51A bài giảng tự luận dấu của tam thức bậc hai (đáp án chi tiết) sửa sen nguyễn pb2

51 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng Trong a, b, c số cho trước với a 0 f  x  ax  bx  c ax  bx  c  Nghiệm phương trình gọi nghiệm tam thức bậc hai ;  b  4ac  ' b '2  ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c Dấu tam thức bậc hai 2.1 Định lý f  x  ax  bx  c  b  4ac Cho tam thức bậc hai , f  x  Nếu   dấu với hệ số a với x   b x  f x   2a  Nếu  0 dấu với hệ số a với f  x x ; x  x  x2  f  x Nếu   có hai nghiệm phân biệt Khi đó: dấu với hệ số a với x đoạn  x1 ; x2  f  x  trái dấu với hệ số a với x khoảng  x1 ; x2   b 2b ta thay   b2  ac Chú ý: hệ số b chẵn Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f  x  ax  bx  c,  a 0      0   Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax  bx  c a  ax  bx  c  0, x  R      a  ax  bx  c  0, x  R      a f  x   0, x    b a f  x   0, x   \    2a  a f  x   0, x    ; x1    x2 ;   a f  x   0, x   x1 ; x2  a  ax  bx  c 0, x  R    0  a  ax  bx  c 0, x  R    0  f  x  ax  bx  c Các bước xét dấu tam thức bậc hai a  Bước 1: Xác định dấu hệ số Tính   (thường tính tam thức vơ nghiệm), tìm nghiệm tam thức bậc hai (thường tính trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt có nghiêm kép) Bước 2: Lập bảng xét dấu (nếu cần) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận Cụ thể bảng: f  x  Nếu   vơ nghiệm x f  x  Cùng dấu a   Nếu   f  x có nghiệm kép  b a x   dấu a f  x x ;x Nếu   có hai nghiệm phân biệt x  dấu a f  x  b a  f  x dấu a x1  x1  x2  trái dấu a x2 dấu a  Minh họa hình học B – CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải f  x  ax  bx  c Các bước xét dấu tam thức bậc hai a Bước 1: Xác định dấu hệ số Tính   (thường tính tam thức vơ nghiệm), tìm nghiệm tam thức bậc hai (thường tính trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt có nghiêm kép) Bước 2: Lập bảng xét dấu (nếu cần) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận Cụ thể bảng: f  x Nếu   vô nghiệm  x  f  x Nếu     Cùng dấu a f  x có nghiệm kép  b a x   b a  dấu a f  x dấu a f  x x ; x  x  x2  Nếu   có hai nghiệm phân biệt  x  f  x x1 dấu a trái dấu a x2 dấu a Baøi Xét dấu tam thức sau: Lưu ý a) 3x  x  b)  x  x   x  12 x  c) Lời giải tham khảo a) Tam thức 3x  x  có a 3   '    x  x   0, x   Vậy: x  x   0, x   b) Ta có a   Tam thức  x  x  có hai nghiệm phân biệt  Bảng xét dấu x 1   x  4x     +  x  x   0; x    1;5   x  x   0; x    ;  1   5;   Vậy ;  x  x  0 x  1; x 5 3  x  12 x   x  c) Ta có: a  tam thức có nghiệm kép suy x 2  x  12 x  0 Cách : a  Ta có tam thức có nghiệm kép Bảng xét dấu : x   x  12 x      3  x  12 x   x   \   x    x  12 x  0 Vậy:  x  12 x    x  3 Hoặc Mà 3  x  3  0, x     x    0, x  2 3  x  12 x   x   \   x 2    x  12 x  0 Vậy 2 1.1 f ( x )  x  3x  1.2 f ( x )  x  x  Lời giải Lời giải f  x Tam thức có: a   có hai nghiệm phân f  x Tam thức có: a 1  có hai nghiệm phân ;1 biệt biệt  3;  Bảng xét dấu x Bảng xét dấu x  x  3x  1     x  5x   Suy   2  Suy * f ( x)   3  x  ( ;  3)  (  2; ) * f ( x )  x  ( 3;  2) x  ( ;1) f ( x )  * x  ( ; )  (1; ) * f ( x)  x  ; x 1 f ( x )  * * f ( x ) 0 x  3; x  g ( x)  x  x  1.4 1.3 h( x)  x  x  Lời giải Lời giải Tam thức có a   , có     h( x)  (cùng dấu với a) x  R a  0 Tam thức g ( x) có ,  0 1 x  g ( ) 0  g ( x )  (cùng dấu với a) 1.5 f ( x ) 3x  x  1.6 f ( x ) 5 x  x Lời giải Lời giải Tam thức có: a 3  có hai nghiệm phân biệt lần Tam thức có: a   có hai nghiệm phân biệt  lượt 0; Bảng xét dấu ; Bảng xét dấu x 3x  x  x    5x  x    Vậy   0    * f ( x)  Vậy 4  x    ;     2;   3  * f ( x)  * * f ( x )  x  ( ;0)  (5; ) * f ( x ) 0 x 0; x 5   x    ;  f ( x)    * f ( x) 0 x  x  (0;5) ; x 2 1.7 f ( x)  x  1.8 Lời giải Lời giải Tam thức có: a   Tam thức có a 2  ,   15   f ( x)  (cùng dấu với a) x  R f ( x)  x  0 vô nghiệm nên ta có: x    x2  Vậy:  x   0, x   f  x  2 x  x    DẠNG TOÁN 2: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Các bước xét dấu biểu thức chứa tam thức bậc hai,nhị thức bậc f  x  ; g  x  Bước 1: Đặt tên cho biểu thức (nếu cần) Bước 2: Phân tích biểu thức thành biểu thức có chứa tích, thương tam thức bậc hai nhị thức bậc Bước 3: Tìm nghiệm tam thức bậc hai nhị thức bậc (nếu có) Bước 4: Lập bảng xét dấu Bước 5: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận Lưu ý: * Đối với đa thức bậc cao P ( x ) ta làm sau  Phân tích đa thức P  x thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P  x P  x  Lập bảng xét dấu Từ suy dấu P( x) P  x , Q  x * Đối với phân thức Q ( x) (trong đa thức) ta làm sau P  x , Q  x  Phân tích đa thức thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P( x) P ( x)  Lập bảng xét dấu Q ( x ) Từ suy dấu Q ( x) Bài Xét dấu tam thức sau: a)  x  x  1  x  x  1 x2  x  2 b)  x  x  c) x  x  Lời giải tham khảo Lưu ý a) Đặt f  x    x  x  1  x  5x  1 2 Tam thức  x  x  0 có a   0;      x  x   x   ; 1 ; Tam thức x  x  có a 6  có hai nghiệm phân biệt 2 Bảng xét dấu x  | 0  +   x2  x  x2  5x 1 f  x | 0   +   +  Vậy : 1 1 f  x   x   ;  3 2 1    f  x   x    ;    ;   3    1 x ; x f ( x ) 0 b) Đặt g  x  x2  x   x  3x  Tam thức x  x  có hai nghiệm phân biệt  1; Tam thức  x  3x  có hai nghiệm phân biệt  1; g  x không xác định  Bảng xét dấu x x  x  x  3x   1 0 x2  x   x  3x   ||  +  + | + + | +   + ||   Vậy g  x   x   2;  g  x   x    ;  1    1;    4;   g  x  0 g  x x 2 không xác định x  x 4 x  x   x    x  x  1 c) Ta có Nhị thức x  có nghiệm Tam thức x  x  có hai nghiệm phân biệt   Bảng xét dấu x x x  2x  x3  x  2  1   +  | 0   +  1 | 0  +  2;   2 |  + + + Vậy  2;      2;   x   x    ;        2;  x  x   x    x3 x  x  0 x   2; x   2; x 2 2 2.1 f ( x ) ( x  x  4)(2  x  x ) Lời giải Ta có: Tam thức x  x  có hai nghiệm phân biệt 1; ; Tam thức  x  x có hai nghiệm phân biệt 2 Bảng xét dấu: x   x  5x  + | + – | – x2  5x  + – | – + | f  x + – + Vậy: 1  f  x   x    ;    1;    4;   2  1  f  x   x   ;1   2;  2  x  ; x 1; x 2; x 4 f  x  0 x2  x  x  x2  3x  2.2 Lời giải Đặt f  x  x  x2  x   x  3x  x2  x   x  x  5x   x  1   x  x    f  x  x     x  3x   x  3x   x  3x  Nhị thức x  có nghiệm Tam thức  x  x  có hai nghiệm phân biệt  2; Tam thức  x  x  có hai nghiệm phân biệt  1; Bảng xét dấu – + + + x  x  x  x6  x  3x  f  x     2 | | 1  | + |  + ||  + +  + | + + | + | | | | || +  +   +   + Vậy f  x   x    2;  1   1;3   4;   f  x   x    ;      1;1   3;  f  x  0 f  x x  2; x 1; x 3 không xác định x  x 4 f ( x)  x  3x   2.3 x  3x Lời giải ( x  x)  2( x  x)  ( x  3x  2)( x  3x  4) f ( x)   x  3x x  3x Ta có: Tam thức Tam thức Tam thức x  x  có hai nghiệm phân biệt 1; x  x  có hai nghiệm phân biệt  1; x  3x có hai nghiệm phân biệt 0; Bảng xét dấu x -1  x  3x + | + x  3x  + – | – | x  3x  + | + | + – f  x + + – – || – Vậy f  x   x    ;  1   0;1   2;3   4;   f  x   x    1;0    1;    3;  f  x  0 f  x không xác định x 0 x 3 2.4 x  3x  Lời giải x  1; x 1; x 2; x 4 | – – | | – – +  | + | – + + | + | + + || – +  x 1 f  x  ( x  1) ( x  2) 0    x  Ta có: Bảng xét dấu x  x2  x  1   x3  x  2    |    0   Vậy x  x   x    2;1   1;   x  x   x    ;   x  x  0 x  2; x 1 Baøi Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức Lưu ý f ( x )  x  2mx  3m  Lời giải tham khảo Tam thức f ( x) có a 1   ' m  3m  * Nếu  '    m  f ( x)  x    m 1  ' 0    m 2 f ( x)  x   \   m f ( x ) 0 x  m * Nếu  '   m    ;1   2;   * Nếu f ( x) có hai nghiệm phân biệt m  3m  ; x2  m  m  3m  Khi đó: f ( x )  x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) x1  m  f ( x)  x  ( x1; x2 ) Vậy với m   1;  Với m 1 thì f ( x)  x   f ( x )  x   \   1 f ( x ) 0 x  f ( x)  x   \   2 Với m 2 f ( x ) 0 x  m    ;1   2;   Với f ( x )  x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) f ( x)  x  ( x1; x2 ) f ( x ) 0 x1  m  ; m  3m  2; x2  m  m  3m  , với x1 ; x2 hai nghiệm phân biệt tam thức f ( x )  x  2mx  3m  2 3.1 f ( x ) 2 x  (m  9) x  m  3m  3.2 g ( x) (m  1) x  2(m  1)  m  Lời giải Tam thức f ( x) có a 2    m  42 m  49 * Nếu     7m  42m  49   m    ;     1;   Lời giải Nếu m 1  g ( x )   x  R Nếu m 1 , g ( x) tam thức bậc hai có a m   ' 2( m  1) , ta có f ( x)  x    m 1  0    m  * Nếu m 1 f ( x)  x   \  2 f ( x) 0 Với x 2 m  f ( x)  x   \  4 f ( x ) 0 Với x 4    m    7;1 * Nếu f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1  9 m  7m  42m  49 ;  m   7m  42m  49 Khi đó: f ( x )  x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) f ( x)  x  ( x1; x2 ) x2  m    ;     1;   trường hợp sau: * a m    m      tam thức có hai nghiệm phân biệt  m  2(m  1)  m  2(m  1) x1  x2  m m ;  g ( x)  x  (  ; x1 )  ( x2 ; ) ; g ( x )  x  ( x1; x2 ) a  m 1   g ( x)  x  R  '   *nếu Vậy với m 1 f ( x)  x   Với m  f ( x )  x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) ; f ( x)  x  ( x1; x2 ) f ( x ) 0  m  2(m  1)  m  2(m  1) x1  x2  m m ; , với x1 ; x2 hai nghiệm phân biệt tam f ( x)  x   thức g ( x) (m  1) x  2(m  1)  m  f ( x)  x   \  2 Với m 1 f ( x ) 0 x 2 m  f ( x)  x   \  4 f ( x ) 0 Với x 4 m    7;1 Với f ( x )  x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) ; f ( x)  x  ( x1; x2 ) f ( x ) 0 Vậy với x1  9 m  7m  42m  49 ;  m   7m  42m  49 x ; x , với hai nghiệm phân biệt tam thức f ( x ) 2 x  (m  9) x  m  3m  x2   DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU Cho tam thức bậc hai ax  bx  c a  a  ax  bx  c  0, x  R   ax  bx  c 0, x  R      0   a  ax  bx  c  0, x  R      a  ax  bx  c 0, x  R    0  Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau âm Lưu ý f  x  mx  x  Lời giải tham khảo f  x   x  f  x     x    x   Với m 0 khơng thỏa mãn f  x   x   nên m 0 không thỏa mãn yêu cầu toán f  x  mx  x  Với m 0 tam thức bậc hai  m0  a m   f  x   0, x     m   1  4m   m   4 biểu thức f  x  ln âm Vậy với g  x   m   x   2m   x  m  4.1 4.2 Lời giải Lời giải m g  x    Với m 4 thỏa mãn u cầu tốn g  x   m   x   2m   x  m  m  Với tam thức bậc hai dó  a m   g  x   0, x       ' m    m  f  x   x  x  m f  x âm  a    f  x   0, x    ' 1  m   m 1 f  x Vậy với m  biểu thức ln âm g  x Vậy với m 4 biểu thức âm 4.3 g  x  4mx   m  1 x  m  Lời giải m 0  g  x  4 x    x  Với khơng thỏa mãn u cầu tốn g  x  4mx   m  1 x  m  Với m 0 tam  a 4m  g  x   0, x       ' 4m   thức bậc hai dó  m0   m1 m   g  x Vậy với m   biểu thức âm g  x   2m  m   x   2m  3 x  4.4 Lời giải  m  2 2m  m  0    m 3  Xét m   g  x   x    x   +) (không thỏa mãn yêu cầu toán) m   g  x    +) ( thỏa mãn) m    2m  m  0    m  Xét  a 2m  m   g  x   0, x    ' 12m  8m  15      m     m   m    m thỏa ycbt Vậy Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau dương h  x   x   m  1 x   4m  x2  5x  Lưu ý Lời giải tham khảo Tam thức  x  x  có a   0,    suy  x  x   x  R h  x h '  x   x   m  1 x   4m Do ln dương âm a      8m    m   2  ' 4  m  1    4m   m biểu thức h  x  dương Vậy với 2 5.1 3x  2(m  1) x  2m  3m  0 x  R Lời giải 3x  2(m  1) x  2m  3m  0 x  R   ' ( m  1)  3(2 m2  3m  2) 0  m2  7m  0 bpt vô nghiệm    147  Vậy khơng có m thỏa mãn yêu cầu toán 5.3 f  x  (m  1) x  2(m  1) x  3m  Lời giải * m   f  x  4 x    x  ( không thỏa mãn) m *  m   f  x   x      ' (m  1)( 2m  4)   m 1 5.2 k  x   x2  x  m  Lời giải Biểu thức k  x dương  x  x  m   0, x  x  x  m  1, x  x  x  m   0, x  a 1    m   5  4m  m biểu thức k  x  ln Vậy với dương 5.4 f  x   m   x   m   x  m  Lời giải m   f  x  1  x +) (thỏa mãn) +) m  f  x   x   a m     '  m    m2 f  x Vậy với m  ln dương Lưu ý Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau âm:  m   x   m  1 x  2m  Lời giải tham khảo  DẠNG TOÁN 3: ỨNG DỤNG DẤU TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ CHỨA THAM SỐ Baøi Chứng minh với giá trị m Lưu ý a) Phương trình b) Phương trình mx   3m   x  0 m  5 x   ln có nghiệm 3m  x  0 vô nghiệm  Lời giải tham khảo  x  0  x  suy phương a) Với m 0 phương trình trở thành trình có nghiệm   3m    4m 9m  8m  Với m 0 , ta có Vì tam thức 9m  8m  có am 9  0,  'm  20  nên 9m  8m   với m Do phương trình cho ln có nghiệm với m b) Ta có     3m    m    m  3m  16 Vì tam thức  m  3m  16 có am   0,  'm   nên  m  3m  16  với m Do phương trình cho vô nghiệm với m x   m   x   m  3 0  m2 1 x  3m  x  0 6.1 Phương trình 6.2 Phương trình ln có nghiệm ln vơ nghiệm Lời giải Lời giải 2   m    m  m  5m  Ta có Ta có   5m  3m  2 Vì tam thức m  5m  có Vì tam thức  5m  3m  có am 1  0,  m   nên x  4, x 0 với am   0,  'm  nên  5m2  3m   với m m Do phương trình cho ln vơ nghiệm với Do phương trình cho ln có nghiệm với m m  6.3 Phương trình x   m  1 x  2m2  m  0 Lời giải Ta có  '  m  m  2 Vì tam thức  m  m  có ln vơ nghiệm 6.4 Phương trình x   m  1 x  4m  15 0 biệt Lời giải Ta có  ' m  6m  16  ln có nghiệm phân am   0,  m   nên  m  m   với m Do phương trình cho ln vơ nghiệm với m Vì tam thức m  6m  16 có am 1  0,  'm   nên  ' m  6m  16  với m Do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với m  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG DẤU TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ Lưu ý Baøi Chứng minh hàm số sau có tập xác định  với giá trị m y mx  2m  1 x  4mx  2 Lời giải tham khảo ĐKXĐ:  2m  1 x  4mx  0 f  x   2m  1 x  4mx  Xét tam thức bậc hai a 2m   0,  ' 4m   2m  1   Ta có f  x   2m  1 x  4mx   x   m Suy với ta có  2m2 1 x  4mx  0, x   Do với m ta có Vậy tập xác định hàm số D  7.1 y  x   m  1 x  m  y 7.2 Lời giải x  3m x    m  x  2m  Lời giải x   m  1 x  m2 1 0 ĐKXĐ: Xét tam thức bậc hai f  x  2 x   m  1 x  m  a 2  0,  f '    m  1 0 Ta có f Suy với m ta có f  x  2 x   m  1 x  m  0, x   Vậy tập xác định hàm số D  x    m  x  2m   ĐKXĐ: Xét tam thức bậc hai f  x   x    m  x  2m  a 1  0,  '   m    2m  3 Ta có  m  2m   f  m   m  2m  (Vì tam thức bậc hai có am   0,  'm   ) Suy với m ta có x    m  x  2m   0, x   Vậy tập xác định hàm số D  x   m  1 x  m  y m x  2mx  m  7.3 Lời giải ĐKXĐ:  x   m  1 x  m  0   m x  2mx  m   m2 x  2mx  m2  0  f  x  2 x   m  1 x  m  +) Xét tam thức bậc hai a 2  0,  f '    m  1 0 Ta có f f  x  2 x   m  1 x  m  0, x   Suy với m ta có (1) 2 g  x  m x  2mx  m  +) Xét tam thức bậc hai g  x  2  Với m 0 ta có , xét với m 0 ta có ag m  0,  g '  m  m  1  g  x  m2 x  2mx  m   0, x   Suy với m ta có (2) 2 x   m  1 x  m  0 2 2 2 Từ (1) (2) suy với m m x  2mx  m  m x  2mx  m  0 với giá trị x Vậy tập xác định hàm số D 