skkn các phương pháp ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải một số dạng bài toán

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai A đặt vấn đề: Định lý dấu tam thứ bậc hai định lý quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có nhiều ứng dụng như: Xét dấu biểu thức, giải phương trình bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc cao, chứng minh bất đẳng thức tốn biện luận phương trình Trong viết tơi giới thiệu phương pháp ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải số dạng toán, để độc giả tham khảo làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để tơi hồn thành chun đề Trong q trình viết chắn cịn nhiều thiếu sót mong góp ý độc giả Tơi xin chân thành cảm ơn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai ứng dụng dấu tam thức bậc hai i Bài toán xét dấu: Biểu thức f(x) = ax + bx + c, a  gọi tam thức bậc hai biến số x Dấu f(x) phụ thuộc vào   b2 – 4ac a theo sơ đồ sau:   b  4ac - + af x  Với x af x  Với x  b 2a af x  với x x1 , x2  af x 0 với x1  x x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bËc hai Lưu ý: 1) Nếu a = f x  tam thức bậc hai f x   bx  c dấu f x  phụ thuộc vào b c sau: b  =0 f x   c với x bf x 0x c b 2) Nếu toán yêu cầu xét dấu biểu thức F(x) bậc cao dạng phân thức đại số phải đưa F(x) dạng tích thương thừa số với bậc khơng q hai Bà i tốn 1: Xét dấ u biể u thức: a f x   x  3x  x  b f x   x  x  x  c f x   x 4 x  3x  x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dÊu tam thøc bËc hai Giải Phân tích f x  thành thừa số: a f x   x  3x  x    f x   x  1 x  x  lập bảng xét dấu f x  - x x 1 -2 - x  2x  f x  - + - - + 0 + + + - + - + b f(x) = x2 – x2 + 6x – = x4 – ( x – 3)2 = ( x2 + x -3) ( x2 – x +3) Lập bảng xét dấu f(x): x    13   13 + LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai ++ + x2 + x - + x2 - x + + f ( x) + - + - + + + c Làm tương tự: f(x) = x4 – 4x3 + 3x2 + 6x – = ( x2 – 2x)2 – ( x – 3)2 = ( x2 – x – ) ( x2 – 3x + 3) Bà i tốn 2: Giả i bấ t phương trình: a) x( x3 – x + 6) < b) 1 < + x9 x Giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thøc bËc hai a) Bất phương trình tương đương với: f x   x  x  x  90 Theo tốn f x 0    13   13  x 2 b) Bất phương trình tương đương với f x   1   0 x9 x  x9  x  x  18  f x   0   6 x3 x x    x Sau số tập chọn từ đề thi Đại học: Bà i 1: Giả i bấ t phương trình: a) x  x  8x  b) x  3x  20 c) x  x  x  d) 3x   5 x x2 Bà i 2: Giả i hệ phương trình:  x  10 x   a)    x  x  3x  x     b)  x  x   x  xx  1   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: øng dông dÊu tam thøc bËc hai ii chứng minh bất đẳng thức nhờ xét dấu tam thức bậc hai Sau số toán đề cập trực tiếp đến dấu tam thức bậc hai Bà i toán 1: Chứng minh rằ ng a, b, c đ ộ dà i ba cạ nh củ a mộ t tam giác thì: bx  b  c  a x  c  với mọ i x Giải: vế trái tam thức bậc hai với hệ số x b   x  b  c  a     4b c  b  c  a  2bc b  c  a  2bc  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dÊu tam thøc bËc hai = [( b  c )2  a ].[ b  c 2  a ]  b  c  a b  c  a b  c  a b  c  a  Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b  c  a  bca 0 ; bca  ; bca  Suy x  từ suy điều phải chứng minh Lưu ý: Do có mặt tổng bình phương cạnh ta nghĩ đến hàm số cosin: a  b  c  2bcCosA  b  c  a  2bcCosA Vậy x  4b 2c 2CosA  4b 2c  4b 2c Sin A  x  (Do  A    Sin  ) Bà i toán 2: Cho tam giác ABC bấ t kỳ Chứng minh với x ta đ ề u có: x2 1  CosA  xCosB  CosC  Giải: Bất đẳng thức cho tương đương với: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai x2  xCosB  CosC    CosA  với x  x   BC   B C  2  CosB  CosC   21  cos A   4Cos  Cos2    4Sin A  2     Nhưng BC A  BC A   nên Cos  Sin 2 2 Do  4Sin A  B C A 2 B C  Cos     Sin Sin  0   2   Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Bà i toán 3: Biế t rằ ng a  , b  chứng minh rằ ng: a) a2 b2 a b    b2 a2 b a (1)  a2 b2   a b     5     (2) a  b a b b) 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyªn ®Ị: øng dơng dÊu tam thøc bËc hai Giải: a b a) đặt X   b , X  2,2 a (1)  X   X  X  X   hiển nhiên khi: X  2,2 b) Làm tương tự Sau số tập chọn từ đề thi Đại học: Bà i 1: Chứng minh rằ ng với mọ i x,y ta đ ề u có: a) x  y x  1  x y b) ( x  y)2  ( x  1)( y  1) Bà i 2: Cho a  36 abc  chứng minh: a2  b  c  ab  bc  ca Bà i 3: Chứng minh với mọ i x  ta đ ề u có: 1  Sin  x 2  2Sin  Cos x   Cos 2  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai Ta có ba trường hợp: Trường hợp 1: f (x) có nghiệm x1    x2  af ( )   f ( )  Trường hợp 2: f (x) có nghiệm   x1  x2   s       Trường hợp 3: f (x) có nghiệm   x1 , x2  af ( )   s    Lưu ý: 1) Có thể sử dụng phương pháp gián tiếp: Xét điều kiện để f (x) khơng có nghiệm thoả mãn x   xét hai trường hợp: Trường hợp1: f (x) vô nghiệm        Trường hợp 2: f (x) có nghiệm x1 , x2    af ( )  s   2 Thay yêu cầu x   x   ; x   ; x   Ta xét trường hợp tương tự f (x) có nghiệm thuộc đoạn  ;   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai Trường hợp 1: f (x) có nghiệm  , có nghiệm   f ( ) f ( )  Trường hợp 2: f (x) có nghiệm thuộc ( ;  ) nghiệm  ;    f ( ) f ( )  Trường hợp 3: f (x) có hai nghiệm   x1 , x2     af ( )     af (  )     s     Bài tốn 1: Cho phương trình: f ( x)  x (m  2) x  5m   Tìm m cho: a) Phương trình có nghiệm thoả mãn x  b) Phương trình có nghiệm thoả mãn x  c) Phương trình có nghiệm thuộc (1;1) d) Phương trình có nghiệm x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai Giải: a) Ta xét ba trường hợp: Trường hợp 1: x1   x2  af (1)   4m   m   f (1)  4m m  Trường hợp 2:  x1  x2   s   m    1 1 m      Khơng có m thoả mãn   (m  2)  4(5m  1)  Trường hợp 3:  x1  x2   s   m  1  1   2  m  m  16m     m  16  m  16 m  m   Vậy m  m  16 b) Ta dùng phương pháp gián tiếp: Tìm m để f (x) khơng có nghiệm x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai Trường hợp 1: f (x) vô nghiệm     m2 16    m  16 Trường hợp 2: f (x) có nghiệm   x1 , x2  m  16     af (4)  9m  25    25  af (4)   m    m0     s    m     2 Tóm lại: f (x) khơng có nghiệm x    25 m0 m  16 Do f (x) có nghiệm x     25 x   c) Ta xét bốn trường hợp: Kết là: 2 m0 d) Ta xét ba trường hợp: Kết là: m  Bài tập: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dông dÊu tam thøc bËc hai Cho f ( x)  x  2mx  2m 1 tìm m cho: a) f (x) có nghiệm thoả mãn x  b) f (x) có nghiệm thoả mãn x1   x2 c) f (x) có nghiệm thuộc 0;1 d) f (x) có nghiệm ngồi 0;1 Phương pháp giải tương tự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bËc hai v phương trình quy phương trình bậc hai Có nhiều loại phương trình đưa phương trình bậc hai nhờ phương pháp biến đổi bản: Phép luỹ thừa, phép mũ hoá, phép đặt ẩn phụ, trình chuyển phương trình bậc hai xuất toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số, ứng dụng việc xét dấu tam thức bậc hai Phép luỹ thừa: Để chuyển phương trình vơ tỷ phương trình bậc hai có hai loại phương trình hay gặp: 1)  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)    f ( x)  2)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Bài tốn 1: Tìm m để phương trình x   x  m (1) Có nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai x  m  x  m  2 ( x  m)   x 2 x  2mx  m   Giải: (1)  x  m   x   2 (2) Do phương trình (1)có nghiệm nhất; tương đương với phương trình (2) có nghiệm thoả mãn x  m Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm x1  m  x2  af ( x)   2(m2  1)   1  m  Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm m  x1  x2 ,   m      m s  m m  m  2    f (m)  m    Trường hợp 3: (2) có nghiệm x1  x2  m   s  m  m 1 m m   2 2 Vậy 1  m  m   Bái toán 2: Tìm m để phương trình có nghiệm: x  mx  x   (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyªn ®Ị: øng dơng dÊu tam thøc bËc hai Giải:  x  mx   2  x  mx  x   (1)  x  mx  x      x    x  2 x    (2) Do (1) có nghiệm  (2) có nghiệm khoảng (2,2) ta dùng phương pháp gián tiếp tức tìm m để (1) vơ nghiệm tức (2) khơng có nghiệm ngồi (2,2) Trường hợp 1: (2) vô nghiệm:     m2 16   4  m  Trường hợp 2: (2) có nghiệm   x1 , x2  m  16     af (2)  2m     af (2)    2m       s    m    2 m   m  4   m  4 Vô nghiệm m     m  Tóm lại: (1) vô nghiệm trừ   m  suy (1) có nghiệm m  m  4  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai PHéP Mũ HOá Ta có hai dạng sau: 0  a  1: log a  f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x)  f ( x)   0  a  2: log a  f ( x)  b    f ( x)  a b Bài toán 1: Tìm a cho phương trình: log ( x  4ax)  log (2 x  2a  1)  (1) có nghiệm Giải: (1)  log (m2  4ax)  log (2 x  2a 1)  x  4ax  x  2a   2 x  2a    x  2(2a  1) x  2a     2a  x   Do đó(1) có nghiệm  (2) có nghiệm thoả mãn x  Trường hợp 1: (2) có nghiệm x1  2a  2a   x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai  2a   1f    (2a  1)(2a  1)  2a     1  2a    10a    (2a  1)   2a   1 <  (2a  1) 0  a 10     Trường hợp 2: (2) Có nghiệm 2a   x1  x2   2a     10a    f    (2a  1)          2a   s  2a    2a   2 Vậy  a     a    a     10 a     10  a      a   10  a  Phép đặt ẩn dụ: Trước hết: Ta nhỡ nguyên tắc đặt ẩn phụ Y  t (x) Tuỳ theo yêu cầu toán x mà dẫn đến yêu cầu Y Rất cần lưu ý: - Với giá trị Y tồn x ? - Khi giá trị Y cho nghiệm x ? - Nếu x phải thuộc tập hợp số Y phải thoả mãn điều kiện gì? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dông dÊu tam thøc bËc hai Trong nhiều kỳ thi tuyển vào ĐH, CĐ năm gần đây, nhiều học sinh khơng chuyển tốn x toán tương đương Y Đây điều mà bạn học sinh cần rèn luyện, ta qua loạt phương trình bạn làm quen Phương trình bậc đặc biệt Bà i tốn 1: Tìm m đ ể phương trình x  (2m  3) x  m   (1) có nghiệ m thoả mãn:   x1  1  x2   x3   x4  Giải: Đây phương trình trùngphương Đặt X = x  ta có phương trình: X  (2m  3) X  m   (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x1  x2  x3  x4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thøc bËc hai Khi phương trình (2) có hai nghiệm:  X  X đó: x1   X ; x2   X ; x3  X 1' ; x4  X ' Do đó:   x1  1  x2   x3  1x4   2   X  1   X   X   X  af (1)     X   X    X   X   af (0)  af (4)    m   m      m    m  5  m     m   khơng có m thoả mãn Bà i tốn 2: Tìm giá trị củ a h cho phương trình: x  (h  1) x  x  (h  1) x   (1) Có khơng hai nghiệ m âm khác Giải: Đây phương trình thuận nghịch Để ý x  nghiệm (1) nên chia vế cho x ta được: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai x (1)  x  (h  1) x   (h  1)  0 x2     x    (h  1)( x  )   x x   x Đặt x= x   x  x x   0(*) Coi (*) phương trình ẩn x ta có:  x  x - 4; s = x; p = Do a) x  cho hai nghiệm x  b) x  cho nghiệm x 1 c) x  2 cho nghiệm x  1 d) x  2 cho hai nghiệm x  Ta có phương trình: x2+ (h  1) x   (2) Phương trình (1) có khơng nghiệm âm phương trình (2) có khơng nghiệm x  2 Vì phương trình (2) có c  1  nên (2) ln có nghiệm a X   X để (1) thỏa mãn điều kiện X  2  X  af (2)   2h    h  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dÊu tam thøc bËc hai Lưu ý 1) Dạng tổng quát phương trình là: (a  ); ta chia vế cho x2 đặt ẩn phụ ax  bx  cx  bx  a  X  x x 2) Do nhận xét (2) có c  1 không nên phải xét nhiều trường hợp a Bà i tốn 3: Tìm k đ ể phương trình : x  x  8x  k có nghiệ m phân biệ t Giải: Ta có phương trình tương đường: x     4x3  4x  x  2x  k  (1)  (*)     x  2x  x  2x  k  Gọi (*) phương trình ẩn x, có ,   X Vậy với X  1 có hai nghiệm x Với X  1, (*) có nghiệm x, cịn với X  1, (*) có có nghiệm x Xét phương trình: X  X  k  (2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: øng dơng dÊu tam thøc bËc hai Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm thoả mãn  ,  4  k      X  X  af (1)   5  k   4  k     s     Lưu ý: Có thể giải tốn cách đạo hàm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai ng dụng dấu tam thức bậc hai i Bài toán xét dấu: Biểu thức f(x) = ax + bx + c, a  gọi tam thức bậc hai biến số x Dấu f(x) phụ thuộc vào ... hai ii chứng minh bất đẳng thức nhờ xét dấu tam thức bậc hai Sau số toán đề cập trực tiếp đến dấu tam thức bậc hai Bà i toán 1: Chứng minh rằ ng a, b, c đ ộ dà i ba cạ nh củ a mộ t tam giác thì:... 0;1 Phương pháp giải tương tự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai v phương trình quy phương trình bậc hai Có nhiều loại phương