [1, 2] Lời giải a nên hàm số nghịch biến ¡ Do đó, Do y = f (2) = é ù ë1;2û Vậy giá trị nhỏ hàm số đoạn [1, 2] f ( x ) = 2x - m Câu 2: Cho hàm số Tìm m để giá trị lớn é1;2ù f ( x) ë û đạt giá trị nhỏ Lời giải tham khảo Dựa vào nhận xét ta thấy x = x = Như đặt M = M ³ f ( 2) = - m max f (x) [1;2] max f (x) [1;2] đạt M ³ f ( 1) = - m Ta có 2- m + 4- m (2 - m) + (m - 4) ff(1) + (2) = ³ =1 2 ìï - m = - m ïí Û m=3 ïï (2 - m)(m - 4) ³ Đẳng thức xảy ỵ M ³ Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m = Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-16- Lưu ý Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT y= 2x - x2 - 3m + 2.1 Cho hàm số hàm số y nhỏ Lời giải t= Gọi A = max y Ta đặt 0£ t £ Khi hàm số viết lại A = max t - 3m + Tìm m để giá trị lớn 2x - x2 Þ t = - ( x - 1) y = t - 3m + ù tỴ é ë0;1ûsuy với [0,1] = max { - 3m + , - 3m + } ³ - 3m + + - 3m Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có - 3m + + - 3m = 3m - + - 3m ³ Đẳng thức xảy m= Do A³ m= Vậy giá trị cần tìm Dạng toán Bài tập tổng hợp Lưu ý Từ bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số khoảng, đoạn Bài 2.1 Lập bảng biến thiên hàm số sau Lời giải ìï x - x ³ y = x - = ïí ïï - x + x < ỵ Ta có Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y x Bài 2.2 Lập bảng biến thiên hàm số sau ìï - 2x + x ³ ïï y = ïí x - < x < ïï ïïỵ - 3x - x £ +¥ Lời giải Bảng biến thiên x - ¥ +¥ y 0 - - 2 Bài 2.3 Lập bảng biến thiêncủa hàm số sau y = x + x - 2x + é- 2;2ù û Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë Trang-17- +¥ +¥ y Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Toán tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Lời giải x2 + x2 - 2x + Ta có: y = ìï 2x - x ³ ïï Þ y = x + x - = ïí < x < ïï ïïỵ - 2x x £ Bảng biến thiên x - ¥ y Ta có +¥ y ( - 2) = 5, y ( 2) = Dựa vào bảng biến thiên ta có Bài +¥ +¥ 1 max y=5 é- 2;2ù ë û x = - Lập bảng biến thiên hàm số sau y= x2 + 4x + - x + é- 2;2ù û Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë Lời giải y= x2 + 4x + - x + Ta có ìï x ³ - ïï Þ y = x + - x + = ïí 2x + - < x < - ïï x £ - ïïỵ - Bảng biến thiên x - ¥ - +¥ - 1 y - Ta có - y ( - 2) = - 1, y ( 2) = y = max y =1 é ù é- 2;2ù ë û x = Dựa vào bảng biến thiên ta có , ë- 2;2û x Ỵ [ - 1;2] Bài 2.5 Lập bảng biến thiên hàm số sau y = x2 - 4x + - x2 - 2x + é0;2ù Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số ë û Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-18- Toán tự luận y= Ta có: BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT x2 - 4x + - x2 - 2x + ìï - 2x + K hi x ³ ïï = ïí - 4x + K hi £ x < ïï Þ y = x - - x - ïïỵ 2x - K hi x < Bảng biến thiên x +¥ - ¥ y -3 - ¥ - ¥ y = - max y = é ù Ta có: éë0;2ùû x = 1, ë0;2û x = Bài 2.6 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng Bài 2.7 Cho hàm số bậc có đồ thị đường d Tìm hàm số biết: d qua A(3;1), B (- 2;- 1) thẳng d Tìm hàm số biết: d qua A(1;5), B (- 5;- 1) Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì A Ỵ d B Ỵ d nên ta có hệ phương trình Lời giải y = ax + b,a ¹ Gọi hàm số cần tìm Vì A Ỵ d B Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï ïï a = - ï í ïï 11 ïï b = ỵ 11 y=- x+ 5 Vậy hàm số cần tìm ïìï = 3a + b Û í ïï - = - 2a + b ỵ Bài 2.8 Cho đường thẳng ïìï = a + b Û í ïï - = - 5a + b ỵ ïìï a = í ïï b = ỵ Vậy hàm số cần tìm y = x + d : y = ( m - 1) x + m d ' : y = ( m2 - 1) x + Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A , d ' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Lời giải Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ ïìï y = ( m - 1) x + m ïì x = Û ïí Þ A ( 0;m) í ïï ïï y = m x=0 î î Tọa độ điểm B nghiệm hệ ìï y = ( m2 - 1) x + ïí Û ïï y=0 ỵ ìï ( m2 - 1) x + = ïí ïï y=0 ỵ (*) Rõ ràng m = ±1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm Với m ¹ ±1 ta có (*) Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-19- Bài 2.9 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: d qua M (1;2) cắt hai tia Ox,Oy P ,Q cho D OPQ cân O Lời giải æb Pỗ - ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ a ứ è d Ox Đường thẳng cắt trục cắt Oy Q ( 0;b) với a < 0, b > Ta có: b OP = OQ Û - = b a Û b( a + 1) = éb = 0(l ) Û ê êa = - Ta cú M ẻ d ị = a + b Þ b = Tốn tự luận BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT Vậy hàm số cần tìm y = - x + ìï ùù x = ổ ữ ị Bỗ ;0 ữ ỗ m ữ ỗ ïï è m ø y = ïỵ O Û m = - m2 Do tam giác OAB cân ém - m3 = Û m- m = Û ê êm - m3 = - ê ë ém - m + = ém = - ê Û ê Û êm3 - m - = êm = ê ê ë ë (thỏa mãn) Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Bài 2.10 Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng Bài 2.11.Cho hàm số bậc có đồ thị đường d Tìm hàm số biết: d qua M (1;2) cắt hai tia thẳng d Tìm hàm số biết d qua điểm A ( 2;- 1) có hệ số góc Ox,Oy P ,Q cho SD OPQ nhỏ Lời giải Lời giải y = ax + b,a ¹ ỉb Gi hm s cn tỡm l ữ Pỗ ;0 ữ ỗ ữ ỗ ng thng d ct trc Ox è a ø cắt Oy Đường thẳng d có hệ số góc a 1 A 2;- 1) a < 0, b > Q ( 0;b) Đường thẳng d qua ( nên - = 2a + b với mà a 1 nên: Suy ra: - = 2a + b Þ - = + b Þ b = - 1 b b2 SDOPQ = OP OQ = - b = 2 a 2a (*) Vậy hàm số cần tìm y = x - Ta cú M ẻ d ị = a + b Þ b = - a thay vào (*) ta được: ( 2- a) 2 a +2 2a a Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có SDOPQ = - - =- ỉ 2ư ỉ a ỗ - ữ ỗ - ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ= ị SDOPQ ỗ ỗ a ố a ứ ố 2ứ Đẳng thức xảy ìï ïï - = - a Û a = - 2Þ b= í a ïï a < ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = - 2x + Bài 2.12 Cho hàm số y = 3x - có đồ thị đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Lời giải Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi Trang-20-
Ngày đăng: 10/08/2023, 02:50
Xem thêm:
