51A bài giảng tự luận dấu của tam thức bậc hai (đáp án chi tiết)

51 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng ax + bx + c Trong a,b,c nhứng số cho trước với a ¹ Nghiệm phương trình ax + bx + c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c D = b2 - 4ac ; D ' = b' - ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức f x = ax2 + bx + c thu gọn tam thức bậc hai ( ) Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ¹ 0) a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ D 0 ìï b ü ïï a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă \ ùớ ý ùợù 2a ùỵ ù a.f ( x ) > 0, " x ẻ ( - Ơ ;x1 ) ẩ ( x2; +Ơ a.f ( x ) < 0, " x ẻ Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ïì a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ  ìï a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ  ( x1; ) x2 ) ïì a > ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ  ìï a < ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ  B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa * Đối với đa thức bậc cao P (x) ta làm sau  Phân tích đa thức P ( x) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P x  Lập bảng xét dấu ( ) Từ suy dấu P (x) P ( x) , Q ( x) * Đối với phân thức Q(x) (trong đa thức) ta làm sau  Phân tích đa thức P ( x) , Q ( x) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P (x)  Lập bảng xét dấu Q(x) Từ suy dấu Bài Xét dấu tam thức sau: a) 3x - 2x + b) - x + 4x + c) - 4x2 + 12x - Lời giải tham khảo Lưu ý a) Ta có 3x2 - 2x + > 0, " x Ỵ ¡  éx = - - x2 + 4x + = Û ê êx = ê ë b) Ta có D ' = - < 0, a = > Bảng xét dấu x - ¥ - x + 4x + - x2 + 4x + > Û x Ỵ - Suy - x + 4x + < x ẻ (- (- + 1;5) +Ơ - ¥ ;- 1) È ( 5; +¥ ) c) Ta có: ïìï 3ïü x + 12 x < " x Ỵ ¡ \ í ïý D ' = 0, a < ùợù 2ùỵ ù suy 1.1 f (x) = - 2x + 3x - 1.2 f (x) = x + 5x + Lời giải Lời giải éx = - x2 + 5x + = Û ê êx = - ê ë Ta có: éx = ê - 2x + 3x - = Û ê êx = ê ë Ta có: Bảng xét dấu x Bảng xét dấu x - ¥ - 2x + 3x - -  Suy Û x Ỵ ( ;1) * f (x) > * f (x) < +¥ - - ¥ x2 + 5x + 3  - +¥ 2  Suy * f (x) > x ẻ (- Ơ ;- 3) ẩ (- 2; +¥ ) * f (x) < Û x Î (- 3;- 2) Û x Î (- ¥ ; ) È (1; +¥ ) 1.3 h(x) = - 2x + x - Lời giải Ta có a = - < , có D = - < Þ h(x) < (cùng dấu với a) " x Ỵ R g(x) = 1.4 x - x +1 Lời giải Tam thức g(x) có a= >0 , có D = Þ g(x) > (cùng dấu với a) "x ¹ g( ) = f  x  2 x  x  1.5 f (x) = 3x - 2x - 1.6 Lời giải Lời giải Ta có a = > , có D = - 15 < Þ f (x) > (cùng dấu với a) " x Ỵ R éx = ê 3x - 2x - = Û ê êx = - ê ë Ta có: Bảng xét dấu x  - ¥ 3x - 2x -  +¥ -  Suy * f (x) > x ẻ (- Ơ ; x ẻ (- ) È (2; +¥ ) ;2) * f (x) < Baøi Xét dấu tam thức sau: (- x a) Lưu ý + x - 1) ( 6x - 5x + 1) x2 - x - 2 b) - x + 3x + c) x - 5x + Lời giải tham khảo a) Ta có - x + x - = vô nghiệm é êx = 6x - 5x + = Û ê ê êx = ê ë Bảng xét dấu x - ¥ - x +x- 6x2 - 5x + ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) + - | 0 + | 0 - +¥ + - Suy : ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - ỉ1 1ư 5x + 1) > Û x ẻ ỗ ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố3 2ứ ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - æ 1ö æ 5x + 1) > Û x ẻ ỗ - Ơ; ữ ; +Ơ ữẩ ỗ ç ç ÷ ç ç è 3ø è2   éx = - x2 - x - = Û ê êx = , - x + 3x + = Û ê ë b) Ta có Bảng xét dấu ÷ ÷ ÷ ø éx = - ê êx = ê ë x x - x- - x2 + 3x + - - 0 x2 - x - - x2 + 3x + - || - ¥ + + - | + + | 0 + || +¥ + - - Suy x2 - x - >0Û x Ỵ x + x +  x2 - x - Û x Ỵ x3 - 5x + < Û 2 2.1 f (x) = (x - 5x + 4)(2 - 5x + 2x ) Lời giải - 5x + 2x2 = Û x = 2;x = Ta có: x - 5x + = Û x = 1;x = ; Bảng xét dấu: x - ¥ +¥ x2 - 5x + + | + – | – 2x2 - 5x + + – | – + | f(x) + – + ỉ 1ư f ( x) > x ẻ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữẩ ( 1;2) ẩ ( 4; +Ơ ỗ ố ứ  ỉ1 f ( x) < Û x ẻ ỗ ;1ữ ữ ỗ ữẩ ( 2;4) ỗ ố ø  ) – + + + x2.2 x2 - x + - x2 + 3x + Lời giải x2 - x + - x3 + 2x2 + 5x - ( x - 1) ( - x + x + 6) x= = - x2 + 3x + - x2 + 3x + - x2 + 3x + éx = - 2 - x2 + x + = Û ê êx = , - x + 3x + = Û ê ë éx = - ê êx = ê ë Bảng xét dấu x - ¥ x- - x +x +6 - x2 + 3x + x2 - x + x- x2 + 3x + - - | | + - - | | + + - + || - | | + + + | | + - + + + - - || + Suy x- x2 - x + >0Û x Ỵ - x2 + 3x + (- 2;- 1) È ( 1;3) È ( 4;+¥ x- x2 - x + Û x Ỵ f ( x) < Û x Ỵ 2.4 x - 3x + Lời giải - ¥ ((- + ¥ ;- 1) È ( 0;1) È ( 2;3) È ( 4;+¥ 1;0) È ( 1;2) È ( 3;4) ) +¥ | | éx = f ( x ) = (x - 1)2(x + 2) = Û ê êx = - ê ë Ta có: Bảng xét dấu x - ¥ x2  x  1 2 -  - x3 - 3x +   | +¥  0    Suy   x3 - 3x + > Û x Ỵ x3 - 3x + < Û x Ỵ ((- ) \ { 1} 2) 2;+¥ ¥ ;- Bài Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức Lưu ý f (x) = x + 2mx + 3m - Lời giải tham khảo Tam thức f (x) có a = > D ' = m - 3m + * Nếu < m < Þ D ' < Þ f (x) > " x Ỵ R ém = ê êm = Þ D ' = Þ f (x) ³ " x Ỵ R ë * Nếu ê f (x) = Û x = - m ém > ê êm < Þ D ' > Þ f (x) ë * Nếu ê có hai nghiệm x1 = - m - m - 3m + x2 = - m + m2 - 3m + Khi đó: +) f (x) > x ẻ (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +Ơ ) +) f (x) < Û x Ỵ (x1; x2) 2 3.1 f (x) = 2x + (m - 9)x + m + 3m + 3.2 g(x) = (m - 1)x + 2(m - 1) + m - Lời giải Lời giải Nếu m = Þ g(x) = - < " x Ỵ R Tam thức f (x) có a = > D ' = - 7m2 - 42m + 49 ém < - ê ê m > Þ D ' < Þ f (x) > " x Ỵ R ë * Nếu ê ém = ê êm = - Þ D ' = Þ f (x) ³ " x Ỵ R ë * Nếu ê 9- m * Nếu - < m < Þ D ' > Þ f (x) có hai nghiệm f (x) = Û x = x1 = 9- m - - 7m2 - 42m + 49 Nếu m ¹ 1, g(x) tam thức bậc hai có a = m - D ' = 2(m - 1) , ta có trường hợp sau: ïì a > m > Þ ïí Þ g(x) ïï D ' > î * có hai nghiệm phân biệt x1 = m - - 2(m - 1) m- m - + 2(m - 1) m- Þ g(x) > x ẻ (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +¥ ) ; x2 = - m + - 7m2 - 42m + 49 Khi đó: +) f (x) > x ẻ (- Ơ ;x1) È (x2; +¥ ) x2 = g(x) < Û x Ỵ (x1;x2) ìï a < m < ị ùớ ị g(x) < " x ẻ R ïï D ' < ỵ * +) f (x) < Û x Ỵ (x1;x2)  DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU Cho tam thức bậc hai ax + bx + c ìï a > ìï a > ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c ³ 0, " x Î R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ   ïì a < ïì a < ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ïï D £ ỵ ỵ   Bài Tìm giá trị m để biểu thức sau âm Lưu ý f ( x ) = mx2 - x - Lời giải tham khảo f x =- x- f - 2) = Với m = ( ) lấy giá trị dương (chẳng hạn ( ) m = nên khơng thỏa mãn u cầu tốn f x = mx2 - x - Với m ¹ ( ) tam thức bậc hai ïìï m < ïìï a = m < f ( x ) < 0, " x Û í Û íï Û - 1 +) b) Phương trình mx2 - ( 3m + 2) x + = ln có nghiệm ( m2 + 5) x2 - ( ) 3m - x + = vô nghiệm Lời giải tham khảo a) Với m = phương trình trở thành phương trình có nghiệm - 2x + = Û x = suy D = ( 3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + Với m ¹ 0, ta có a = > 0, D 'm = - 20 < Vì tam thức 9m + 8m + có m nên 9m + 8m + > với m Do phương trình cho ln có nghiệm với m b) Ta có D= ( ) 3m - - 4( m2 + 5) = - m2 - 3m - 16 a = - < 0, D 'm = - < Vì tam thức - m - 3m - có m nên - m2 - 3m - < với m Do phương trình cho ln vơ nghiệm với m 6.1 Phương trình 6.2 Phương trình x - 2( m + 2) x - ( m + 3) = ( m2 + 1) x2 + 3m - x + = ln có ( nghiệm Lời giải ) nghiệm Lời giải Ta có D = ( m + 2) + m + = m2 + 5m + Vì tam thức m + 5m + có (thỏa mãn) m  +) f ( x) > "x Ỵ ¡ ìï a = m + > Û ïí ïï D ' = - m - < î Û m>- f  x Vậy với m  ln dương Lưu ý Bài Chứng minh với giá trị m a) Phương trình m   f  x  3  x Ta có D = - 5m - 3m - Vì tam thức - 5m - 3m - có ln vơ am = > 0, D 'm = - < am = - < 0, D 'm < nên nên m + 5m + > với m Do phương trình cho ln có nghiệm với m - 5m - 3m - < với m Do phương trình cho ln vơ nghiệm với m 6.3 Phương trình x   m  1 x  2m  m  0 6.4 Phương trình x   m  1 x  4m  15 0 ln vơ nghiệm Lời giải Ta có D ' = - m + m - 2 Vì tam thức - m + m - có am = - < 0, D m = - < ln có nghiệm phân biệt Lời giải Ta có D ' = m + 6m + 16 Vì tam thức m + 6m + 16 có nên - m + m - < với m Do phương trình cho vô nghiệm với m am = > 0, D 'm = - < nên D ' = m + 6m + 16 > với m Do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với m Baøi Chứng minh hàm số sau có tập xác định ¡ với Lưu ý giá trị m y= mx ( 2m + 1) x2 - 4mx + 2 Lời giải tham khảo ĐKXĐ: ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + ¹ f ( x ) = ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + Xét tam thức bậc hai a = 2m2 + > 0, D ' = 4m2 - 2( 2m2 + 1) = - < Ta có Suy với m ta có f ( x ) = ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + > " x Ỵ ¡ ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + ¹ 0, " x Ỵ ¡ Do với m ta có Vậy tập xác định hàm số D = ¡ y= 7.1 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + y= m2x2 - 2mx + m2 + 7.2 Lời giải ìï 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + ïï ³ í m2x2 - 2mx + m2 + ïï m2x2 - 2mx + m2 + ¹ ĐKXĐ: ïïỵ +) Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + x2 + 2( - m) x + 2m2 + Lời giải x2 + 2( - m) x + 2m2 + > ĐKXĐ: Xét tam thức bậc hai f ( x ) = x2 + 2( 1- m) x + 2m2 + a = > 0, D ' = ( 1- m) Ta có 2x + 3m aff = > 0, D ' = = - ( m - 1) £ Ta có ( 2m2 + 3) = - m2 - 2m - < Suy với m ta có f ( x ) = 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + ³ 0, " x Ỵ ¡ (1) +) Xét tam thức bậc hai g( x ) = m2x2 - 2mx + m2 + g x = 2> Với m = ta có ( ) , xét với m ¹ ta có ag = m2 > 0, D g ' = - m2 ( m2 + 1) < Suy với m ta có g( x ) = m2x2 - 2mx + m2 + > 0, " x Ỵ ¡ Từ (1) (2) suy với m 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + ³ m2x2 - 2mx + m2 + (2) m2x2 - 2mx + m2 + ¹ với giá trị x Vậy tập xác định hàm số D = ¡ f m = - m2 - 2m - (Vì tam thức bậc hai ( ) có am = - < 0, D 'm = - < ) Suy với m ta có x2 + 2( 1- m) x + 2m2 + > 0, " x Ỵ ¡ Vậy tập xác định hàm số D = ¡