1 1a bài giảng tự luận khái niệm vectođáp án chi tiết bản gốc của cô pham hoai

Bài 1.KHÁI NIỆM VECTƠ A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa vectơ: r a Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút r x B đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm A điểm cuối Hình 1.1 uuu r AB B Vectơ có điểm đầu , điểm cuối r r r r Vectơ kí hiệu là: a , b, x , y , r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu A ta kí hiệu : Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương     AB phương CD kí hiệu: AB // CD - Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ - Hai vectơ phương hướng ngược hướng     AB hướng CD kí hiệu: AB  CD     AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD A F B C D Hình 1.2 H E G uuu r uuur uuu r uur CD HG AB EF Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ hướng cịn ngược hướng Đặc biệt: vectơ – khơng hướng với véc tơ Hai vectơ uuu r uuu r AB - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu uuu r AB = AB Vậy - Hai vectơ chúng hướng độ dài     a b a Nếu ta viết = b     AA BB = , | |= uuu r uuu r ABCD AB = CD Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành A C B Hình 1.3 D Dạng tốn Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ: Phương pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính  độ dài vectơ  Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Bài 1: Cho điểm A, B, C , D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Lời giải tham khảo  A, B ,  A, C ,  A, D , Có 10 cặp điểm khác  A, E ,  B, C ,  B, D ,  B, E ,  C , D ,  C , E ,  D, E Do có 20 vectơ khác 0 Bài 1.1: Cho ABC Có thể xác định vectơ khác  có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C Lời giải  A, B ,  A, C ,  B, C Do Có cặp điểm khác  có vectơ khác Bài 1.2: Cho tứ giác ABCD , có tâm O  Có vectơ khác Lời giải  A, B ,  A, C ,  A, D ,  B, C ,  B, D ,  C , D ,  O, A ,  O, B ,  O, C ,   O, D Do ó 20 vectơ khác Có 10 cặp điểm khác Bài 1.3: Có vec-tơ khơng hình? Lưu ý: Với hai điểm A, B phân biệt, ta xác định hai vectơ khác    là: AB BA    AA 0 A Với điểm Lời giải     CC Vectơ AA , BB , , DD , EE , FF Vậy có vec-tơ không  Bài 1.1:  Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuu r AB a) Khi hai vectơ AC hướng ? uuur uuu r b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Lời giải uuu r AB a) Hai vectơ đoạn BC uuu r AB b) Hai vectơ BC đoạn Bài 1.2: uuur AC hướng A nằm uuur AC ngược hướng A nằm A , B , C phân biệt thẳng hàng uuu r uuur AB , AC phương Chứng minh ba điểm Lời giải tham khảo uuu r uuur A , B , C AB , AC Nếu thẳng hàng suy giá uuu r uuur A , B , C AB , AC đường thẳng qua ba điểm nên phương uuu r uuur AB , AC phương đường Ngược lại thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường A , B, C AC AB thẳng thẳng hàng Bài 1.3: trùng hay ba điểm M , N , P trung Cho tam giác ABC Gọi BC , CA , AB điểm a) Có vectơ khác vectơ - khơng phương uuuu r MN với có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Có vectơ khác vectơ - khơng hướng Lưu ý: Hai vectơ phương chúng có giá Hai vectơ hướng chúng có phương hướng uuu r với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho Lời giải tham khảo: A' A N P B' B M C Hình 1.4 a) Bài 1.4: uuuu r MN a Các vectơ khác vectơ không phương với uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uur NM , AB, BA , AP , PA , BP , PB uuu r b Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB uuu r uur uuuu r AP , PB, NM Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt uuu r uuu r a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C uuu r uuur AB = DC có nhận xét bốn điểm b) Nếu A, B, C , D Lời giải: a) B trung điểm AC b) A, B, C , D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định ? uuu r uuu r a) AB = BC uuu r uuur AB = DC b) uuur uuu r OA =OC c) uuu r uuur d) OB = OA uuu r uuu r AB = BC e) f) uuur uuu r OA = BD Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f) Đúng Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r a) Bằng với AB uuu r OC b) Ngược hướng với Lời giải: uuu r uuu r uuu r FO , OC , ED a) uuu r uuu r uuu r uuu r CO , OF , BA , DE b) Bài 1.7: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D uuuu r a Hãy tính độ dài vectơ sau MD b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB  P Tính độ dài MN Lời giải tham khảo a Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông MAD ta cú ổử a ữ 5a ỗ DM = AM + AD = ỗ ữ + a = ỗ ữ ố2 ứ 2 a uuuu r a MD = MD = Suy Þ DM = b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng PM PA  AM a  a 3a  2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có ỉ3a 13a ÷ ç MN = NP + PM = a +ç ÷ = ỗ ữ ố2 ứ ị DM = a 13 2 uuuu r a 13 MN = MN = Suy Bài 1.8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D, O có độ dài uuu r OB Lời giải tham khảo uuu r uuur uuur BO , DO , OD Bài 1.9: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uur BI Tính độ dài vectơ Lời giải: uuu r AB = AB = a Ta có Gọi M trung điểm BC uuur 2 AG = AG = AM = AB2 - BM 3 Ta có 2 a a a = uu r a2 a2 a 21 2 BI = BI = BM + MI = + = Dạng toán Chứng minh hai vectơ = Ta dùng cách sau:      | a || b |      a b a, b cung  huong  + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành A B     o AB DC , BC  AD ,… D (hoặc viết ngược lại)      + Nếu a b, b c  a c Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E , F trung điểm BC , CA, AB   EF CD Chứng minh: Lời giải tham khảo A E F B C D Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF //CD ,   EF  BC CD  EF CD  EF  CD (1)   EF hướng CD (2)   Từ (1),(2)  EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành EF  BC CD EF //CD  EFDC hình bình hành    EF CD Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN     AM  NC , DK  NI Chứng minh: Lời giải M D C I K A N B C Lưu ý Ta có MC //AN MC  AN  MACN hình bình hành   AM  NC  Tương tự MCDN hình bình hành nên K trung điểm   IMKN hình bình hành, MD  DK = KM   Tứ giác   Suy NI = KM  DK  NI Bài 1.2: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)   Lời giải Giả sử AB  AC Khi AB  AC , ba điểm A, B, C thẳng hàng B, C thuôc nửa đường thẳng gốc A  B C (trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự) Bài 1.3: Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường O  tròn ngoại tiếp  Gọi  B điểm đối xứng B qua Chứng minh: AH B ' C Giải Vì BB đường kính đường trịn ngoại tiếp ABC nên   BCB   90 Do CH //BA AH //BC Suy BAB    AB CH tứ giác hình bình hành Vậy AH BC Bài 1.4: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm uuuu r uuu r AB, BC , CD, DA Chứng minh MN =QP Lời giải: Do M , N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / / AC MN = AC (1) Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP = AC (2) MN / / QP Từ (1) (2) suy MN = QP tứ giác MNPQ hình bình hành uuuu r uuu r MN = QP Vậy ta có QP / / AC Bài 1.5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm uuur uuur BC Dựng điểm B ' cho B ' B = AG Chứng minh: uu r uur BI = IC a) uu r uur J BJ = IG b) Gọi trung điểm BB ' Chứng minh Lời giải: a) Vì I trung điểm BC nên uur uu r BI = CI BI hướng với IC uu r uur uur uur IC BI = IC BI hai vectơ , hay uuur uuur b) Ta có B ' B = AG suy B ' B = AG BB '/ / AG uu r uur BJ , IG hướng (1) Do IG = AG Vì G trọng tâm tam giác ABC nên , J BJ = BB ' trung điểm BB ' suy Vì BJ = IG (2) uu r uur BJ = IG Từ (1) (2) ta có Bài 1.6: DC , AB Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng M , N cho DM = BN Gọi P AM , DB Q giao điểm CN , DB giao điểm uuu r uuu r DB = QB Chứng minh theo thứ tự lấy điểm Lời giải: Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành uuuu r uuur AM = NC Suy Xét tam giác D DMP D BNQ ta có DM = NB (giả · · PDM = QBN thiết), (so le trong) · · · · Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) APQ = NQB (hai · · góc đồng vị) suy DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuu r uuu r uuu r uuu r DB , QB DB = QB Dễ thấy hướng Bài 1.7: M , N trung Cho hình bình hành ABCD Gọi DC , AB ; P giao điểm AM , DB Q uuu r uuu r uuu r CN , DB DP = PQ = QB giao điểm Chứng minh: điểm Lời giải: Ta có tứ giác DMBN hình bình hành DM = NB = AB , DM / / NB uuuu r uuu r Suy DM = NB Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / / QC P trung điểm DQ Tương tự Bài 1.8: xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB Vì DP = PQ = QB từ suy uuu r uuu r uuu r DP = PQ = QB Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với uu r uuur AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh: uur uur DI = CB a) uur uu r uuur b) AI = IB = DC Lời giải: uu r uuur CI = DA suy AICD a) Ta có hình bình hành uuur uur Þ AD = IC Ta có DC = AI mà AB = 2CD AI = AB Þ I trung điểm AB Ta có DC = IB DC / / IB Þ tứ giác BCDI hình bình hành uur uur DI = CB Suy uur uu r AB Þ AI = IB b) I trung điểm tứ giác BCDI uu r uuur uur uu r uuur Þ IB = DC AI = IB = DC hình bình hành suy Bài 1.9: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường trịn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O Chứng minh: uuur uuur AH = B ' C Lời giải: Ta có B ' C ^ BC , AH ^ BC Þ B ' C //AH , B ' A ^ BA , CH ^ AB Þ B ' A //CH uuur uuur AH = B ' C AHCB ' Suy hình bình hành Dạng tốn Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ  Để xác định điểm M ta cần phải rõ  vị trí vẽ Thơng thường ta  điểm hình  biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: Trung điểm đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k, hình bình hành, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, …  Bài 1.1: Cho điểm A vectơ a Dựng điểm M cho:   a) AM = a ;    b) AM phương a có độ dài | a | Lời giải  a Giả sử  giá Vẽ đường thẳng d qua A d // M (nếu A thuộc  d trùng ) Khi có hai điểm M thuộc d cho:    AM  AM  a Khi ta có:   AM = a   AM AM a b) = phương với a)  Bài 1.1: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB uuu r A, B NP Vẽ vectơ vectơ mà có điểm đầu Lời giải Lưu ý Bài 1.2: Bài 1.3: Bài 1.4: Bài 1.5: Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP uuur Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B uuu r NP vectơ Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy điểm A ' uuu r uuuu r cho AA ' hướng với NP AA ' = NP uuuu r Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A uuu r NP vectơ cho tam giác ABC Tìm điểm M cho    MA  MB  MC 0 Lời giải Ta có:    MA  MB  2MC 0      MA  MB  MC  MC 0      MB  MC 3MG ( G trọng tâm ABC ) Mà MA   Hay MG MC 0    MC  3MG  CM 3MG M thỏa mãn điều Cho ABC   Hãy xác định điểm kiện MA  MB  MC 0 Lời giải: Ta có: Với A, B, C ba đỉnh tam giác M túy     ý, ta có: MA  MB  MC 3MG ( G trọng tâm ABC )    MA  MB  MC 0 Theo giả thiết  3MG 0  MG 0  M G A , B phân biệt Tìm tập hợp Cho trước hai điểm uuur uuur MA = MB điểm M thoả mãn Lời giải: uuur uuur MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB