www thuvienhoclieu com Giaovienvietnam com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Tích được gọi là vi phân của hàm số tại điểm (ứng với số gia ) được kí hiệu là Nếu hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân hàm số , kí hiệu là Đặc biệt nên ta viết B – BÀI TẬP Câu 1 Cho hàm số Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Câu 2 Tìm vi phân của các hàm số A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Câu 3 Tìm vi phân của các hàm số A B C D Hướng dẫn[.]
Giaovienvietnam.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT • Tích f '( x0 ).∆x gọi vi phân hàm số y = f ( x) điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) kí hiệu df ( x0 ) = f '( x0 )∆x • Nếu hàm số f có đạo hàm f ' tích f '( x)∆x gọi vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là: df ( x) = f '( x) ∆x Đặc biệt: dx = x ' ∆x = ∆x nên ta viết df ( x) = f '( x) dx B – BÀI TẬP y = f ( x ) = ( x − 1) Câu Cho hàm số dy = ( x − 1) dx A dy = ( x − 1) C Hướng dẫn giải: Chọn A dy = f ′ ( x ) dx = ( x − 1) dx Ta có Biểu thức sau vi phân hàm số dy = ( x − 1) dx B dy = ( x − 1) dx D Câu Tìm vi phân hàm số y = x + x A dy = (3x − x)dx f ( x) ? B dy = (3 x + x )dx D dy = (3x + x)dx C dy = (3x + x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = (3x + x)dx Câu Tìm vi phân hàm số y = 3x + dy = dx 3x + A B dy = dx 3x + dx dy = dx 3x + 2 3x + C D Hướng dẫn giải: Chọn D dy = dx 3x + Câu Cho hàm số y = x − x + 12 x − Vi phân hàm số là: dy = A dy = ( 3x − 18 x + 12 ) dx dy = − ( x − 18 x + 12 ) dx B C Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có dy = ( −3 x − 18 x + 12 ) dx dy = ( −3 x + 18 x − 12 ) dx D dy = ( x − x + 12 x − ) ′ dx = ( x − 18 x + 12 ) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = (3 x + 1) A dy = 10(3 x + 1) dx 10 10 B dy = 30(3 x + 1) dx Trang Giaovienvietnam.com C dy = 9(3 x + 1) dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = 30(3x + 1)9 dx 10 D dy = 30(3 x + 1) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = sin x + sin x dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx A B dy = ( cos x + sin x cos x ) dx dy = ( cos x + sin x cos x ) dx C D Hướng dẫn giải: Chọn B dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = tan x A dy = (1 + tan x) dx C dy = 2(1 − tan x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = 2(1 + tan 2 x )dx Câu Tìm vi phân hàm số y = x + 1 dy = dx ( x + 1) A dy = dx ( x + 1) C Hướng dẫn giải: Chọn D dy = dx 3 ( x + 1) 2 B dy = (1 − tan x) dx D dy = 2(1 + tan x)dx dy = B dy = D 3 ( x + 1)2 dx 3 ( x + 1)2 dx y = f ( x ) = + cos 2 x Câu Xét hàm số Chọn câu đúng: − sin x − sin x df ( x ) = dx df ( x ) = dx 2 + cos x + cos 2 x A B cos x − sin x df ( x ) = dx df ( x ) = dx + cos x + cos 2 x C D Hướng dẫn giải: Chọn B + cos 2 x ) ′ ( −4 cos x.sin x − sin x = dx = dx = dx 2 dy = f ′ ( x ) dx + cos x + cos x + cos x Ta có : Câu 10 Cho hàm số y = x − x + Vi phân hàm số là: A dy = ( 3x − ) dx dy = ( x + ) dx C Hướng dẫn giải: Chọn A dy = ( x − x + ) ′ dx = ( x − ) dx Ta có B dy = − ( 3x − ) dx dy = ( x − ) dx D Trang Giaovienvietnam.com y= 3x Vi phân hàm số là: 1 dy = dx dy = − dx x x B C Câu 11 Cho hàm số dy = dx A Hướng dẫn giải: Chọn C 3x ′ dy = ÷ d x = = − dx ( x3 ) x 3x Ta có x+2 y= x − Vi phân hàm số là: Câu 12 Cho hàm số dx 3dx dy = dy = 2 x − 1) x − 1) ( ( A B −3dx dx dy = dy = − 2 x − 1) x − 1) ( ( C D Hướng dẫn giải: Chọn C x + ′ dy = dx ÷ dx = − x −1 x − 1) ( Ta có x + x +1 y= x − Vi phân hàm số là: Câu 13 Cho hàm số x2 − x − dy = − dx ( x − 1) A 2x +1 dy = − dx ( x − 1) C D dy = x dx 2x +1 dx ( x − 1) B x2 − x − dy = dx ( x − 1) D dy = Hướng dẫn giải: Chọn D ( x + 1) ( x − 1) − ( x + x + 1) x2 − 2x − x + x + ′ = dx = d x dy = 2 ÷ dx x − x − x − ( ) ( ) Ta có y = sin x − 3cos x Câu 14 Cho hàm số Vi phân hàm số là: A dy = ( − cos x + 3sin x ) dx B dy = ( − cos x − 3sin x ) dx dy = ( cos x + 3sin x ) dx dy = − ( cos x + 3sin x ) dx C D Hướng dẫn giải: Chọn C dy = ( sin x − 3cos x ) ′ dx = ( cos x + 3sin x ) dx Ta có Câu 15 Cho hàm số y = sin x Vi phân hàm số là: A dy = – sin x dx Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có B dy = sin x dx C dy = sin x dx dy = d ( sin x ) = ( sin x ) ′ dx = cos x.2sin xdx = sin xdx Câu 16 Vi phân hàm số y= D dy = 2cosx dx tan x x là: Trang Giaovienvietnam.com x sin(2 x ) dx dy = dx 2 x x cos x x x cos x A B x − sin(2 x ) x − sin(2 x ) dy = dx dy = − dx 2 x x cos x x x cos x C D Hướng dẫn giải: Chọn D 1 x − tan x ′ tan x x dx dy = dx = x cos x ÷ ÷ x x dy = Ta có 1 sin x x − sin x cos x = − dx = dx ÷ 2 ÷ x cos x cos x x x x cos x x − sin x dx x x cos x Câu 17 Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là: dy = ( x cos x – sin x ) dx dy = ( x cos x ) dx A B dy = ( cos x – sin x ) dx dy = ( x sin x ) dx C D Hướng dẫn giải: Chọn B dy = ( x sin x + cos x ) ′ dx = ( sin x + x cos x − sin x ) dx = ( x cos x ) dx Ta có x y = x + Có vi phân là: Câu 18 Hàm số = A dy = − x2 dx ( x + 1) dy = 1− x dx ( x + 1) B dy = 2x dx ( x + 1) dy = dx ( x + 1) 2 C Hướng dẫn giải: Chọn A D 2 x2 + − x2 − x2 x ′ dy = ÷ dx = = dx 2 2 x + ( x + 1) ( x + 1) Ta có y = f ( x ) = ( x − 1) Câu 19 Cho hàm số Biểu thức sau vi phân hàm số cho? dy = ( x − 1) dx dy = ( x − 1) A B dy = ( x − 1) dx dy = ( x − 1) dx C D Hướng dẫn giải: Chọn A y = f ( x ) = ( x − 1) ⇒ y′ = ( x − 1) ⇒ dy = ( x − 1) dx f ( x ) = 3x2 − x Câu 20 Vi phân hàm số điểm x = , ứng với ∆x = 0,1 là: A −0, 07 B 10 C 1,1 D −0, Hướng dẫn giải: Chọn C f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( ) = 11 Ta có: df ( ) = f ′ ( ) ∆x = 11.0,1 = 1,1 Trang Câu 21 Vi phân A y = cot ( 2017 x ) dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx dy = − 2017 dx cos ( 2017 x ) là: dy = B 2017 dx sin ( 2017 x ) dy = − C Hướng dẫn giải: Chọn D y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ = − Giaovienvietnam.com D 2017 dx sin ( 2017 x ) 2017 2017 ⇒ dy = − dx sin ( 2017 x ) sin ( 2017 x ) x2 + x + Câu 22 Cho hàm số y = x − Vi phân hàm số là: x2 − x − 2x +1 dy = − dx dy = dx 2 ( x − 1) ( x − 1) A B dy = − 2x +1 dx ( x − 1) dy = x2 − 2x − dx ( x − 1) C D Hướng dẫn giải: Chọn D x + x + ′ x2 − 2x − dy = dx ÷ dx = ( x − 1) x −1 x+3 y= − x Vi phân hàm số x = −3 là: Câu 23 Cho hàm số 1 dy = dx dy = − dx d y = 7d x 7 B C A Hướng dẫn giải: Chọn A y′ = ⇒ y ′ ( −3 ) = ( 1− 2x) Ta có dy = dx Do Câu 24 Vi phân y = tan x : 5x dx cos x A dy = dx cos x C Hướng dẫn giải: Chọn C y = tan x ⇒ y′ = cos x dy = dx cos x Do dy = Câu 25 Hàm số A y = f ( x) = D dy = −7dx dx sin x B dy = − dx cos x D dy = − ( x − 1) x Biểu thức 0, 01 f '(0, 01) số nào? B -9 C 90 D -90 Trang Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: Chọn D ( x − 1)2 1 y = f ( x) = ⇒ y′ = − ⇒ y′ ( 0, 01) = −9000 x x x x Do 0, 01 f '(0, 01) = −90 Câu 26 Cho hàm số y = sin(sin x) Vi phân hàm số là: A dy = cos(sin x).sin xdx B dy = sin(cos x)dx C dy = cos(sin x).cos xdx Hướng dẫn giải: D dy = cos(sin x)dx Chọn C Ta có: y ' = (sin x) '.cos(sin x) = cos x.cos(sin x) nên dy = cos x.cos(sin x)dx x − x x ≥ f ( x) = x < 2 x Câu 27 Cho hàm số Kết đúng? f ′ ( 0+ ) = lim+ x2 − x = lim+ ( x − 1) = −1 x→0 x x→0 A df (0) = −dx B f ′ 0+ = lim+ x − x = f ′ 0− = lim− x = x→0 x→0 C D Hướng dẫn giải: Chọn B x2 − x f ′ ( 0+ ) = lim+ = lim+ ( x − 1) = −1 x→0 x →0 x Ta có: ; 2x f ′ ( 0− ) = lim− =2 x →0 x hàm số khơng có vi phân x = ( ) ( ( ) ) Câu 28 Cho hàm số y = cos x Vi phân hàm số là: A dy = cos x sin xdx B dy = cos x sin xdx C dy = −2 cos x sin xdx D dy = −2sin xdx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = d ( cos 2 x ) = cos x.(cos x) 'dx = −4 cos x.sin xdx = −2sin xdx Ta có : x + x x ≥ f ( x) = x < x Câu 29 Cho hàm số Khẳng định sai? A f ′ ( 0+ ) = C df (0) = dx Hướng dẫn giải: Chọn D B f ′ ( 0− ) = D Hàm số khơng có vi phân x = x2 + x x = lim+ ( x + 1) = f ′ ( 0− ) = lim− = x →0 x→0 x →0 x x Ta có: và df (0) = dx Câu 30 Cho hàm số y = f ( x ) = + cos x Chọn kết đúng: − sin x − sin x df ( x ) = dx df ( x ) = dx 2 + cos x + cos x A B cos x − sin x df ( x) = dx df ( x) = dx 2 + cos x + cos x C D Hướng dẫn giải: Chọn B f ′ ( 0+ ) = lim+ Trang dy = df ( x ) = d Ta có : ( ) + cos 2 x = Giaovienvietnam.com (1 + cos x) ' 2 + cos 2 x dx = Câu 31 Cho hàm số y = tan x Vi phân hàm số là: dy = dx 2 x cos x A B dy = dx x cos x C D Hướng dẫn giải: Chọn D dy = d tan x = ( x ) 'd x = ÷ 2 x cos cos x Ta có : 2x + y= x − : Câu 32 Vi phân hàm số dy = − dx 2 x − 1) ( A B dy = − dx 2 x − 1) ( C D Hướng dẫn giải: Chọn A −8 2x + dy = d dx ÷= 2 x − (2 x − 1) Ta có : ( ) −2.2 cos x.sin x + cos 2 x dy = dy = x x cos x − sin x dx = + cos 2 x dx dx x cos x dx dx dy = ( x − 1) dy = − dx ( x − 1) dx − x2 + x Vi phân hàm số là: Câu 33 Cho hàm số −4 x −4 dy = dx dy = dx −4 2 dy = dx + x2 ) + x2 ) ( ( + x2 A B C Hướng dẫn giải: Chọn A − x2 −4 x dy = d = dx ÷ + x (1 + x ) Ta có : Câu 34 Cho hàm số f ( x) = cos x Khi y= A d f ( x ) = sin x cos x − sin x dx B d f ( x ) = d f ( x ) = dx d f ( x ) = cos x C D Hướng dẫn giải: Chọn D (cos x) ' − sin x df ( x) = d cos x = dx = dx cos x cos x Ta có : ( sin x cos x − sin x cos x dy = D −dx (1+ x ) 2 dx dx ) Trang Giaovienvietnam.com ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' ( n −1) ( n −1) • Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − (với n ∈ ¥ , n ≥ ) f Nếu f (n ) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f , tức là: f ( n ) = ( f ( n −1) ) ' Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh công thức B – BÀI TẬP Câu Hàm số y= A y′′ = Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có x x − có đạo hàm cấp hai là: y′′ = x − 2) ( B −2 x ′ y′ = ÷= x − ( x − 2) y = ( x + 1) y′′ = − C ( x − 2) y′′ = D ( x − 2) −2 ′ ( x − 2) ′′ y = ÷ = = ( x − 2) ÷ x − 2) x − 2) ( ( ; Câu Hàm số có đạo hàm cấp ba là: y′′′ = 12 ( x + 1) y′′′ = 24 ( x + 1) A B 2 y′′′ = 24 ( x + 3) y′′′ = –12 ( x + 1) C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y = x + 3x + 3x + ; y′ = x + 12 x + x y ′′ = 30 x + 36 x + ; y′′′ = 120 x + 72 x = 24 ( x + ) Câu Hàm số y = x + có đạo hàm cấp hai bằng: y′′ = A (2 x + 5) x + (2 x + 5) x + C Hướng dẫn giải: Chọn C ′ y′ = x + = = 2x + Ta có B y′′ = − ( ) D y′′ = y′′ = − 2x + 2x + 2x + Trang Giaovienvietnam.com ( y′′ = − 2x + 2x + )′ = − y = Câu Hàm số 120 y (5) = − ( x + 1)6 A y (5) = ( x + 1) C 2x + = − 2x + ( x + 5) x + x + x +1 x + có đạo hàm cấp bằng: B y (5) D 120 ( x + 1)6 =− ( x + 1) y (5) = Hướng dẫn giải: Chọn A ⇒ y′ = − y = x+ ( x + 1) x +1 Ta có −6 24 120 (5) ⇒ y′′ = ⇒ y ( 3) = ⇒ y ( 4) = ⇒ y =− ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x2 + x + y= x + có đạo hàm cấp : Câu Hàm số 120 120 y ( 5) = − y ( 5) = ( x + 1) ( x + 1) A B 1 5 y( ) = y( ) = − 5 x + 1) x + 1) ( ( C D Hướng dẫn giải: Chọn A x2 + x + 1 y= = x+ x +1 x +1 Ta có: 24 120 ⇒ y′ = − y′′ = y′′′ = − y( ) = y( ) = − ( x + 1) ; ( x + 1) ; ( x + 1) ; ( x + 1) ; ( x + 1) Câu Hàm số y = x x + có đạo hàm cấp : x3 + 3x x2 + y′′ = − ′′ y = ( + x2 ) + x2 + x2 A B x3 + 3x x2 + y′′ = ′′ y = − ( + x2 ) + x2 + x2 C D Hướng dẫn giải: Chọn C x x x + − ( x + 1) x3 + x x2 + = x x + y′′ = y′ = x + + x = x2 + 2 ( + x2 ) + x2 x +1 x +1 ; Ta có: y = ( x + 5) Câu Hàm số y ′′′ = 80 ( x + ) A y′′′ = −480 ( x + ) C Hướng dẫn giải: Chọn B có đạo hàm cấp : B D y ′′′ = 480 ( x + ) y′′′ = −80 ( x + ) Trang Giaovienvietnam.com y′ = ( x + ) ×2 = 10 ( x + ) y′′ = 80 ( x + ) y′′ = 480 ( x + ) Ta có: ; ; Câu Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp : 2sin x 1 y′′ = − y ′′ = y′′ = − cos x cos x cos x A B C Hướng dẫn giải: Chọn D 2cosx ( −sinx ) 2sinx y′ = y′′ = − = cos x cos x cos3 x Ta có: Câu Cho hàm số y = sinx Chọn câu sai 4 D y′′ = 2sin x cos3 x π y′ = sin x + ÷ y′′ = sin ( x + π ) A B 3π y′′′ = sin x + ÷ y ( ) = sin ( 2π − x ) C D Hướng dẫn giải: Chọn D π π y′ = cosx = sin + x ÷ y′′ = cos + x ÷ = sin ( π + x ) 2 ; 2 Ta có: 3π 3π y′′′ = cos ( π + x ) = sin + x ÷ y ( 4) = cos + x ÷ = sin ( 2π + x ) ; −2 x + x y= 1− x Câu 10 Hàm số có đạo hàm cấp : −2 y′′ = + y′′ = y′′ = y′′ = 3 1− x) 1− x) 1− x) 1− x) ( ( ( ( A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B ⇒ y′ = + y′′ = y = 2x −1+ ( 1− x) ; (1 − x)3 1− x Ta có: π π y = f ( x ) = cos x − ÷ x ∈ 0; ( 4) f x = − ( ) Phương trình là: Câu 11 Hàm số có nghiệm A x= π π B x = π x= D x = x= x= C x = Hướng dẫn giải: Chọn A π π π π π y′ = −2sin x − ÷ y′′ = −4cos x − ÷ y′′′ = 8sin x − ÷ y ( 4) = 16cos x − ÷ 3 3 Ta có: π π ⇔ 16cos x − ÷ = −8 ⇔ cos x − ÷ = − f ( ) ( x ) = −8 3 3 Khi : π 2π π x − = + k 2π x = + kπ ⇔ ⇔ π x∈0; π x − π = − 2π + k 2π x = − π + kπ 2 → x = 3 Câu 12 Cho hàm số y = sin2x Chọn khẳng định Trang 10 Giaovienvietnam.com A y − y′ = B y + y′′ = Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x ⇒ y + y′′ = C y = y ′ tan x y = ( y′ ) = D x Xét hai mệnh đề : ( II ) : y′′′ = f ′′′ ( x ) = − x y = f ( x) = − Câu 13 Cho hàm số ( I ) : y′′ = f ′′ ( x ) = x Mệnh đề đúng? ( I ) ( II ) A Chỉ B Chỉ C Cả hai D Cả hai sai Hướng dẫn giải: Chọn D y′ = y′′ = − y′′′ = x ; x ; x Ta có: 2sin x f ′′ ( x ) = cos x f ( x ) Câu 14 Nếu 1 − A cos x B cos x C cot x D tan x Hướng dẫn giải: Chọn D ′ −2cosx ×( −sinx ) 2sinx ′′ tan x = ( ) ÷= = cos x cos3 x cos x Vì: − x2 + x + y = f ( x) = x −1 Câu 15 Cho hàm số Xét hai mệnh đề : = −1 − < 0, ∀x ≠ = ( I ) : y′ = f ′ ( x ) ( II ) : y′′ = f ′′ ( x ) ( x − 1)2 > 0, ∀x ≠ ( x − 1) Mệnh đề đúng? ( I ) A Chỉ Hướng dẫn giải: Chọn A B Chỉ ( II ) C Cả hai ⇒ y′ = −1 − 2 y ′′ = − x2 + x + = −x + ( x − 1) ; ( x − 1) x −1 x −1 Ta có: f ′′ ( ) f ( x ) = ( x + 1) Câu 16 Cho hàm số Giá trị A B C 12 Hướng dẫn giải: Chọn B f ′′ ( x ) = ( x + 1) ⇒ f ′′ ( ) = f ′ ( x ) = ( x + 1) Vì: ; π f ′′ ÷ f ( x ) = sin x + x Câu 17 Cho hàm số Giá trị A B −1 C −2 Hướng dẫn giải: Chọn B π ′′ ÷ = −1 ⇒ f 2 f ′ ( x ) = 3sin xcosx + x f ′′ ( x ) = 6sinxcos x − 3sin x + 2 Vì: ; D Cả hai sai y = f ( x) = D 24 D Trang 11 Giaovienvietnam.com f ′′ ( x ) = f ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) Câu 18 Cho hàm số Tập nghiệm phương trình ( −∞; 0] { −1} [ −1;2] A B C D ∅ Hướng dẫn giải: Chọn C f ′ ( x ) = 15 ( x + 1) + f ′′ ( x ) = 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) = ⇔ x = −1 Vì: ; y= x − Khi : Câu 19 Cho hàm số 3 y′′′ ( 1) = y′′′ ( 1) = y′′′ ( 1) = − y′′′ ( 1) = − 8 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C y′ = − y′′ = y′′′ = − x − 3) x − 3) x − 3) ⇒ y′′′ ( 1) = − ( ( ( Vì: ; ; y = ( ax + b ) Câu 20 Cho hàm số với a , b tham số Khi : y ( 10) ( 1) = y ( 10) ( 1) = 10a + b y ( 10) ( 1) = 5a y ( 10) ( 1) = 10a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A 4 y ′ = 5a ( ax + b ) y′′ = 20a ( ax + b ) y′′′ = 60a ( ax + b ) y ( ) = 120a ( ax + b ) y ( 5) = 120a Vì: ; ; ; ; ; ( 10) ( 6) ( 10 ) y = ⇒ y = Do y ( 1) = π y ( 4) ÷ bằng: Câu 21 Cho hàm số y = sin 2x Tính A 64 B −64 C 64 Hướng dẫn giải: Chọn C y′ = 2sin2x ( 2cos2x ) = 2sin4x y′′ = 8cos4x y′′′ = −32sin4x Vì: ; ; ; π ⇒ y ( 4) ÷ = 64 ( 4) y = −128cos4x 6 Câu 22 Cho hàm số A y '' = − sin x D −64 y = sin2x Tính y '' C y '' = sin x Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' = cos x ⇒ y '' = −4sin x B y '' = −4sin x D y '' = −4sin x π π y '''( ) y (4) ( ) y = sin2 x , Câu 23 Cho hàm số Tính A 16 B 17 Hướng dẫn giải: Chọn A (4) Ta có y ''' = −8cos x, y = 16sin x C 18 D 19 π 2π π π y '''( ) = −8cos = 4; y (4) ( ) = 16sin = 16 3 Suy Trang 12 Giaovienvietnam.com Câu 24 Cho hàm số y = sin2x Tính y ( n ) π y ( n ) = 2n sin(2 x + ) B π y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) D π y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) A π y ( n ) = 2n sin( x + ) C Hướng dẫn giải: Chọn D π π π y ' = 2sin(2 x + ), y '' = 22 sin(2 x + ) y ''' = 23 sin(2 x + ) 2 , Ta có π y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) Bằng quy nạp ta chứng minh π n = ⇒ y ' = 21 sin(2 x + ) Với π y ( k ) = 2k sin(2 x + k ) , Giả sử y ( k +1) = ( y ( k ) ) ' = 2k +1 cos(2 x + k π π ) = 2k +1 sin x + ( k + 1) ÷ 2 suy Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Câu 25 Tính đạo hàm cấp n hàm số (1) n −1.3.n ! y(n) = ( x + 2)n +1 A y ( n) = y= 2x +1 x+2 B n −1 (−1) 3.n ! ( x − 2) n+1 C Hướng dẫn giải: Chọn D D y ( n) = (−1) n −1.n ! ( x + 2) n+1 y ( n) = (−1) n −1.3.n ! ( x + 2) n +1 ' ( x + 2) −3.2 y' = , y '' = − = ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3 Ta có (−1) n −1.3.n ! 3.2.3 ( n) y = y ''' = ( x + 2) n +1 ( x + 2) Ta chứng minh • Với (−1)0 3 = ( x + 2) ( x + 2) (−1) k −1.3.k ! = ( x + 2) k +1 n =1⇒ y ' = • Giả sử y(k ) (−1) k −1.3.k ! ( x + 2) k +1 ' (−1) k 3.( k + 1)! ( x + 2) k + ( x + 2) k + Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh y= ,a ≠ ax + b Câu 26 Tính đạo hàm cấp n hàm số ⇒y ( k +1) A =( y y(n) = (k ) )'=− (2) n a n n ! (ax + b)n +1 = B y (n) = (−1)n a n n ! ( x + 1)n +1 Trang 13 Giaovienvietnam.com y(n) = (−1) n ! (ax + b)n +1 n C Hướng dẫn giải: Chọn D −a a 2 −a3 2.3 y' = , y '' = , y ''' = (ax + b)2 (ax + b)3 (ax + b) Ta có Ta chứng minh: y(n) = D y (n) = (−1) a n ! (ax + b) n +1 n n (−1) n a n n ! (ax + b) n +1 (−1)1.a1.1! a n =1⇒ y ' = =− (ax + b) (ax + b)2 • Với (−1) k a k k ! y(k ) = (ax + b)k +1 • Giả sử (−1) k a k k ! ( ax + b) k +1 ' (−1) k +1.a k +1 ( k + 1)! (ax + b )2 k + ( x + 2) k +2 Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh 2x +1 y= x − 5x + Câu 27 Tính đạo hàm cấp n hàm số ⇒y ( k +1) A =( y y ( n) = (n) (k ) )'=− = (2) n 7.n ! (1)n 5.n ! − ( x − 2) n +1 ( x − 3)n +1 B y(n) = (−1) 7.n ! ( −1) 5.n ! = − ( x − 2) n ( x − 3) n n n y y C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x + = 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x − x + = ( x − 2)( x − 3) Suy y= (n) (−1) n +1.7.n ! (−1) n+1.5.n ! − ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 (−1) n 7.n ! (−1) n 5.n ! = − ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 − x−3 x −2 (n) (n) (−1) n 1n.n ! ( −1) n n ! ( −1) n n ! = = , = ÷ ÷ ( x − 2) n +1 ( x − 2)n +1 x − ( x − 3)n +1 Mà x − (−1) n 7.n ! ( −1)n 5.n ! y(n) = − n +1 ( x − 2) ( x − 3) n +1 Nên Câu 28 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = cos x π n y ( n ) = ( −1) cos x + n ÷ 2 A π y ( n ) = n+1 cos x + n ÷ 2 C Hướng dẫn giải: Chọn D π π y ' = cos x + ÷, y '' = 2 cos x + ÷, 2 2 Ta có π y ''' = 23 cos x + ÷ 2 π y ( n ) = 2n cos x + ÷ 2 B π y ( n ) = n cos x + n ÷ 2 D π y ( n ) = n cos x + n ÷ 2 Bằng quy nạp ta chứng minh Trang 14 Giaovienvietnam.com Câu 29 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x + ( −1) n +1.3.5 (3n − 1) (−1) n −1.3.5 (2n − 1) y (n) = y (n) = (2 x + 1) n −1 (2 x + 1)2 n −1 A B (−1) n +1.3.5 (2n − 1) (−1) n +1.3.5 (2n − 1) y (n) = y (n) = (2 x + 1) n +1 (2 x + 1) n −1 C D Hướng dẫn giải: Chọn D 1 y' = , y '' = − , y ''' = 2x + (2 x + 1) (2 x + 1)5 Ta có (−1) n +1.3.5 (2n − 1) y (n) = (2 x + 1) n −1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: Câu 30 Tính đạo hàm cấp n hàm số 5.(−1) n n ! 3.( −1) n n ! y (n) = + ( x − 2) n +1 ( x − 1) n+1 A y (n) = y= 2x +1 x − 3x + 2 B 5.(−1) n ! 3.(−1) n ! : ( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1 n n C Hướng dẫn giải: Chọn D y= − x − x −1 Ta có: Bằng quy nạp ta chứng minh được: D y (n) = Câu 31 Tính đạo hàm cấp n hàm số (−1) n 3.n ! (−1) n 2.n ! (n) y = + ( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1 A y (n) = Suy 5.(−1) n n ! 3.( −1) n n ! − ( x + 2) n +1 ( x − 1) n +1 y (n) = 5.(−1) n n ! 3.(−1) n n ! − ( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1 5.(−1) n n ! 3.( −1) n n ! − ( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1 y= x x + 5x + y (n) B (−1) n 3.n ! ( −1) n 2.n ! − ( x + 3) n −1 ( x + 2) n −1 C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x = 3( x + 2) − 2( x + 3) ; x + x + = ( x + 2)( x + 3) y= y (n ) = (−1) n 3.n ! ( −1) n 2.n ! = − ( x + 3) n ( x + 2) n y(n) = (−1) n 3.n ! (−1) n 2.n ! − ( x + 3) n +1 ( x + 2)n +1 − x+3 x+2 (n) (n) (−1)n 1n.n ! (−1)n n ! ( −1) n n ! = , ÷ = ÷ = ( x + 2)n +1 ( x + 2)n +1 x + ( x +)n +1 Mà x + (−1) n 3.n ! ( −1) n 2.n ! y (n) = − ( x + 3)n +1 ( x + 2) n+1 Nên ta có: Câu 32 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = cos x Trang 15 Giaovienvietnam.com π π y ( n ) = n+1 cos x + n ÷ y ( n ) = 2n −1 cos x + n ÷ 2 2 A B π π y ( n ) = 2n cos x + ÷ y ( n ) = n cos x + n ÷ 2 2 C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : π π π y ' = cos x + ÷, y '' = 2 cos x + ÷, y ''' = 23 cos x + ÷ 2 2 π y ( n ) = n cos x + n ÷ 2 Bằng quy nạp ta chứng minh Trang 16 Giaovienvietnam.com Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí : • Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : v ( t ) = s ' ( t0 ) • Cường độ tức thời điện lượng Q = Q( t) t thời điểm : s = s( t) t thời điểm I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) Câu Một chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t + 5t + , t tính giây s tính mét Gia tốc chuyển động t = là: 2 2 A 24m / s B 17m / s C 14m / s D 12m / s Hướng dẫn giải: Đáp án D Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s′ = t − 3t + 5t + ′ = 3t − 6t + ( ) s′′ = 6t − ⇒ s′′ ( 3) = 12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t − 9t + ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau ? A Vận tốc chuyển động t = t = B Vận tốc chuyển động thời điểm t = v = 18 m / s C Gia tốc chuyển động thời điểm t = a = 12 m / s D Gia tốc chuyển động t = Hướng dẫn giải: Đáp án C Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s′ = t − 3t + 5t + ′ = 3t − 6t + ( ) s′′ = 6t − ⇒ s′′ ( 3) = 12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau đúng? A Gia tốc chuyển động t = s a = 18m / s B Gia tốc chuyển động t = s a = 9m / s C Vận tốc chuyển động t = 3s v = 12m / s D Vận tốc chuyển động t = 3s v = 24m / s Hướng dẫn giải: Đáp án A s′ = 3t − 6t ⇒ s′′ = 6t − s′′ ( ) = 18 Trang 17 ... lim+ = lim+ ( x − 1) = −1 x→0 x →0 x Ta có: ; 2x f ′ ( 0− ) = lim− =2 x →0 x hàm số khơng có vi phân x = ( ) ( ( ) ) Câu 28 Cho hàm số y = cos x Vi phân hàm số là: A dy = cos x sin xdx B dy = cos... cos x Ta có : ( sin x cos x − sin x cos x dy = D −dx (1+ x ) 2 dx dx ) Trang Giaovienvietnam.com ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f... Giaovienvietnam.com y= 3x Vi phân hàm số là: 1 dy = dx dy = − dx x x B C Câu 11 Cho hàm số dy = dx A Hướng dẫn giải: Chọn C 3x ′ dy = ÷ d x = = − dx ( x3 ) x 3x Ta có x+2 y= x − Vi