50 4 5a bài giảng tự luận bất pt và hệ bpt bậc nhất hai ẩn đáp án chi tiết

BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng tốn Bất phương trình bậc hai ẩn Phương pháp áp dụng Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát ax  by c  1  ax  by  c; ax  by c; ax  by  c  Bước Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax  by c M x ;y  Bước Lấy điểm 0 không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O ) Bước Tính ax0  by0 so sánh ax0  by0 với c Bước Kết luận Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  chứa M miền nghiệm ax0  by0 c Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa M miền nghiệm ax0  by0 c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax0  by0 c bỏ đường thẳng ax  by c miền nghiệm bất phương trình ax0  by0  c Câu Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn sau:  x  y  0 (1) Lưu ý Lời giải tham khảo   Vẽ đường thẳng  :  3x  y  0 Thay O(0; 0) vào (1), ta có: nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa O tập nghiệm bất phương trình ban đầu 1.1 x  y 3 Lời giải 5x + + 2y x + + 2y  5x + + 2y  4(2  x) 1.2 Lời giải  Vẽ đường thẳng  : x  y 3 5x + + 2y x + + 2y  5x + + 2y  4(2  x)  x – 2y + 11  (2)  Thay O(0; 0) vào (1), ta có: nửa mặt phẳng  Vẽ đường thẳng  : x – 2y + 11 = bờ  chứa O tập nghiệm bất  Thay O(0;0) vào (2), ta có: nửa mặt phẳng phương trình ban đầu có bờ  chứa O tập nghiệm bất phương trình ban đầu 1.3 x + + 2(y  2) < 2(1  x) 1.4 3(x  1) + 4(y  2) < 5x + + 2y x  Lời giải Lời giải x + + 2(y  2) < 2(1  x)  x + 2y  < (3) 3(x  1) + 4(y  2) < 5x + + 2y x   x  2y + > (4)  Vẽ đường thẳng : x + 2y  =  Vẽ đường thẳng : x  2y + =  Thay O(0; 0) vào (3), ta có: nửa mặt phẳng  Thay O(0; 0) vào (4), ta có: nửa mặt phẳng  bờ  chứa O (bỏ đường thẳng ) tập bờ  chứa O (bỏ đưởng thẳng  ) tập nghiệm bất phương trình ban đầu nghiệm bất phương trình ban đầu Trang -1- BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Trang -2- BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng toán Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Phương pháp áp dụng - Giải bất phương trình hệ - Giao để lấy miền nghiệm Câu Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc 2 x  y     x 0  x  y  0 hai ẩn sau:  Lưu ý Lời giải tham khảo Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y  0  d  : x 0  d3  : x  y  0  ; 1 nghiệm Ta thấy ba bất phương trình Điều có nghĩa  ; 1 thuộc ba điểm miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ x  y    x  y   x  y  5x + + 2y 2.1  Lời giải Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y 0  d  : x  y   d3  : x  y 5x + + 2y  5x + + 2y ; 3 Ta thấy 2.2 3 x  y 6  x  y 4   x    y 0 Lời giải Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng: d1 : 3x  y 6, d : x  y 4, d3 : x 0 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa  5x + + 2y ; 3 điểm thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Trang -3-  Oy  , d : y 0  Ox  M  1;1 Vì điểm có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta gạch chéo nửa  d  ,  d  ,  d3  ,  d  không chứa mặt phẳng bờ điểm M Miền khơng bị gạch chéo hình vẽ miền nghiệm hệ cho BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN 3  y   2.3 2 x  y   Lời giải Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  :  y 0 3x  y  0  3y  4  2( x  1)    x 0 2.4  Lời giải Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : 3x  y  0  d  : x  y  0  ;  nghiệm hai bất phương trình Ta thấy  d  : x  y  12 0 ; 4  Điều có nghĩa điểm thuộc hai miền  d  : x 0 nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch Ta thấy  ;  1 nghiệm ba bất phương  ;  1 thuộc ba trình Điều có nghĩa điểm miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ miền nghiệm hệ Dạng toán Bài toán tối ưu Phương pháp áp dụng Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức trình bậc hai ẩn cho trước F  x, y  ax  by với  x; y  nghiệm hệ bất phương Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền nghiệm S đa giác  x; y  tọa độ đỉnh đa giác Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với Bước 3: Kết luận:  Giá trị lớn F số lớn giá trị tìm  Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm Trang -4- BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  y  x miền xác định hệ  y  x 2   y  x 4  x  y 5x + + 2y  Lưu ý Lời giải tham khảo  y  x 2   y  x 4  x  y 5x + + 2y  Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình trục tọa độ đây: hệ Nhận thấy biết thức F  y  x đạt giá trị nhỏ điểm A, B C Ta có: F  A 4  3; F  B  2; F  C  3  1 Vậy F 1 x 2, y 3 3.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  y  x với điều kiện  x  y 2   x  y 2 5x + + 2y x  y   Lời giải Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình 3.2 Tìm giá lớn biểu thức   y 4  x 0    x  y  0  F  x; y   x  y với điều kiện  x  y  10 0 Lời giải Vẽ đường thẳng d1 : x  y  0 , đường thẳng d1 qua hai điểm Trang -5- trị  0;  1  1;0  BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN  x  y 2   x  y 2 5x + + 2y x  y   Vẽ đường thẳng d : x  y  10 0 , đường thẳng hệ trục tọa độ đây: Giá trị nhỏ biểu thức F  y  x đạt điểm  2  1 7 A   2;6  , C  ;   , B  ;   3  3  Ta có: F  A  8; F  B   2; F  C   x  , y  3 Vậy F  d qua hai điểm  0;5x + + 2y   2;  Vẽ đường thẳng d3 : y 4 Miền nghiệm ngũ ABCOE giác với A  4;3 , B  2;  , C  0;  , E  1;0  Ta có: F  4;3 10 , F  2;  10 , F  0;  8 , F  1;0  1 F  0;0  0 , Vậy giá trị lớn biểu thức 10 F  x; y  x  y 3.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3.4 Tìm giá trị nhỏ F  y – x với điều kiện   y 5x + + 2y  x  y    x  y 2 x      x  y     x  y 5x + + 2y  x  y  0 F  x; y  x  y  x 0 với điều kiện Lời giải Lời giải Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình   y 5x + + 2y  x 0    x  y  0  x  y  0 hệ trục tọa độ đây: Trang -6-  x  y   x  y 2    x  y 5x + + 2y  x 0 hệ trục tọa độ đây: BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Nhận thấy biểu thức F  y  x đạt giá trị nhỏ điểm A, B, C D F  A 7  5x + + 2y  3; F  B   5x + + 2y  10 Ta có: F  C   2  4, F  D  2  0 2 Vậy F  10 x 0, y 5x + + 2y Nhận thấy biểu thức F  y  x đạt giá trị nhỏ điểm A, B C Chỉ C  4;1 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn Vậy F  x 4, y 1 Câu Một xưởng sản xuất hai loại hàng Mỗi sản phẩm loại I cần 2l nguyên liệu 30h, đem lại lợi nhuận 4000đ cho đơn vị Mỗi sản phẩm loại II cần 4l nguyên liệu 15x + + 2y h, đem lại lợi nhuận 3000đ cho đơn vị Xưởng có 200l nguyên liệu 1200h làm việc Hỏi sản xuất loại hàng để mức lợi nhuận cao Lời giải tham khảo y Gọi x số hàng loại I phải sản xuất y số hàng loại II phải sản xuất Ta có điều kiện sau:   C B O A {2x+4y≤20 ¿{30x+15y≤120 ¿{x≥0,xnguyªn¿ ¿ {x+2y≤10 (1)¿{2x+y≤80 (2)¿{x≥0,xnguyªn (3)¿ ¿ (d2) x (d1)  (I) Và đó, mức lợi nhuận thu F = 4000x + 3000y Để giải (I) ta vẽ đường thẳng:  (d1): x + 2y  100 =  (d2): 2x + y  80 =  trục Oy  trục Ox Ta có (1,1) nghiệm tất bất phương trình hệ (I) Vậy, nghiệm hệ (I) phần mặt phẳng tứ giác OABC (kể các cạnh) Trang -7- Lưu ý BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Ta có: A(40; 0)  FA = 160000 ; B(20, 40)  FB = 200000; C(0; 5x + + 2y 0)  FC = 15x + + 2y 0000; O(0, 0)  FO = Khi đó: FMax = max{ FA, FB, FC, FO} = 200000, đạt x = 20 y = 40 Vậy, để mức lợi nhuận cao cần sản xuất 20 hàng loại I 40 hàng loại II 4.1 Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp 4.2 Trong thi pha chế, đội chơi giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng đựng sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g "Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất loại hộp đường để pha chế nước cam nước táo này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác ● Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu;  Cách thứ cắt hộp B 1, hộp cao ● Để pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Sao vàng hộp Quy sâm  Cách thứ hai cắt hộp B 1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B tối thiểu 900 hộp, số hộp cao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao nhất? Lời giải Gọi x, y số lít nước cam số lít nước táo mà đội cần pha chế Lời giải Gọi x 0, y 0 số bìa cắt theo cách Suy 30 x  10 y số gam đường cần dựng; thứ nhất, thứ hai x  y số lít nước cần dựng; Bài tốn đưa đến tìm x 0, y 0 thoả mãn hệ x  y số gam hương liệu cần dựng 3 x  y  900   x  y 1000 6 x  y  900  x 0  x 0 F  x  y  cho nhỏ  y 0  y 0   x  100, y  300 30 x  10 y  210   3 x  y 21 Tìm  x  y 9  x  y 9    x  y 24   x  y 24  * Theo giả thiết Số điểm thưởng nhận F 60 x  80 y Ta tìm giá trị nhỏ biểu thức F với x, y  * Tìm x 4, y 5x + + 2y thỏa mãn 4.3 Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A sản phẩm B chu trình sản xuất Để sản xuất sản phẩm A lãi triệu đồng người ta sử dụng máy I giờ, máy II máy III Để sản xuất sản phẩm B lãi Trang -8- 4.4 Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp hai loại Vitamin A B thu kết sau: Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A lẫn B tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin A không 5x + + 2y 00 đơn vị vitamin B Do tác động phối hợp BÀI GIẢNG BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN triệu đồng người ta sử dụng máy I giờ, máy II máy III Biết máy I hoạt động không 36 giờ, máy hai hoạt động không 23 máy III hoạt động không 27 Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi nhiều nhất? hai loại vitamin nên ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Tính số đơn vị vitamin loại để người dùng ngày cho chi phí rẻ nhất, biết đơn vị vitamin A có giá đồng đơn vị vitamin B có giá 7,5x + + 2y đồng? Lời giải Gọi x 0, y 0 số đơn vị vitamin A Lời giải B để người cần dùng ngày Gọi x 0, y 0 (tấn) sản lượng cần sản xuất sản phẩm A sản phẩm B Ta có: Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B nên ta có: x  y thời gian hoạt động máy I 400  x  y 1000 x  y thời gian hoạt động máy II x  y thời gian hoạt động máy III Hàng ngày, tiếp nhận không 600 đơn vị vitamin A không 5x + + 2y 00 đơn vị vitamin B nên ta có: x 600, y 5x + + 2y 00 Số tiền lãi nhà máy: T 4 x  y (triệu Mỗi ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B đồng) khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin nên ta có: Bài tốn trở thành: Tìm x 0, y 0 thỏa mãn 0,5x + + 2y x  y 3 x  x  y 36  F  x, y  9 x  7,5x + + 2y y  x  y 23 Số tiền cần dùng ngày là: 3 x  y 27  để F 4 x  y đạt giá trị lớn Bài toán trở thành: Tìm x 0, y 0 thỏa mãn hệ x  7, y  Tìm 0  x 600,  y 5x + + 2y 00   400  x  y 1000 0,5x + + 2y x  y 3 x  để F  x, y  9 x  7,5x + + 2y y đạt giá trị nhỏ Tìm x 100, y 300 Trang -9-