Bài 1.KHÁI NIỆM VECTƠ A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa vectơ: r a Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút r x B đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm A điểm cuối Hình 1.1 uuu r B AB Vectơ có điểm đầu , điểm cuối r r r r a Vectơ cịn kí hiệu là: , b , x , y , r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu A ta kí hiệu : Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương AB phương CD kí hiệu: AB // CD - Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ - Hai vectơ phương hướng ngược hướng AB hướng CD kí hiệu: AB CD CD CD AB ngược hướng kí hiệu: AB A F B C D Hình 1.2 H E G uuu r uuur uuu r uur CD HG AB EF Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ hướng ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ uuu r uuu r AB - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu uuu r AB = AB Vậy - Hai vectơ chúng hướng độ dài a b a Nếu ta viết = b AA BB = , | |= uuu r uuu r Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB = CD A C B Hình 1.3 D B- CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng toán Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ: Phương pháp giải Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Bài 1: Cho điểm A, B, C , D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Lời giải tham khảo A, B , A, C , A, D , Có 10 cặp điểm khác A, E , B, C , B, D , B, E , C , D , C , E , D, E Do có 20 vectơ khác Bài 1.1:Cho ABC Có thể xác định vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? Lời giải A, B , A, C , B, C Do Có cặp điểm khác có vectơ khác Lưu ý: Với hai điểm A, B phân biệt, ta xác định hai vectơ khác là: AB BA AA 0 A Với điểm Bài 1.2:Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo Có vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C , D, O ? Lời giải A, B , Có 10 cặp điểm khác A, C , A, D , B, C , B, D , Bài 1.3: Có thể kể tên vectơ- khơng có điểm đầu điểm cuối điểm có tên hình vẽ ? C , D , O, A , O, B , O, C , O, D Do ó 20 vectơ khác Lời giải CC AA BB DD Vectơ , , , , EE , FF Vậy có vectơ-khơng Bài 2:Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuu r a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? uuur uuu r AB b) Khi hai vectơ AC ngược hướng ? Lưu ý: Hai vectơ phương chúng có giá Hai vectơ hướng chúng có phương hướng Lời giải uuur uuu r AB a) Hai vectơ AC hướng A nằm đoạn BC uuur uuu r AB b) Hai vectơ AC ngược hướng A nằm đoạn BC Bài 2.1:Chứng minh ba điểm uuu r uuur AB , AC phương A , B, C phân biệt thẳng hàng Lời giải tham khảo uuu r uuur A , B, C thẳng hàng suy giá AB, AC đường Nếu uuu r uuur A , B, C nên AB, AC phương thẳng qua ba điểm uuu r uuur AB , AC phương đường thẳng AB Ngược lại AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A , B, C thẳng hàng Bài 2.3:Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt uuu r uuu r AB = BC a) Nếu có nhận xét ba điểm A, B, C uuu r uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C , D Lời giải: a) B trung điểm AC b) A, B, C , D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 2.2:Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB a) Có vectơ khác vectơ - uuuu r không phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Có vectơ khác vectơ - uuu r AB khơng hướng với có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho Lời giải tham khảo: a Các vectơ khác vectơ không uuuu r MN phương với uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uur NM , AB, BA , AP , PA, BP , PB b Các vectơ khác vectơ - không uuu r hướng với AB uuu r uur uuuu r AP , PB , NM Bài 2.4: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định ? uuu r uuu r a) AB = BC uuu r uuur b) AB = DC uuu r uuu r OA =OC c) Bài 2.5: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r uuu r uuu r d) OB = OA e) f) a) Bằng với AB uuu r OC b) Ngược hướng với uuu r uuu r AB = BC uuu r uuu r OA = BD Lời giải: uuu r uuu r uuu r FO , OC , ED a) Lời giải: uuu r uuu r uuu r uuu r CO , OF , BA , DE b) a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f) Đúng Bài 2.7: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Bài 2.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho Tính độ dài vectơ uu r BI Lời giải: uuu r a) Bằng với AB uuu r OC b) Ngược hướng với Lời giải: uuu r uuu r uuu r FO , OC , ED a) uuu r uuu r uuu r uuu r CO , OF , BA , DE b) Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D uuuu r a Hãy tính độ dài vectơ sau MD b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Tính độ dài MN Lời giải tham khảo uuu r AB = AB = a Ta có Gọi M trung điểm BC uuur 2 AG = AG = AM = AB2 - BM 3 Ta có 2 a a = a = uu r BI = BI = BM + MI a Áp dụng định lý Pitago tam giác vng MAD ta có ỉư a ÷ 5a DM = AM + AD = ç ÷ ç ÷+ a = ç2 ø è 2 2 a uuuu r a MD = MD = Suy Þ DM = a2 a2 a 21 = + = b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng PM PA AM a a 3a 2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có ỉ3a ữ 13a2 ỗ MN = NP + PM = a +ỗ ữ = ỗ ố2 ữ ứ 2 Þ DM = 2 a 13 uuuu r a 13 MN = MN = Suy Bài 2.8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm uuu r OB vectơ từ điểm A, B, C , D, O có độ dài Lời giải tham khảo uuu r uuur uuur BO , DO , OD Dạng toán Chứng minh hai vectơ Ta dùng cách sau: | a || b | a b a, b cung huong + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành A B o AB DC , BC AD ,… (hoặc viết ngược lại) a + Nếu b, b c a c Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E , F trung điểm BC , CA, AB EF CD Chứng minh: Lời giải tham khảo D C Lưu ý A E F B C D Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF //CD , EF BC CD EF CD EF CD (1) EF hướng CD (2) Từ (1),(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành EF BC CD EF //CD EFDC hình bình hành EF CD Bài 3.1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN AM NC , DK NI Chứng minh: M C I K Lời giải điểm A, B, C thẳng hàng B, C thuôc nửa đường thẳng gốc A B C (trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự) B N A Giả sử AB AC Khi AB AC , ba Lời giải D Bài 3.2: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) Ta có MC //AN MC AN MACN hình bình hành AM NC Tương tự MCDN hình bình hành nên K trung điểm MD DK = KM Tứ giác IMKN hình bình hành, Suy NI = KM DK NI Bài 3.3: Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O Chứng AH B ' C minh: Giải Bài 3.4: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh uuuu r uuu r MN =QP Lời giải: Vì BB đường kính đường trịn ngoại tiếp ABC nên Do M , N trung điểm nên MN đường trung bình tam giác MN = AC suy MN / / AC (1) BCB 90 Do CH //BA AH //BC BAB Suy tứ giác ABCH hình bình hành Vậy AH BC Bài 3.5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm Tương tự QP đường trung bình uuur uuur BC B B ' Dựng điểm cho ' B = AG Chứng minh: uu r uu r a) BI = IC uu r uur J BJ = IG b) Gọi trung điểm BB ' Chứng minh tam giác ADC suy QP / / AC QP = AC (2) Từ (1) (2) suy MN / /QP MN = QP tứ giác MNPQ Lời giải: hình bình hành uuuu r uuu r MN = QP Vậy ta có a) Vì I trung điểm BC nên uu r uu r BI = CI BI hướng với IC uu r uur uu r uur hai vectơ BI , IC hay BI = IC uuur uuur B b) Ta có ' B = AG suy B ' B = AG BB '/ / AG uu r uur BJ , IG hướng (1) Do IG = AG Vì G trọng tâm tam giác ABC nên , J BJ = BB ' trung điểm BB ' suy Vì BJ = IG (2) uu r uur BJ = IG Từ (1) (2) ta có Bài 3.6: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN Bài 3.7: Cho hình bình hành ABCD M , N trung điểm DC , AB ; P giao điểm AM , DB Gọi CN , DB Chứng Q giao điểm uuu r uuu r uuu r DP = PQ = QB minh: Lời giải: AM , DB Q giao điểm Gọi P giao điểm uuu r uuu r CN , DB Chứng minh DB = QB Lời giải: Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành uuuu r uuur Suy AM = NC Xét tam giác D DMP D BNQ ta có DM = NB (giả · · PDM = QBN thiết), (so le trong) · · · · Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) APQ = NQB · · (hai góc đồng vị) suy DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuu r uuu r uuu r uuu r DB , QB DB = QB Dễ thấy hướng Ta có tứ giác DMBN hình bình hành DM = NB = AB, DM / / NB uuuu r uuu r Suy DM = NB Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / /QC P trung điểm DQ Tương tự xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB Vì DP = PQ = QB từ uuu r uuu r uuu r DP = PQ = QB suy Bài 3.8: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với uu r uuur AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh: uur uur DI = CB a) uur uu r uuur AI = IB = DC b) Lời giải: Bài 3.9: uu r uuur a) Ta có CI = DA suy AICD Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường trịn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O uuur uuur AH = B ' C Chứng minh: Lời giải: hình bình hành uuur uur Þ AD = IC Ta có DC = AI mà AB = 2CD AI = AB Þ I trung điểm AB Ta có DC = IB DC / / IB Þ tứ giác BCDI hình bình hành uur uur DI = CB Suy Ta có B ' C ^ BC , AH ^ BC Þ B ' C //AH , B ' A ^ BA , CH ^ AB Þ B ' A //CH Suy AHCB ' hình bình hành uuur uuur AH = B ' C uur uu r AB Þ AI = IB I b) trung điểm tứ giác uu r uuur BCDI hình bình hành Þ IB = DC suy uur uu r uuur AI = IB = DC Dạng toán Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta OM a O a biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng , xác định Ta thường sử dụng tính chất về: Trung điểm đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k, hình bình hành, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, … a A Bài 4.Cho điểm vectơ Dựng điểm M cho: a AM a) = ; a a AM b) phương có độ dài | | Lưu ý Lời giải a Giả sử giá Vẽ đường thẳng d qua A d // M (nếu A thuộc d trùng ) Khi có hai điểm M thuộc d cho: AM AM a Khi ta có: AM = a AM AM a b) = phương với a) M , N , P Bài 4.2:Cho trước hai điểm A , B phân Bài 4.1:Cho tam giác ABC Gọi biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn trung điểm BC , CA , AB uuu r A, B Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu Lời giải Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP uuur Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B uuu r NP vectơ A Qua dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy uuu r uuuur điểm A ' cho AA ' hướng với NP AA ' = NP uuuur Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A uuu r vectơ NP uuur uuur MA = MB Lời giải: uuur uuur MA = MB Û MA = MB Þ Tập M hợp điểm đường trung trực AB đoạn thẳng