www thuvienhoclieu com Giaovienvietnam com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Cho điểm và một đường thẳng Trong gọi là hình chiếu vuông góc của trên Khi đó khoảng cách được gọi là khoảng cách từ điểm đến Nhận xét 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và Nếu và cắt nhau hoặc trùng nhau thì Nếu và song song với nhau thì 3 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Cho mặt phẳng và một điểm , gọi là hình c[.]
Giaovienvietnam.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng mp ( M , ∆ ) Cho điểm M đường thẳng ∆ Trong gọi H hình chiếu vng góc M ∆ Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến ∆ d ( M , ∆ ) = MH OH ≤ OM , ∀M ∈ ∆ Nhận xét: Khoảng cách hai đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng D D ' : - Nếu D D ' cắt trùng d(D, D ') = - Nếu D D ' song song với d(D, D ') = d(M , D ') = d(N , D) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng ( α ) điểm M , gọi H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( α ) Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng d ( M , ( α ) ) = MH Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng (α) Trang Giaovienvietnam.com α Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng ( ) song song với Khi khoảng cách từ điểm α α ∆ đến mặt phẳng ( ) gọi khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng ( ) d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) , M ∈ ∆ - Nếu D cắt (a ) D nằm (a ) d(D,(a )) = Khoảng cách hai mặt phẳng ( α ) ( β ) song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng α β đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( ) d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = d ( N,( α ) ) , M ∈( α ) , N ∈( β ) Cho hai mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng Cho hai đường thẳng chéo a, b Độ dài đoạn vng góc chung MN a b gọi khoảng cách hai đường thẳng a b B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây? A Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng B Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (α) chứa đường (α) vuông góc với đường C Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc ( α) chứa a song song với b đến điểm N b D Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mặt phẳng (α) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng C Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng D Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng Trang Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: Đáp án A: Đúng Đáp án B: Sai, phát biểu thiếu yếu tố cắt Đáp án C: Sai, mặt phẳng chưa tồn Đáp án D: Sai, phát biểu thiếu yếu tố vng góc Chọn đáp án D Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường thẳng vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mp(P) C Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a song song với b đến điểm N b D Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng Δ , xem M H đường cao tam giác để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: Trong mp( M ,Δ ) Dựng mặt phẳng ⇒ d ( M ,Δ ) = MH vẽ MHΔ⊥ ( α ) qua M d ⇒ M(,Δ = )MH vng góc với Δ H Hai cơng thức sau thường dùng để tính M H 1 = + 2 ΔMAB vng M có đường cao AH MH MA MB 2S MH = MAB AB MH đường cao ΔMA B ( ABC ) SA = 3a Diện tích tam Câu 1: Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vng góc với giác ABC 2a , BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A 2a B 4a C 3a D 5a Hướng dẫn giải: Kẻ AH vng góc với BC : 2.S ∆ABC 4a S∆ABC = AH BC → AH = = = 4a BC a Khoảng cách từ S đến BC SH Dựa vào tam giác vng ∆SAH ta có SH = SA2 + AH = (3a ) + (4a) = 5a Câu 2: Cho hình chóp S ABCD SA, AB, BC đơi vng góc SA = AB = BC = Khoảng cách hai điểm S C nhận giá trị giá trị sau ? B C D A Hướng dẫn giải: Trang Giaovienvietnam.com SA ⊥ AB Do SA ⊥ BC nên SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC 2 2 Như SC = SA + AC = SA + ( AB + BC ) = B Chọn đáp án AC ⊥ ( BCD ) BCD Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM a a a a 11 A B C D Hướng dẫn giải: a MC = Do ∆ ABC cạnh a nên đường cao d ( C , AM ) = CH = AC.MC AC + MC 2 =a 66 11 Chọn đáp án C ( P ) cho tam giác ABC cạnh a Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng Câu 4: Trong mặt phẳng ( P ) lấy điểm S cho SA = a Khoảng cách từ A đến ( SBC ) a 21 a 2a B C D a A Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC ; H hình chiếu vng góc A SM Ta có BC ⊥ AM BC ⊥ SA nên BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH AH ⊥ ( SBC ) Mà AH ⊥ SM , AH = d ( A, ( SBC ) ) Vậy a AS AM a 21 AM = ; AH = = 2 AS + AM Chọn đáp án C Câu 5: Cho tứ diện SABC SA , SB , SC vng góc với đơi SA = 3a , SB = a , SC = 2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a A Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 7a B 8a C 5a D Trang Giaovienvietnam.com ⇒ d ( A, BC ) = AH + Dựng AH ⊥ BC AS ⊥ ( SBC ) ⊃ BC ⇒ AS ⊥ BC AH ⊥ BC + , AH cắt AS ( SAH ) nằm ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⊃ SH ⇒ BC ⊥ SH Xét ∆SBC vng S có SH đường cao ta có: 1 1 4a 2 = + = + = ⇒ SH = SH SB SC a 4a 4a 2a ⇒ SH = AS ⊥ ( SBC ) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH ⇒ ∆ASH + Ta dễ chứng minh vuông S Áp dụng hệ thức lượng ∆ASH vuông S ta có: 4a 49a 7a AH = SA2 + SH = 9a + = ⇒ AH = 5 AC ⊥ ( BCD ) Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM A Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B a B a 11 C a D a ⇒ d ( C , AM ) = CH Dựng CH ⊥ AM Vì ∆BCD tam giác cạnh a M trung điểm BD nên dễ tính Xét ∆ACM vng C có CH đường cao, ta có: 1 1 11 = + = 2+ = 2 2 6a 3a CH CA CM 2a 6a ⇒ CH = 11 ⇒ CH = a 11 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng: 3a 3a A B Hướng dẫn giải: CM = a đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a, 2a C 2a D Trang Giaovienvietnam.com S H A D SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD ( SAD ) ⊥ CD Trong ( SAD ) kẻ AH vng góc SD H Khi AH ⊥ ( SCD ) Suy SA AD a.2a 2a = = d ( A, ( SCD ) ) = AH = SA2 + AD a + (2a) Chọn đáp án C ( ABC ) Câu 8: Hình chóp S ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ S đến B C : A 2a B a C a D a Hướng dẫn giải: Gọi O chân đường cao hình chóp 2 AO = AH = 3a =a 3 Ta có d ( O, ( ABC ) ) = SO = SA2 − AO = a Chọn đáp án C Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt ( SAB ) nhận giá trị phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ M đến giá trị sau? a a A B 2a D a C Hướng dẫn giải: ( SAB ) : d ( M , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = a Khoảng cách từ M đến Chọn đáp án D Trang Giaovienvietnam.com AC ⊥ ( BCD ) Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 3a 2a 4a A B C Hướng dẫn giải: Chọn D AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ AM CM ⊥ BD Ta có: (Định lý đường vng ⇒ d ( A; BD ) = AM a CM = (vì tam giác BCD đều) Ta có: AM = AC + MC = 2a + a 11 D góc) 3a a 11 = SA ⊥ ( ABCD ) ˆ Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có , đáy ABCD hình thoi cạnh a B = 60° Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC 3a 4a 2a 5a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C d ( A; SC ) = AH Kẻ AH ⊥ SC , ˆ ABCD hình thoi cạnh a B = 60° ⇒VABC nên AC = a Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 = 2+ AH SA AC SA.AC 2a.a 5a ⇒ AH = = = SA2 + AC 4a + a SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a ABCD Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có , , hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC a a a a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A OH OC OC = ⇒ OH = SA d O; SC = OH ( ) SC Kẻ OH ⊥ SC , Ta có: VSAC : VOCH (g-g) nên SA SC a AC = 2 2 , SC = SA + AC = a Mà: OC a a OH = SA = = SC Vậy Câu 13: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh a cosα A a cot α B a tan α C Hướng dẫn giải: Chọn D OC = hợp cạnh bên bên a sin α D Trang SO ⊥ ( ABCD ) O , tâm hình vng ABCD · d ( O; SD ) = OH α = SDO Kẻ OH ⊥ SD , , a OH = OD sin α = sin α Ta có: Giaovienvietnam.com Câu 14: Cho hình chóp S ABC SA , AB , BC vng góc với đơi Biết SA = 3a , AB = a , BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a Hướng dẫn giải: Chọn B Vì SA , AB , BC vng góc với đơi nên CB ⊥ SB d ( B; SC ) = BH Kẻ BH ⊥ SC , D a 2 2 Ta có: SB = SA + AB = 9a + 3a = 3a Trong tam giác vng SBC ta có: 1 ⇒ BH = SB.BC = 2a = + SB + BC BH SB BC Câu 15: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên bằng: a a A cosα B a tan C sinα D a cotα Hướng dẫn giải: a AC = a ⇒ OC = Khoảng cách cần tìm đoạn OH OH = OC sin α = a sin α Chọn đáp án C Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM a a a 11 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Nối CM Kẻ CH ⊥ AM Suy d (C ; AM ) = CH a Xét ∆ACM có Trang Giaovienvietnam.com 1 1 = + = 2 CH AC CM a ( ⇒ CH = a Vậy ) + a 3 ÷ = 11 6a 11 d (C ; AM ) = CH = a 11 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD 3a 2a 4a a 11 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D a 11 d ( A; BD) = AC ⊥ ( BCD ) ⇒ AC ⊥ BD Ta có Lại có với M trung điểm BD mà ∆BCD nên CM ⊥ BD AC ⊥ BD ⇒ AM ⊥ BD CM ⊥ BD Từ ta có Suy d (A; BD) = AM Xét tam giác vuông ACM , ta có AM = AC + CM = Vậy d ( A; BD ) = ( a 2) 2 a 3 a 11 + = ÷ ÷ a 11 Câu 18: Cho hình chóp S ABC SA, AB, BC vng góc với đơi Biết SA = 3a, AB = a 3, BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a D a Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có SA ⊥ AB ⇒ SB ⊥ BC AB ⊥ BC Suy ∆SBC vuông B Kẻ BH ⊥ SC Ta có d ( B; SC ) = BH Lại có 1 1 1 = 2+ = + = 2 2 BH SB BC SA + AB BC 4a ⇒ d ( B; SC ) = BH = a Trang Giaovienvietnam.com Câu 19: Cho hình lập phương ABCD A′ B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD ′ a a A a B C D a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm CD′ Do ABCD A′ B ′C ′D ′ hình lập phương nên tam giác ACD ' tam giác cạnh a AM ⊥ CD′ ⇒ d ( A,CD′ ) = AM = a Đáp án: B Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A′ B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng DB ′ a a a A a B C D Hướng dẫn giải: Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống DB′ AD ⊥ ( ABB ' A′ ) ⇒ ∆ADB ' A Dễ thấy vuông đỉnh AD = a; AB′ = a ⇒ Đáp án D 1 a = + ⇒ AH = 2 AH AD AB ' Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A′ B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ ba điểm sau đến đường chéo AC ′ ? ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ A A , B, C B B, C , D C B , C , D D A, A , D Hướng dẫn giải: Dễ thấy tam giác ABC ',C′CA, ADC′ tam giác vuông nên đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền d ( B, AC′ ) = d ( C, AC ′ ) = d ( D, AC′ ) Vậy: Đáp án B Trang 10 Giaovienvietnam.com a a a SH = AH ta n 600 = = 2 1 a 15 = + ⇒ HK = 2 HK SH IH 10 IH = AH sin 600 = d ( SA, BC ) = d ( H , ( SAx ) ) = HK = a 15 3a SD = a , Hình chiếu vng góc H Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD đỉnh S lên mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng HK SD a 2a a 3a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A ( ABCD ) D Từ H kẻ HI ⊥ BD , Ta có: SD cắt HM ⊥ SI Ta BD : HK thấy song song d ( HK , SD ) = d ( H , ( SBD ) ) = HM ∆SHD : 2 9a 9a a 2 SH = SD − HD = − ( AD + AH ) = −a + ÷= a 4 2 AC a = 4 1 a = + ⇒ HM = 2 HM SH IH IH = d ( SA, BC ) = d ( H , ( SBD ) ) = HM = a Câu 50: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a , SA vng o góc với mặt phẳng ( ABC ), góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 13 78 2a 2a 13 13 A B C 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D a D a 78 13 Trang 58 Giaovienvietnam.com ( ABC ) Gọi I trung điểm AC Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , mặt phẳng kẻ AE vng góc với d E Khi AE ⊥ BE AE ⊥ AC AC //BE ⇒ AC // ( SBE ) ⇒ d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBE ) ) Ta có: ( SAE ) , ta có Gọi AH đường cao BE ⊥ SA ⇒ BE ⊥ ( SAE ) ⇒ BE ⊥ AH BE ⊥ AE AH ⊥ SE nên AH ⊥ ( SBE ) Mặt khác d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBE ) ) = AH Do SA ⊥ ( ABC ) Vì nên hình chiếu SC mặt phẳng ( ABC ) AC suy gó SC mặt o · phẳng ( ABC ) SCA = 60 a AE = BI = o ∆SAE vng A có: AH đường cao, SA = tan 60 AC = 3.a = a , Xét 1 13 = + = 2+ = 2 AE SA a 6a 6a nên AH 6a a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 a 78 d ( AC , SB ) = 13 Vậy ( ABC ) , SA = a , Câu 51: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy · = 120o, lấy điểm M cạnh BC cho MC = 2MB Khoảng cách AB = AC = a , góc BAC hai đường thẳng SM AC a 3a 2a 42 a 42 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Dựa vào định lý Cơsin tam giác ta có: · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC BC = 3a + 3a − 2.a 3.a cos120o BC = 9a ⇒ BC = 3a CM = BC = 2a · AM = CM + CA2 − 2CM CA.cos MCA AM = 4a + 3a − 2.2 a.a cos 30o AM = a ⇒ AM = a 2 2 Xét tam giác ACM có CM = AM + AC = 4a nên tam giác ACM vuông A suy AC ⊥ AM AC ⊥ ( SAM ) mà AC ⊥ SA nên Gọi H hình chiếu A SM , ta có AH ⊥ AC ⇒ d ( AC , SM ) = AH AH ⊥ SM Xét tam giác SAM có SA = a , AM = a , AH đường cao nên Trang 59 Giaovienvietnam.com 1 1 = + = 2+ = 2 AH AM SA a 6a 6a 6a a 42 AH = ⇒ AH = 7 a 42 d ( AC , SM ) = Câu 52: Trong khơng gian cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, tam giác SAB vuông cân S Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 21 21 7 a 3a a 2a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A SH ^ AB Þ SH ^ (ABC ) Kẻ BM / / AC Þ AC / /(SBM ) Þ d(AC , SB ) = d(AC ,(SBM )) = d(A,(SBM )) = 2d(H ,(SBM )) Kẻ HK ^ BM, ta cú: SH ^ BM ẻ (ABC) ị BM ^ (SHK ) Kẻ HQ ^ SK , ta có: BM ^ HQ ẻ (SHK ) ị HQ ^ (SBM) ị d(H ,(SBM )) = HQ Kẻ 1 = + 2 HQ HK SH SHK ta có: Xét tam giác vuông SH=AH= a a a HK =HB.sin60o = = (do tam giác SAB vuông cân S ), 2 Trong đó: 16 28 Þ = + = Þ HQ = a 21 Þ d(AC , SB ) = 2HQ = a 21 HQ 3a a 3a 14 Câu 53: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SD vng góc với mặt ( ABCD ) , AD = a, góc ·AOB = 120o, góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 45o phẳng Khoảng cách hai đường thẳng AC SB a a A B Hướng dẫn giải: Chọn B Vì: ïï BC ^ DC ü · o ý Þ BC ^ (SDC ) Þ SCD = 45 BC ^ SD ïï þ AD Þ SD = DC = = a tan 60o 3a C 5a D S I Kẻ OI / / SB(I Ỵ SD) Þ I D=SI= a , SB/ /(I AC ) Þ K D A H C O B Trang 60 Giaovienvietnam.com d(AC ,SB ) = d(SB,(I AC )) = d(B,(IAC )) = d(D,(IAC )) IH ^ AC Þ AC ^ (I DH ) Þ DH ^ AC Kẻ DK ^ IH , ta có: DK ^ AC (AC ^ (DIH)) Þ DK ^ (IAC) Þ d(D,(IAC))=DK Kẻ Xét tam giác vng DHA : ta có DH = a.sin60o = a Þ tam giác DHI vuông cân a Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC = a 3, AB = a ; hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) đường thẳng SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 60o Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 5a 15a 5a 15a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D DK = DH sin45o = Gọi O giao điểm AC BD ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Ta có OC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng · = 600 ( ABCD ) ⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = SCO ⇒ OM PSB ⇒ SB P( ACM ) Gọi M trung điểm SD ( SBD ) kẻ MH PSO ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Trong mặt phẳng Khi d ( SB, AC ) = d ( SB, ( ACM ) ) = d ( B, ( ACM ) ) = 2d ( H , ( ACM ) ) = HI Ta có HK = OC = a d ( D, AC ) = AC a = a ⇒ SO = OC tan 600 = a ⇒ MH = 2 Có 1 20 a 15 a 15 = + = ⇒ HI = d ( SB, AC ) = HI = 2 HI HM HK 3a 10 Vậy Câu 55: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Biết góc hai mặt phẳng CD SB ( SAB ) ( ABCD ) o 60 Khoảng cách hai đường thẳng Trang 61 Giaovienvietnam.com a A Hướng dẫn giải: Chọn B 2a B 2a C a D Gọi O giao điểm AC BD ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Ta có ( Gọi E trung điểm AD , H = AC ∩ BE ⇒ BE PCD ⇒ CD P( SBE ) ⇒ d ( CD, SB ) = d ( C , ( SBE ) ) = 3d ( O, ( SBE ) ) = 3OI Kẻ OM ⊥ AB, SO ⊥ AB ⇒ SM ⊥ AB · ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = SMO = 600 a 2a 2a AC = OM = AD = ⇒ SO = OM tan 600 = 6 , 3 Tính 1 75 2a 2a = + = ⇒ OI = ⇒ d ( CD, SB ) = 2 OI OH SO 4a AC = a ⇒ OH = Câu 56: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a MD = o , mặt phẳng ( SDM ) mặt phẳng ( SAC ) góc 60 Gọi M trung điểm AB Biết vng góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng CD SM theo a là: a 3a A B Hướng dẫn giải: Chọn D ( SMD ) ∩ ( SAC ) = SG suy SG ⊥ ( ABCD ) Ta có Kẻ GH ⊥ AB , GK ⊥ SH Khi đó, d ( DC , SM ) = d ( DC , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = a 15 C 3a 15 D GD 3a 15 d ( G, ( SAB ) ) = 3GK = GM S Câu 57: Một hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên o 2 tạo với mặt đáy góc 45 Tính khoảng cách SA BC A 3 Hướng dẫn giải: B D C J H A C O I B Trang 62 Giaovienvietnam.com Chọn A + Vì SABC hình chóp tam giác nên ( Với O trọng tâm ∆ABC ) + Xét ∆SOA Vuông O có: · - SAO = 45 mà SA = 2 nên OA = SO = ⇒ AI = - Với H chân đường cao hạ từ O 1 = + ⇒ OH = 2 OA SO Ta có: OH SO ⊥ ( ABC ) BC ⊥ ( SAI ) + Trong ∆SIA Gọi J chân đường cao hạ từ I xuống SA Lại có nên BC ⊥ IJ Từ IJ đương vng góc chung SA & BC OH OA OH AI = ⇒ IJ = = AI OA + Xét ∆AIJ : IJ o · Câu 58: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 60 Biết SA = SC SB = SD Hỏi khoảng cách SA BD ? 3a 3a 3a 3a A B 14 C D 14 Hướng dẫn giải: SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ DB ⇒ DB ⊥ SO Ta có: DB ⊥ SO ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ AC Ta có: Trong mp ( SAC ) , kẻ OH ⊥ SA ( H ∈ SA) , OH ⊥ SA, OH ⊥ BD Do đó: d ( SA, DB ) = OH ta SO = 3a có: Ta có: 2 a 21 3a a SA = SO + OA2 = ÷ + = ÷ ÷ Tam giác SOA vng O, có OH đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3a = = SA a 21 14 3a d ( SA, DB ) = OH = 14 Vậy Chọn B Câu 59: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60o Khi khoảng cách hai đường thẳng AB SD OH = A B D C Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm CD Ta có: Trang 63 Giaovienvietnam.com ( SCD ) I ( ABCD ) = CD ( SOI ) ⊥ CD ( SOI ) I ( ABCD ) = OI ,( SOI ) I ( SCD) = SI ⇒ (· SCD),( ABCD) = (·OI , SI ) = 600 ( ) Ta có: AB / / CD ⇒ AB / /( SCD) ⇒ d ( AB, SD) = d ( AB,( SCD )) = d ( A,( SCD )) = 2d (O,( SCD )) Trong mp ( SOI ) , kẻ OH ⊥ SI ( H ∈ SI ) , ta có: OH ⊥ ( SCD ) Do đó: d (O,( SCD )) = OH Ta có: SI = SO + OI = 2 + OI = SO = tan 60 4 = 3 OH = SO.OI 3 = =1 SI Tam giác SOI vng O, có đường cao OH nên Do đó: d ( AB, SD) = 2d (O,( SCD )) = 2OH = 2.1 = Chọn B Câu 60: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a Hình chiếu ( ABCD ) điểm H thuộc cạnh AB cho AH = HB Góc vng góc S lên mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng ( ABCD ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng SC AD mặt phẳng theo a 6a 39 A 13 Hướng dẫn giải: 6a 13 B 13 a 39 C 13 a 13 D 13 ( ABCD ) điểm H nên Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng SH ⊥ ( ABCD ) Kẻ HM ⊥ CD (M ∈ CD ) , ta có: ( ABCD) I ( SCD) = CD ( SHM ) ⊥ CD · · ⇒ ( ABCD),( SCD) = SMH = 60 ( SHM ) I ( ABCD) = HM ( SHM ) I ( SCD) = SM ( ) Ta có: AD / / BC ⇒ AD / /( SBC ) d ( AD, SC ) = d ( A,( SBC )) = 3d ( H ,( SBC )) Kẻ HI ⊥ SB ( I ∈ SB ) , ta có: HI ⊥ ( SBC ) d ( H ,( SBC )) = HI 2 Ta có: SH = HM tan 60 = 2a SB = SH + HB = a 13 SH HB 2a 39 6a 39 IH = = d ( AD, SC ) = 3HI = SB 13 Vậy 13 Chọn A Suy ra: Câu 61: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng C , AB = 5a; BC = 4a Cạnh SA ( SBC ) với mặt đáy ( ABC ) 60o Gọi D trung điểm vng góc với đáy góc mặt phẳng cạnh AB Khoảng cách hai đường thẳng SD BC là: 3a 39 3a 13 a 13 a 39 A 13 B 13 C 13 D 13 Trang 64 Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC , ta có: BC / /( SMD) ⇒ d ( BC , SD) = d (C ,( SMD)) = d ( A,( SMD)) Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) , ta có: AH ⊥ ( SMD ) SA AM 3a 39 = SM 13 3a 13 SM = SA2 + AM = Với Chọn A Câu 62: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a , AD = 2a, tam giác SAB cân đỉnh S nằm ⇒ d ( A,( SMD)) = AH = ( SCD ) tạo với đáy góc 60o Khoảng cách mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng AB SD là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 59 59 59 A 59 B C D Hướng dẫn giải: Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vuông cân C Gọi H, K trung điểm AB, ED , ta có: SH ⊥ ( ABCD) Gọi F đối xứng A qua B, kẻ HM ⊥ DF ( M ∈ DF ) · · Suy ra: ( SHM ) ⊥ DF ( SCD),( ABCD) = SMH = 60 3a AC = 4 Ta có: Ta có: AB / / ED ⇒ AB / /( SED ) d ( AB, SD ) = d ( H ,( SED)) Kẻ HI ⊥ SK , ta có: HI ⊥ ( SED) d ( H ,( SED)) = HI HM / / AC ⇒ HM = Ta có: SK = SH + HK = HI = Suy ra: Chọn B a 59 2 SI IK 6a 6a 177 = = SK 59 59 Câu 63: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc SB mặt phẳng ( ABC ) 60° , M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC là: 4a 51 2a 51 A 51 B a 51 D 17 Hướng dẫn giải: Gọi N , I trung điểm AC , BC C a 51 51 MN đường trung bình ∆ABC ⇒ MN€ BC ⇒ BC€ ( SMN ) Ta có: d ( BC ; SM ) = d ( BC ; ( SMN ) ) = d ( I ; ( SMN ) ) Trang 65 Giaovienvietnam.com = d ( A; ( SMN ) ) Dễ thấy BC ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAI ) theo giao tuyến SH ( SAI ) kẻ AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SMN ) Trong mặt phẳng d ( BC ; SM ) = d ( A; ( SMN ) ) = AK Vậy a a AI = ⇒ AH = AI = 2 Ta có: · SA ⊥ ( ABC ) SB; ( ABC ) ) = ( SB; AB ) = SBA = 60° ⇒ SA = AB.tan 60° = a Vì nên ( 1 1 16 17 = 2+ = 2+ = 2 AK SA AH 3a 3a 3a a 51 ⇒ AK = 17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Mặt ( SCD ) I trung điểm AB Khoảng cách hai bên SAB tam giác đều, SI vng góc với đường thẳng SO AB là: 3a a a a A B C D MN / / AB Kẻ ⇒ d ( SO, AB ) = d ( AB, ( SMN ) ) = d ( I , ( SMN ) ) Ta có AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI , AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI ⇒ MN ⊥ ( SOI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SOI ) Kẻ IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ ( SMN ) ⇒ IH = d ( I ; ( SMN ) ) Gọi J trung điểm CD JI SI ⊥ ( SCD ) ⇒ SI ⊥ SJ ⇒ SO = = a Do ⇒ OE = OI − IE = a − 3a a = + Do ∆SIO cân O kẻ OE ⊥ SI 2S 1a a2 a S∆OSI = OE.SI = a = ⇒ IH = ∆OSI ⇒ IH = 22 SO + Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I , AB = a, AD = 2a Gọi M trung điểm cạnh AB N trung điểm đoạn MI Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt Trang 66 Giaovienvietnam.com ( ABCD ) trùng với điểm N Biết góc tạo đường thẳng SB với mặt phẳng ( ABCD ) phẳng 45o Khoảng cách hai đường thẳng MN SD theo a là: a B A a Hướng dẫn giải: a C a D MN / / AD ⇒ MN / / ( SAD ) ⇒ d ( MN , SD ) Do = d ( MN , ( SAD )) = d ( N , (SAD )) Kẻ NE ⊥ AD, SN ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SNE ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SNE ) NH ⊥ SE ⇒ NH ⊥ ( SAD) Kẻ ⇒ d ( N , ( SAD ) ) = d ( MN , (SAD ) ) = NH Kẻ MN / / BD ⇒ BD / / ( SMN ) ⇒ d ( SM , BD ) = d ( BD, ( SMN ) ) = d ( E , ( SMN ) ) · ; ABCD = SBN SB ( ) · = 450 Ta có : Xét ∆BMN ⇒ a2 a2 a a BN = BM + NM = + = ⇒ SN = 4 2 a a NE.NS a NH = = 2 = a NE + NS 2 Do Câu 66: hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ( ABCD ) , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD) 45o Gọi vng góc với mặt phẳng M trung điểm cạnh AD Khoảng cách hai đường thẳng SM BD là: a 22 a a 11 a 11 A 11 B 11 C 22 D Hướng dẫn giải: · , ABCD = SCA SC ( ) · = 450 Ta có : Gọi E , K giao điểm AC với BD, NM AE ⇒ d ( E ; ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) ) Do MN / / BD ⇒ K trung điểm AE ⊥ MN , SA ⊥ MN ⇒ MN ⊥ ( SAE ) ⇒ ( SAE ) ⊥ ( SMN ) Kẻ AF ⊥ SE ⇒ FA ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = FA Kẻ Xét ∆ABC ⇒ AC = a ⇒ SA = a a a AN AM a AE = = = 2 AN + AM a + a2 FA = SA AE SA2 + AE = a 5 = a 22 11 55 a Trang 67 Giaovienvietnam.com o · Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD = 60 Gọi G trọng tâm tam giác ABD, a SG = SG ⊥ ( ABCD) Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách đường thẳng AB SM theo a a a a A B C Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Gọi J , K hình chiếu H lên DC , SJ d ( AB, SM ) = d ( AB, ( SDC ) ) = d ( A, ( SDC ) ) = d ( G , ( SDC ) ) · 3 SG.GJ SG.GC sin GCJ = GK = = 2 SJ SG + GJ · SG.GC.sin GCJ = 2 · SG + GC.sin GCJ ( a D ) S a AC.sin 300 3 = 2 a 6 2 0 ÷ + AC.sin 30 ÷ 3 a AO.sin 300 3 a = 2 a 6 2 0 + AO.sin 30 ÷ ÷ 3 K a a .sin 300 3 a = = 2 a 6 2 a sin 30 ÷ ÷ + 2 3 H A B 60 G O D J M C Câu 68: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB vng S nằm ( ABCD ) mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết SA = a cạnh bên SB tạo với mặt đáy o góc 30 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD là: a 21 2a A B Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi L, M hình chiếu H lên d , SL 2a 21 C S a M d ( SA, BD ) = d ( BD, ( SAL ) ) = d ( B, ( SAL ) ) BA BA = d ( H , ( SAL ) ) = HM HA HA a D A L 300 B H D O C Trang 68 Giaovienvietnam.com a BA SH HL BA SH HL SH HL SH HL = = = sin 30 = 2 2 HA SL HA SH + HL a.cos 60 SH + HL SH + HL2 SH ⇒ SH = a SA HL HL · sin LAH = ⇔ sin ·ABO = AH AH AH a cos 600 = ⇒ AH = SA sin 600 = a a 21 4 = = a 2 2 AO HL AO.AH 2 SH + HL a + a ⇔ = ⇔ HL = = AH = a AB AH AB Câu 69: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a Gọi H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy ; góc SH HL ( SAC ) ( ABCD ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng CH SD : hai mặt phẳng 2a 2a 10 a 2a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Vì H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với SH ⊥ ( ABCD ) đáy nên S a A a I O D Gọi I hình chiếu H AC suy góc hai mặt phẳng IH BC a a a ∆ABC : ∆AIH ⇒ = ⇔ IH = = AH AC a Ta có B H C ( SAC ) ( ABCD ) góc · SIH = 600 a Trong ∆SHI vng H có Gọi K điểm đối xứng H qua A ta có tứ giác CDKH hình bình hành suy CH song song với ( SDK ) ⊃ SD mặt phẳng d ( CH ,SD ) = d ( CH , ( SDK ) ) = d ( H , ( SDK ) ) Nên ta có: d ( H , ( SDK ) ) = HF Gọi E, F hình chiếu H DK SE Khi ta có SH = IH = Trang 69 Giaovienvietnam.com a a BH BC 2a 2 HE = 2d ( B, H C ) = =2 = 2 BH + BC a + 2a Ta có a 2a 2 SH HE = 2a = 2a HF = = 5a SH + HE a 8a + Trong ∆SHE vng H có Chọn D Câu 70: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , tam giác SAB cân 2a SBC ( ) S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ D đến Khoảng cách hai đường thẳng SB AC : a 10 a 10 A 10 B Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi K , I hình chiếu H lên d , SK 2a 2a d ( D, ( SBC ) ) = ⇔ d ( A, ( SBc ) ) = 3 a a ⇔ d ( H , ( SBC ) ) = ⇔ HI = 3 1 = + 2 HI SH HB a ⇔ = + ⇔ = ⇔ SH = 2 a SH a SH a HK HK · · sin KBH = ⇔ sin CAB = HB HB a 2a CB HK HB.CB 5a ⇔ = ⇒ HK = = = AC HB AC 5.a d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBK ) ) = 2d ( H , ( SBK ) ) = HL 2a 10 C 2a D S L I K A a 2a D H B O C SH HK SH HK SH SH a 10 =2 = =2 = 2 SK SH 2 SH + HK = Câu 71: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 3a, có SH ⊥ ( ABC ) với H thuộc ( ABC ) 60o Khoảng cách cạnh AB cho AB = AH Góc tạo SA mặt phẳng hai đường thẳng SA BC là: a 3a 15 a 15 3a 5 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Trang 70 Giaovienvietnam.com Vẽ đường thẳng d qua A song song với BC Gọi F , G hình chiếu H lên d , SF SH tan 600 = ⇒ SH = a a HF HF a · sin FAH = ⇔ sin 600 = ⇒ HF = AH a a a SH HF = 15 a HG = = SH + HF 3a + a d ( BC , SA ) = d ( B, ( SAF ) ) S G A 60 F H B 3a C 15 a Câu 72: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60o Gọi lên mặt phẳng M trung điểm DC Khoảng cách hai đường thẳng SA BM : a 285 3a 285 a 285 2a 285 19 A B C 19 D Hướng dẫn giải: S Chọn C Vẽ đường thẳng d qua A song song với BM Gọi O, P hình chiếu H = 3d ( H , ( SAF ) ) = 3HG = lên d , SO Ta có: P A O D H N 60 M B C BH = AB + AH = a + tan 600 = a2 a = SH a 15 ⇒ SH = BH OH OH CM OH CM AH · · sin OAH = ⇔ sin MBC = ⇔ = ⇔ OH = = AH AH BM AH BM a a 2 = 5a a 10 a2 + a 15 a 95a SO = SH + OH = + = ÷ ÷ ÷ ÷ 10 2 d ( SA, BM ) = d ( N , ( SAO ) ) = 4d ( H , ( SAO ) ) a 15 a SH OH 10 = 285 a = HP = = SO 19 95a Trang 71 Giaovienvietnam.com Trang 72 ... Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: Đáp án A: Đúng Đáp án B: Sai, phát biểu thiếu yếu tố cắt Đáp án C: Sai, mặt phẳng chưa tồn Đáp án D: Sai, phát biểu thiếu yếu tố vng góc Chọn đáp án D Câu. .. Suy Chọn đáp án B a AC = 4 Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng ( ACD ′) ( BA′ C ′) A khoảng cách từ điểm D ′ đến đường thẳng A′ C ′ B khoảng cách hai... nên SC BD Khoảng cách O khoảng cách từ điểm đến cạnh SC Chọn đáp án C A D O B C SA ⊥ ( ABCD ) , Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a BC = a Tính khoảng cách SD BC