Thông tin tài liệu
51 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng ax + bx + c Trong a,b,c số cho trước với a ¹ Nghiệm phương trình ax + bx + c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c D = b2 - 4ac ; D ' = b' - ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức f x = ax2 + bx + c thu gọn tam thức bậc hai ( ) Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ¹ 0) a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ D 0 ïì b ïü ïý a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă \ ùớ ùợù 2a ùỵ ù a.f ( x ) > 0, " x Î ( - ¥ ;x1 ) È ( x2; +¥ a.f ( x ) < 0, " x Ỵ Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ïì a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ ïì a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ ( x1; ) x2 ) ïì a > ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ ìï a < ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa tam thức * Đối với đa thức bậc cao P (x) ta làm sau Phân tích đa thức P ( x) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P x P x Lập bảng xét dấu ( ) Từ suy dấu ( ) P (x) P ( x) , Q ( x) * Đối với phân thức Q(x) (trong đa thức) ta làm sau P ( x) , Q ( x) Phân tích đa thức thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P (x) P (x) Lập bảng xét dấu Q(x) Từ suy dấu Q(x) Baøi Xét dấu tam thức sau: a) 3x - 2x + b) - x + 4x + c) - 4x2 + 12x - Lời giải tham khảo Lưu ý a) Ta có D ' = - < 0, a = > 3x2 - 2x + > 0, " x Ỵ ¡ Cách : Ta có 3x - 2x + = vơ nghiệm x +¥ - ¥ 3x2 - 2x + 3x2 - 2x + > 0, " x Ỵ ¡ + Vậy: éx = - - x2 + 4x + = Û ê êx = ê ë b) Ta có Bảng xét dấu x - ¥ - x + 4x + - x2 + 4x + > Û x Ỵ Suy - x + 4x + < Û x Ỵ (- - (- + 1;5) +¥ - ¥ ;- 1) È ( 5; +¥ ) c) Ta có: ïìï x + 12 x < " x Î ¡ \ í D ' = 0, a < ùợù suy 3ỹ ùù ý 2ùỵ ù Cỏch : Ta có - 4x2 + 12x - = x có D ' = - ¥ - 4x + 12x - +¥ ìï 3ü ï - 4x2 + 12x - < " x Ỵ ¡ \ ïí ùý ùợù 2ùỵ ù Vy: 1.1 f (x) = - 2x + 3x - 1.2 f (x) = x + 5x + Lời giải Lời giải 1.3 h(x) = - 2x + x - Lời giải g(x) = 1.4 x - x +1 Lời giải 1.5 f (x) = 3x - 2x - 1.6 f (x) = 5x - x Lời giải Lời giải 1.7 f (x) = - x - 1.8 Lời giải Lời giải Baøi Xét dấu tam thức sau: (- x a) + x - 1) ( 6x - 5x + 1) x2 - x - 2 b) - x + 3x + c) x - 5x + Lời giải tham khảo a) Ta có - x + x - = vô nghiệm f x 2 x x Lưu ý é êx = 6x - 5x + = Û ê ê êx = ê ë Bảng xét dấu x - ¥ | 0 - - x +x - 6x2 - 5x + ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) + - + | 0 +¥ + - Suy : ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - ỉ1 1÷ 5x + 1) > x ẻ ỗ ; ữ ỗ ỗ ố3 2ữ ứ ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - ỉ 1ư ỉ 5x + 1) < x ẻ ỗ - Ơ; ữ ; +Ơ ữẩ ỗ ỗ ỗ ữ ç ç è 3ø è2 éx = - x2 - x - = Û ê êx = , - x + 3x + = Û ê ë b) Ta có Bảng xét dấu x x - x- - x2 + 3x + - - 0 x2 - x - - x2 + 3x + - || - ¥ + + - | + + | 0 + || ÷ ÷ ÷ ø éx = - ê êx = ê ë +¥ + - - Suy x2 - x - >0Û x Ỵ - x + 3x + x2 - x - Û x Ỵ x3 - 5x + < Û - 1+ | + +¥ + + + 2 2.1 f (x) = (x - 5x + 4)(2 - 5x + 2x ) Lời giải x2.2 x2 - x + - x2 + 3x + Lời giải f (x) = x2 - 3x - 2.3 Lời giải x - 3x 2.4 x - 3x + Lời giải Baøi Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức Lưu ý f (x) = x + 2mx + 3m - Lời giải tham khảo Tam thức f (x) có a = > D ' = m - 3m + * Nếu < m < Þ D ' < ị f (x) > " x ẻ R ém = ê êm = Þ D ' = Þ f (x) ³ " x Ỵ R ë * Nếu ê f (x) = Û x = - m ém > ê êm < Þ D ' > Þ f (x) ë * Nếu ê có hai nghiệm x1 = - m - m2 - 3m + x2 = - m + m2 - 3m + Khi đó: +) f (x) > Û x Î (- ¥ ;x1) È (x2; +¥ ) +) f (x) < Û x Ỵ (x1;x2) 2 3.1 f (x) = 2x + (m - 9)x + m + 3m + 3.2 g(x) = (m - 1)x + 2(m - 1) + m - Lời giải Lời giải DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ìï a > ìï a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ ìï a < ìï a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau âm Lưu ý f ( x ) = mx - x - Lời giải tham khảo f x =- x- f - 2) = Với m = ( ) lấy giá trị dương (chẳng hạn ( ) nên m = không thỏa mãn yêu cầu toán f x = mx2 - x - Với m ¹ ( ) tam thức bậc hai ïìï m < ìï a = m < ï f ( x ) < 0, " x Û í Û íï Û m 0, D ' = 4m2 - 2( 2m2 + 1) = - < Ta có Suy với m ta có f ( x ) = ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + > " x Ỵ ¡ ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + ¹ 0, " x Ỵ ¡ Do với m ta có Vậy tập xác định hàm số D = ¡ 7.1 y= Lời giải 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + y= 7.2 Lời giải 2x + 3m x2 + 2( - m) x + 2m2 + y= 7.3 Lời giải 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + m2x2 - 2mx + m2 +
Ngày đăng: 10/08/2023, 02:54
Xem thêm:
