51 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng ax + bx + c Trong a,b,c nhứng số cho trước với a ¹ Nghiệm phương trình ax + bx + c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c D = b2 - 4ac ; D ' = b' - ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức f x = ax2 + bx + c thu gọn tam thức bậc hai ( ) Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ¹ 0) a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ D 0 ìï b ü ïï a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă \ ùớ ý ùợù 2a ùỵ ù a.f ( x ) > 0, " x ẻ ( - Ơ ;x1 ) ẩ ( x2; +Ơ a.f ( x ) < 0, " x ẻ Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ïì a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ ìï a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ ( x1; ) x2 ) ïì a > ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ ìï a < ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa * Đối với đa thức bậc cao P (x) ta làm sau Phân tích đa thức P ( x) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P x Lập bảng xét dấu ( ) Từ suy dấu P (x) P ( x) , Q ( x) * Đối với phân thức Q(x) (trong đa thức) ta làm sau Phân tích đa thức P ( x) , Q ( x) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P (x) Lập bảng xét dấu Q(x) Từ suy dấu Bài Xét dấu tam thức sau: a) 3x - 2x + b) - x + 4x + c) - 4x2 + 12x - Lời giải tham khảo Lưu ý a) Ta có 3x2 - 2x + > 0, " x Ỵ ¡ éx = - - x2 + 4x + = Û ê êx = ê ë b) Ta có D ' = - < 0, a = > Bảng xét dấu x - ¥ - x + 4x + - x2 + 4x + > Û x Ỵ Suy - x + 4x + < Û x ẻ (- - (- + 1;5) +Ơ - ¥ ;- 1) È ( 5; +¥ ) c) Ta có: ïìï 3ïü x + 12 x < " x Ỵ ¡ \ í ïý D ' = 0, a < ùợù 2ùỵ ù suy 1.1 f (x) = - 2x + 3x - 1.2 f (x) = x + 5x + Lời giải Lời giải 1.3 h(x) = - 2x + x - Lời giải g(x) = 1.4 x - x +1 Lời giải f x 2 x x 1.5 f (x) = 3x - 2x - 1.6 Lời giải Lời giải Baøi Xét dấu tam thức sau: (- x a) Lưu ý + x - 1) ( 6x - 5x + 1) x2 - x - 2 b) - x + 3x + c) x - 5x + Lời giải tham khảo a) Ta có - x + x - = vô nghiệm é êx = 6x - 5x + = Û ê ê êx = ê ë Bảng xét dấu x - ¥ - x +x- 6x2 - 5x + ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) + - | 0 + | 0 - +¥ + - Suy : ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - ỉ1 1ư 5x + 1) > x ẻ ỗ ; ữ ữ ç ÷ ç è3 2ø ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - ỉ 1ư ỉ 5x + 1) > x ẻ ỗ - Ơ; ữ ; +Ơ ữẩ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ è 3ø è2 éx = - x2 - x - = Û ê êx = , - x + 3x + = Û ê ë b) Ta có éx = - ê êx = ê ë Bảng xét dấu x - ¥ + x - x- - x2 + 3x + - - 0 + | + + | ö ÷ ÷ ÷ ø +¥ + - x2 - x - - x2 + 3x + - - || + - || Suy x2 - x - >0Û x Ỵ - x + 3x + x2 - x - Û x Ỵ x3 - 5x + < Û - 1+ | + f (x) = x2 - 3x - 2.3 x - 3x Lời giải 2.4 x - 3x + Lời giải Baøi Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức f (x) = x + 2mx + 3m - Lời giải tham khảo Tam thức f (x) có a = > D ' = m - 3m + Lưu ý * Nếu < m < Þ D ' < Þ f (x) > " x Ỵ R ém = ê êm = Þ D ' = ị f (x) " x ẻ R ê * Nếu ë f (x) = Û x = - m ém > ê êm < Þ D ' > Þ f (x) ë * Nếu ê có hai nghiệm x1 = - m - m - 3m + x2 = - m + m2 - 3m + Khi đó: +) f (x) > Û x Ỵ (- ¥ ;x1) È (x2; +¥ ) +) f (x) < Û x Ỵ (x1; x2) 2 3.1 f (x) = 2x + (m - 9)x + m + 3m + 3.2 g(x) = (m - 1)x + 2(m - 1) + m - Lời giải Lời giải DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ìï a > ìï a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ ìï a < ìï a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau âm f ( x ) = mx - x - Lưu ý Lời giải tham khảo f x =- x- f - 2) = Với m = ( ) lấy giá trị dương (chẳng hạn ( ) nên m = không thỏa mãn yêu cầu toán f x = mx2 - x - Với m ¹ ( ) tam thức bậc hai ïìï m < ìï a = m < ï f ( x ) < 0, " x Û í Û íï Û - 0, D ' = 4m2 - 2( 2m2 + 1) = - < Ta có Suy với m ta có f ( x ) = ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + > " x Ỵ ¡ 2m2 + 1) x2 - 4mx + ¹ 0, " x Ỵ ¡ ( m Do với ta có Vậy tập xác định hàm số D = ¡ y= 7.1 Lời giải 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + m2x2 - 2mx + m2 + y= 7.2 Lời giải 2x + 3m x2 + 2( - m) x + 2m2 +