Thông tin tài liệu
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489 Bài 4.HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương A KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x , y hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình - Miền nghiệm hệ bất phương trình giao miền nghiệm bất phương trình hệ - Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta làm sau: + Trong mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm + Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm - Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng F ax by , x, y nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà miền nghiệm hệ miền đa giác, ta làm sau: Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (là miền đa giác) Bước 2: Xác định toạ độ đỉnh đa giác Bước 3: Tính giá trị biểu thức F ax by cặp số ( x; y ) toạ độ đỉnh đa giác so sánh giá trị Từ đó, kết luận giá trị lớn hay giá trị nhỏ cần tìm B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn Cặp số x0 ; y0 nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x0 ; y0 đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ Câu Câu BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP x Cho hệ bất phương trình y x y 150 a) Hệ có phải hệ bất phương trình bậc hai ẩn không? b) Kiểm tra xem cặp số ( x; y ) (0; 0) có phải nghiệm hệ bất phương trình khơng Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x a) y x y2 b) y x 1 x y z c) y Câu 2 x y 32 d) x 3y Tìm hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ sau: 3 x y a) 2 x y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu Câu Câu Câu Câu Câu 5 x y b) 4 x y y 1 c) x x y 2 x y d) x y Cho bất phương trình bậc hai ẩn x y x y Cặp số sau thoả mãn đồng thời hai bất phương trình cho? a) (1;1) ; b) (2;5) ; c) (8;5) Tìm hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ sau: 5 x y a) 99 x 11y 2 y 19 b) 3 x 22 2 x y 12 x y c) x y Cho hệ bất phương trình sau: 2 x y 1 (2) x y Cặp số ( x; y ) sau (3;1), (1; 2), (5; 3) nghiệm hệ bất phương trình trên? Kiểm tra xem cặp số (x;y) cho có nghiệm hệ bất phương trình tương ứng không 3 x y 6 a) (0; 2), (1;0) x y 4 x y 3 b) (1; 3),(0; 3) 3 x y 12 Dạng Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phương trình hệ Cách xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: -Trên mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ gạch bỏ miền cịn lại - Miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ bất phương trình cho BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng toạ độ: 7 x y 2400 x y 100 x Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng tọa độ: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 y x 1 a) x y x b) y 2 x y x c) x y x y Câu 10 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ần sau mặt phẳng toạ x y độ: y x y 1 Câu 11 Biều diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phằng toạ độ: y3 x0 x 1 x3 a) y b) c) y0 x y 4; x y 0; x 1 y 2 2 x y Câu 12 Biểu diễn miền nghiệm hệ: 2 x y Câu 13 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: 3 x y x y x y Câu 14 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau: x x y x y x a) x b) x y 2 c) y y x x y y 2 x y Câu 15 Biểu diễn miền nghiệm hệ: x y 5x x y Câu 16 Biểu diễn miền nghiệm hệ: 2 x y 10 x y Câu 17 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau đây: x y a) x y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y b) 0 x y Câu 18 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: 2 x y x y x y Câu 19 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: x y 4 a) y x 5 4 x y b) x y Câu 20 Miền khơng bị gạch Hình 12a,12 b miền nghiệm hệ bất phương trình cho đây? 12a) x y a) x 3 y 1 y x b) x y 3 12b) a) b) y x 1 c) x y 1 x y 4 Câu 21 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: y x5 Câu 22 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: x y 3x y x y a) b) x y c) x y 2 x y 3 x 1 2x y Câu 23 Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn có miền nghiệm miền đa giác khơng bị gạch Hình 10a,10b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 24 Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau x y a) x 3y x y b) 2 x y x y 1 x y Câu 25 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình x 3y x y x y Câu 26 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình x y 3 x y 1 Câu 27 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình x y x 3y Dạng Ứng dụng – Bài tốn thực tế Phương pháp tìm cực trị biểu thức F ax by miền đa giác Bài tốn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F ax by ( a , b hai số cho không đồng thời 0) với x, y thỏa mã hệ bất phương trình bậc hai ẩn ( có miền nghiệm miền đa giác A1 A2 Ai Ai 1 An ) Phương pháp Bước Tìm miền đa giác A1 A2 Ai Ai 1 An miền nghiệm hệ bất phương trình Bước Tìm tọa độ đỉnh A1 , A2 , , An Bước Tính F xi ; yi Ai xi ; yi với i , , , n Bước Kết luận Giá trị lớn M max F xi , yi i 1,2, n Giá trị lớn m F xi , yi i 1,2, n BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Một người dùng ba loại nguyên liệu A, B, C để sản xuất hai loại sản phẩm P Q Để sản xuất 1kg loại sản phẩm P Q phải dùng số kilôgam nguyên liệu khác Tổng số kilơgam ngun liệu loại mà người có số kilôgam loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1kg sản phẩm loại cho bảng sau: Loại nguyên liệu Số kilôgam nguyên Số kilôgam loại nguyên liệu cần để sản liệu có xuất kg sản phẩm Q P 10 2 A B C 12 4 Biết 1kg sản phẩm P lãi triệu đồng 1kg sản phẩm Q lãi triệu đồng Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm cho có lãi cao Câu Trong năm nay, cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều điều hoà chiều với số vốn ban đầu không vượt 1,2 tỉ đồng Điều hoà hai chiều Điều hoà chiều Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng/1 máy triệu đồng/1 máy Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu thị trường sẽ̉ không vượt 100 máy hai loại Nếu chủ cửa hàng em cần đầu tư kinh doanh loại máy để lợi nhuận thu lớn nhất? Câu Một gia đình cần it 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilơgam thịt bị chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1, kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bị 250 nghìn đồng; kg thịt lợn 160 nghìn đồng Giả sử gia đình mua x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn Thịt bò Thịt lợn 800 / kg 600 / kg Protein 200 / kg 400 / kg Lipit Câu Câu Câu Câu Câu Câu a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện tốn thành hệ bất phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi F (nghìn đồng) số tiền phải trả cho x kilơgam thịt bị y kilôgam thịt lợn Hãy biểu diễn F theo x y c) Tìm số kilơgam thịt loại mà gia đình cần mua để chi phí Tìm giá tri lớn giá tri nhỏ biểu thức F ( x; y ) x y với ( x; y) thuộc miền x y nghiệm hệ bất phương trình x y0 Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 280 kg chất A 18 kg chất B Với nguyên liệu loại I, người ta chiết xuất 40 kg chất A 1, kg chất B Với nguyên liệu loại II, người ta chiết xuất 20 kg chất A kg chất B Giá nguyên liệu loại I triệu đồng loại II triệu đồng Hỏi người ta phài dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu mà đạt mục tiêu đề ra? Biết sở cung cấp nguyên liệu cung cấp tối đa 10 nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II Tim giá trị lớn giá trị nhỏ biều thức F ( x; y ) x y với ( x; y) thuộc miền x y nghiệm hệ bất phương trình x y0 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F ( x; y ) x y miền nghiệm hệ x y 4 x y bất phương trình x y x y 4 Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 12 g hương liệu, lịt nước 315 g đường đề pha chế hai loại nước A B Để pha chế lít nước A cần 45 g đường, lít nước 0,5 g hương liệu; để pha chế lít nước B cần 15 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước A nhận 60 điểm thưởng, lít nước B nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước loại để đội chơi số điểm thưởng lớn nhất? Bác Năm dự định trồng ngô đậu xanh mảnh đất có diện tích Nếu trồng ngơ cần 20 ngày công thu 40 triệu đồng Nếu trồng đậu xanh cần 30 ngày cơng thu 50 triệu đồng Bác Năm cần trồng hecta cho loại để thu nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm sử dụng không 180 ngày công cho việc trồng ngô đậu xanh Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Câu 10 Một người dùng ba loại nguyên liệu A, B, C để sản xuất hai loại sản phẩm P Q Để sản xuất kg loại sản phẩm P Q phải dùng số kilôgam nguyên liệu khác Tổng số kilôgam nguyên liệu loại mà người có số kilơgam loại ngun liệu cần thiết để sản xuất 1kg sản phẩm loại cho bảng sau: Biết 1kg sản phẩm P có lợi nhuận triệu đồng kg sản phẩm Q có lợi nhuận triệu đồng Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm cho có lãi cao Câu 11 Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp A B Cứ sản xuất thùng loại A nhà máy thải 0,25 kg khí carbon dioxide CO2 0, 60 kg khí sulful dioxide Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 SO2 , sản xuất thùng loại B thải 0,50 kg CO2 0, 20 kgSO2 Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng CO2 nhà máy tối đa 75 kg SO2 tối đa 90 kg ngày a) Tìm hệ bất phương trình mơ tả số thùng loại thuốc trừ' sâu mà nhà máy sản xuất ngày để đáp ứng điều kiện hạn chế Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình mặt phẳng toạ độ b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A 80 thùng loại B ngày có phủ hợp với quy định không? c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A 160 thùng loại B ngày có phù hợp với quy định không? Bạn Lan thu xếp không 10 để làm hai loại đèn trung thu tặng cho trẻ em khuyết tật Loại đèn hình cá cần để làm xong cái, cịn loại đèn ơng cần để làm xong Gọi x, y số đèn hình cá đèn ơng bạn Lan làm Hãy lập hệ bất phương trình mơ tả điều kiện x, y biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình Một học sinh dự định vẽ thiệp xuân làm tay để bán hội chợ Tết Cần để vẽ thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng để vẽ thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng Học sinh có 30 để vẽ ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ 12 Hãy cho biết bạn cần vẽ thiệp mồi loại để có nhiều tiền Trong tuần, bạn Mạnh thu xếp tối đa 12 để tập thể dục giảm cân hai môn: đạp xe tập cử tạ phòng tập Cho biết đạp xe tiêu hao 350 calo khơng tốn chi phí, tập cử tạ tiêu hao 700 calo với chi phí 50000 đồng/giờ Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo không vượt 7000 calo tuần Hãy giúp bạn Mạnh tính số đạp xe số tập tạ tuần hai trường hợp sau: a) Mạnh muốn chi phí luyện tập b) Mạnh muốn số calo tiêu hao nhiều Bác Năm dự định trồng khoai lang khoai mì mảnh đất có diện tích Nếu trồng khoai lang cần 10 ngày cơng thu 20 triệu đồng Nếu trồng khoai mì cần 15 ngày cơng thu 25 triệu đồng Bác Năm cần trồng hecta cho loại để thu nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm sử dụng khơng 90 ngày công cho việc trồng khoai lang khoai mì Một người bán nước giải khát có 25 g bột nho 100 g đường để pha chế hai loại nước nho A B Để pha chế 1l nước nho loại A cần 10 g đường g bột nho; để pha chế 1l nước nho loại B cần 10 g đường g bột nho Mỗi lít nước nho loại A bán lãi 30 nghìn đồng, Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ lít nước nho loại B bán lãi 40 nghìn đồng Hỏi người nên pha chế lít nước nho loại để có lợi nhuận cao nhất? Câu 17 Bạn Bích có 500 g bột gạo để pha hai loại nước hồ tráng bánh đa bánh xèo Một lít nước hồ tráng bánh đa cần 200 g bột gạo, cịn lít nước hồ tráng bánh xèo cần 100 g bột gạo Gọi x, y số lít nước hồ tráng bánh đa bánh xèo Hãy lập hệ bất phương trình mơ tả điều kiện x, y biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình Câu 18 Một bãi đậu xe ban đêm có diện tích đậu xe 150 m2 (khơng tính lối cho xe vào) Cho biết xe du lịch cần diện tích m2 /chiếc phải trả phí 40 nghìn đồng, xe tải cần diện tích m2 / phải trả phí 50 nghìn đồng Nhân viên quản lí khơng thể phục vụ 40 xe đêm Hãy tính số lượng xe loại mà chủ bãi xe cho đăng kí đậu xe để có doanh thu cao Câu 19 Cho biết kilơgam thịt bị giá 250 nghìn đồng, có chứa khoảng 800 đơn vị protein 100 đơn vị lipit, kilôgam thịt heo có giá 200 nghìn đồng, có chứa khoảng 600 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Một gia đình cần 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit phần thức ăn ngày họ mua ngày khơng 1kg thịt bò 1,5 kg thịt heo Hỏi gia đình phải mua kilơgam thịt loại để chi phí nhất? Câu 20 Quảng cáo sản phẩm truyền hình hoạt động quan trọng kinh doanh doanh nghiệp Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo VTV1 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20 h30 ; triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung 16 h00 17 h00 Một công ty dự định chi không 900 triệu đồng để quảng cáo VTV1 với yêu cầu quảng cáo số lần phát sau: 10 lần quảng cáo vào khoảng 20 h30 không 50 lần quảng cáo vào khung 16 h00 17 h00 Gọi x, y số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 vào khung 16 h00 17 h00 Tìm x y cho tổng số lần xuất quảng cáo công ty nhiều Câu 21 Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 140 kg chất A kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất 20 kg chất A 0, kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng, chiết xuất 10 kg chất A 1, kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu nhất? Biết cở sở cung cấp nguyên liệu cung cấp không 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II Câu 22 Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 Phân xưởng làm việc tiếng ngày thị trường tiêu thụ tối đa ngày 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn đồng, mũ kiểu thứ hai 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 BÀI TẬP TOÁN 10 x y 10 2 x y a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: I 2 x y 12 y 2 b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (I) cho F x y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 Phân xưởng làm việc tiếng ngày thị trường tiêu thụ tối đa ngày 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn đồng, mũ kiểu thứ hai 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao x y5 3 x y 12 a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: (III) x y0 b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (III) cho F x y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X Y Để đạt lợi nhuận khoản X phải đầu tư 100 triệu đồng số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ số tiền cho khoản X Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn để mơ tả hai khoản đầu tư biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình vừa tìm Một phân xưởng may áo vest quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm Biết may áo vest hết m vải cần 20 giờ; quần âu hết 1,5 m vải cần Xí nghiệp giao sử dụng khơng 900 m vải số công không vượt 6000 Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán không nhỏ số lượng áo không vượt lần số lượng áo Khi xuất thị trường, áo lãi 350 nghìn đồng, quần lãi 100 nghìn đồng Phân xưởng cần may áo vest quần âu để thu tiền lãi cao (biết thị trường tiêu thụ ln đón nhận sản phẩm xí nghiệp)? BÀI TẬP BỔ SUNG 3 x y 1 Câu 28 Cho cặp x; y nghiệm hệ 2 x y (*) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức x 3y f x; y x y Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy , cho tứ giác ABCD có A 2;0 ; B 0;3 ; C 3; D 3; 2 (tham khảo hình vẽ) Tìm tất giá trị m cho điểm M m; m 1 nằm hình tứ giác ABCD tính bốn cạnh AB, BC , CD , DA y B C O A x D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 30 Một hộ nông dân dự định trồng đậu cà diện tích Nếu trồng đậu cần 20 cơng thu triệu đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 cơng thu triệu đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, biết tổng số cơng khơng q 180 Câu 31 Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết ngày gia đình mua tối đa 1.5kg thịt bị 1kg thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò 200 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 100 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để số tiền bỏ Câu 32 Người ta định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 120 kg hóa chất A kg hóa chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng chiết xuất 20 kg chất A 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng chiết xuất 10 kg chất A 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu Biết sở cung cấp ngun liệu cung cấp khơng q 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II Câu 33 Có ba nhóm máy A, B,C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho bảng sau: Số máy nhóm để sản xuất đơn Số máy vị sản phẩm Nhóm nhóm Loại I Loại II A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi ba nghìn đồng, đơn vị sản phẩm loại II lãi năm nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu x 2y Cặp số sau nghiệm hệ bất phương trình x y 2 x y 3? A (1; 0) Câu D (0; 1) x y 2 Cặp số sau không nghiệm hệ bất phương trình x y 2 ? A (0; 0) B (1;1) C (1;1) D (1; 1) Câu 2 x y Miền nghiệm hệ bất phương trình 2 x y 5 phần mặt phẳng chứa x y 1 Câu B ( 1; 0) C ( 2;3) A (0; 0) B (1; 0) C (0; 2) D (0; 2) Miền đa giác ABCD Hình miền nghiệm hệ bất phương trình: x y x y x y 1 x y 1 A B x y x y x y 2 x y 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ y x O y A 3 x y y B 3 x y 6 x C 3 x y Lời giải Chọn#A Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng x D 3 x y 6 d1 : y đường thẳng d2 : 3x y Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương Lại có ; thỏa mãn bất phương trình x y x y Câu 21 Miền nghiệm hệ bất phương trình x y 2 chứa điểm sau đây? y x A A 1 ; B B 2 ; 3 C C ; 1 D D 1 ; Lời giải Chọn D Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 2 d3 : y x Ta thấy ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 1 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ 2 x y Câu 22 Miền nghiệm hệ bất phương trình x chứa điểm sau đây? 2 x y A A 1 ; B B ; C C 1 ; 3 1 D D ; 3 Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x d3 : x y Ta thấy 1 ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm 1 ; 1 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ 2 x Câu 23 Miền nghiệm hệ bất phương trình chứa điểm sau đây? 3 x A Khơng có 5 B B ; 3 C C 3 ; 1 1 D D ; 10 2 Lời giải Chọn#A Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: d1 : x d2 : 3x Ta thấy 1 ; khơng nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm 1 ; khơng thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Vậy khơng có điểm nằm mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 y Câu 24 Miền nghiệm hệ bất phương trình chứa điểm sau đây? 2 x y A A ; B B ; 3 C C ; D D ; Lời giải Chọn C Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: d1 : y d2 : x y Ta thấy ; nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ x y Câu 25 Miền nghiệm hệ bất phương trình khơng chứa điểm sau đây? x y 2 A A 1 ; B B 1 ; C C 3 ; D D ; 3 Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 2 Ta thấy ; 1 nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 1 thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ phần khơng thích hợp, phần không bị gạch miền nghiệm hệ Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 3 x y 3y Câu 26 Miền nghiệm hệ bất phương trình 2( x 1) không chứa điểm sau đây? x A A ; B B ; C C 1 ; 1 D D ; 3 Lời giải Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : 3x y d2 : x y 12 d3 : x Ta thấy ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 1 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ x y Câu 27 Miền nghiệm hệ bất phương trình x y 3 không chứa điểm sau đây? x y A A ; B B ; 3 C C ; D D ; Lời giải Chọn#A Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 3 d3 : x y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ta thấy ; 3 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm ; 3 thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ x 3y Câu 28 Miền nghiệm hệ bất phương trình x y 3 không chứa điểm sau đây? y x A A ; 1 B B 1 ; 1 C C 3 ; D D 3 ; 1 Lời giải Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x y 3 d3 : x y Ta thấy 1 ; nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm 1 ; thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ y 2x Câu 29 Giá trị nhỏ biểu thức F y x miền xác định hệ y x x y 5 A F x , y B F x , y C F x , y D F x , y Lời giải Chọn#A y 2x Miền nghiệm hệ y x miền tam giác ABC kể biên (như hình) x y 5 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Ta thấy F y x đạt giá trị nhỏ điểm A , B , C Tại A 0;2 F Tại B 1;4 F Tại A 2;3 F Vậy F x , y 2x y Câu 30 Giá trị nhỏ biết thức F y x miền xác định hệ x y 5 x y 4 A F 3 x 1, y 2 B F x 0, y C F 2 x , y 3 D F x 2, y Lời giải Chọn C 2x y Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình x y hệ trục tọa độ đây: 5 x y 4 Giá trị nhỏ biết thức F y x đạt điểm 1 7 A 2;6 , C ; , B ; 3 3 3 Ta có: F A 8; F B 2; F C 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy F 2 x , y 3 x y 3x y 15 Câu 31 Cho hệ bất phương trình Khẳng định sau khẳng định sai? x y A Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm hệbất phương trình cho miền tứ 25 giác ABCO kể cạnh với A 0;3 , B ; , C 2;0 O 0;0 8 B Đường thẳng : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể 1 m 17 17 D Giá trị nhỏ biểu thức x y , với x y thõa mãn hệ bất phương trình cho C Giá trị lớn biểu thức x y , với x y thỏa mãn hệ bất phương trình cho Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng: d1 : x y d2 : 3x y 15 d3 : x d4 : y Miền nghiệm phần không bị gạch, kể biên 0 y4 x0 Câu 32 Giá trị lớn biết thức F x; y x y với điều kiện x y 1 x y 10 A B C 10 D 12 Lời giải Chọn C Vẽ đường thẳng d1 : x y , đường thẳng d1 qua hai điểm 0; 1 1;0 Vẽ đường thẳng d : x y 10 , đường thẳng d qua hai điểm 0;5 2; Vẽ đường thẳng d : y Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với A 4;3 , B 2; , C 0;4 , E 1;0 Ta có: F 4;3 10 , F 2; 10 , F 0; , F 1;0 , F 0;0 Vậy giá trị lớn biết thức F x; y x y 10 0 y5 x0 Câu 33 Giá trị nhỏ biết thức F x; y x y với điều kiện x y x y A 10 B 12 C 8 D 6 Lời giải Chọn#A 0 y5 x0 Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình hệ trục tọa độ đây: x y x y Nhận thấy biết thức F y x đạt giá trị nhỏ điểm A, B, C D Ta có: F A 3; F B 2 10 F C 2 4, F D Vậy F 10 x 0, y 2 x y 2 x 2y Câu 34 Biểu thức F y – x đạt giá trị nhỏ với điều kiện điểm S x; y có toạ độ x y 5 x0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A 4;1 B 3;1 C 2;1 D 1;1 Lời giải Chọn#A 2 x y 2 x 2y Biểu diễn miền ngiệm hệ bất phương trình hệ trục tọa độ đây: x y 5 x0 Nhận thấy biết thức F y x đạt giá trị nhỏ điểm A, B C Chỉ C 4;1 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn Vậy F 3 x 4, y 2 x y Câu 35 Biểu thức L y x , với x y thõa mãn hệ bất phương trình x , đạt giá trị lớn 2 x y a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau: 25 11 9 A a b 2 B a b C a b D a b 12 Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: d1 : x y d2 : x d3 : x y Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Ta thấy ; nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa gốc tọa độ thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ (kể biên) 1 7 5 Miền nghiệm hình tam giác ABC (kể biên), với A ; , B ; , C ; 3 4 6 11 Vậy ta có a 2, b 12 Câu 36 Trong thi pha chế, hai đội A, B sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Đội A pha chế a lít nước cam b lít nước táo dành điểm thưởng cao Hiệu số a b A B C 1 D 6 Lời giải Chọn C Gọi x, y số lít nước cam nước táo mà đội cần pha chế x 0; y Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước x g hương liệu Để pha chế y lít nước táo cần 10 y g đường, y lít nước y g hương liệu Theo ta có hệ bất phương trình: 30 x 10 y 210 x y * x y 24 x 0; y Số điểm đạt pha x lít nước cam y lít nước táo M x, y 60 x 80 y Bài toán trở thành tìm x, y để M x, y đạt giá trị lớn Ta biểu diễn miền nghiệm hệ * mặt phẳng tọa độ sau: y x+y=9 E A x+4y=24 B D≡O C x 30x + 10y = 210 Miền nghiệm ngũ giác ABCDE Tọa độ điểm: A 4;5 , B 6;3 , C 7;0 , D 0;0 , E 0;6 M x, y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đỉnh miền nghiệm nên thay tọa độ điểm vào biểu thức M x, y ta được: M 4;5 640 ; M 6;3 600 , M 7;0 420 , M 0;0 , M 0;6 480 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy giá trị lớn M x ; y 640 x 4; y a 4; b a b 1 Câu 37 Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 800 m Nếu trồng đậu diện tích 100 m cần 20 công làm thu 3000000 đồng Nếu trồng cà diện tích 100 m cần 30 công làm thu 4000000 đồng Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công làm không 180 công Hãy chọn phương án phương án sau: A Trồng 600 m đậu; 200 m cà B Trồng 500 m đậu; 300 m cà C Trồng 400 m đậu; 200 m cà D Trồng 200 m đậu; 600 m cà Lời giải Chọn A Giả sử diện tích trồng đậu x (trăm m );suy diện tích trồng cà x (trăm m ) Ta có thu nhập thu S x 3 x x 10000 10000 x 32 đồng Tổng số công 20 x 30 x 10 x 240 Theo giả thiết có 10 x 240 180 x Mà hàm số S x hàm nghịch biến nên S x đạt giá trị lớn x Do trồng 600 m đậu, 200 m cà Câu 38 Một công ty TNHH đợt quảng cáo bán khuyến hàng hóa ( sản phẩm công ty) cần thuê xe để chở 140 người hàng Nơi thuê có hai loại xe A B Trong xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu, loại B giá triệu Hỏi phải thuê xe loại để chi phí vận chuyển thấp Biết xe A chở tối đa 20 người 0, hàng Xe B chở tối đa 10 người 1, hàng A xe A xe B B xe A xe B C xe A xe B D xe A xe B Lời giải Chọn D Gọi x số xe loại A x 10; x , y số xe loại B y 9; y Khi tổng chi phí thuê xe T x y (triệu đồng) Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người xe chở tối đa 20 x 10 y (người) Xe A chở 0, hàng, xe B chở 1, hàng nên tổng lượng hàng xe chở 0, x 1,5 y (tấn) 0 x 10 0 y Theo giả thiết, ta có * 20 x 10 y 140 0, x 1,5 y Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình * tứ giác ABCD kể miền tứ giác (như hình vẽ trên) Biểu thức T x y đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD x 5 Tại đỉnh A 10; ; B 10;9 ; C ;9 ; D 5; , ta thấy T đạt giá trị nhỏ 2 y Khi Tmin 32 (triệu đồng) Câu 39 Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bò 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x, y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình cần mua để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn Tính x2 y A x2 y 1,3 B x y 2,6 C x2 y 1,09 D x2 y 0,58 Lời giải Chọn A Điều kiện: x 1,6 ; y 1,1 Khi số protein có 800 x 600 y số lipit có 200 x 400 y Vì gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 x 600 y 900 200 x 400 y 400 x y x y 0 x 1,6 0 y 1,1 8 x y x y Miền nghiệm hệ miền nghiệm tứ giác ABCD (kể biên) Chi phí để mua x kg thịt bò y kg thịt lợn T 160 x 110 y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Biết T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tại A: T 160.0,6 110.0,7 173 (nghìn) Tại B: T 160.1,6 110.0, 278 (nghìn) Tại C: T 160.1,6 110.1,1 377 (nghìn) Tại D: T 160.0,3 110.1,1 169 (nghìn) Vậy T đạt GTNN x 0,3 ; y 1,1 x2 y 0,32 1,12 1,3 Câu 40 Có hai giỏ đựng trứng gồm giỏ A giỏ B, trứng có hai loại trứng lành trứng hỏng Tổng số trứng hai giỏ 20 số trứng giỏ A nhiều số trứng giỏ B Lấy ngẫu nhiên giỏ trứng, biết xác suất để lấy hai trứng 55 lành Tìm số trứng lành giỏ#A 84 A B 14 C 11 D 10 Lời giải Chọn C Gọi a số trứng lành, b số trứng hỏng giỏ#A Gọi x số trứng lành, y số trứng hỏng giỏ B a x 55 Lấy ngẫu nhiên giỏ trứng, xác suất để lấy hai trứng lành: a b x y 84 a.x 55 a b 14 a b x y 84 a 11 x y Do đó: a b x y 20 x5 a.x 55 a b x y a b x y 100 Suy ra: Giỏ A có 11 trứng lành Câu 41 Một xưởng khí có hai cơng nhân Chiến Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm I II Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất sản phẩm I Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Để sản xuất sản phẩm II Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Một người làm đồng thời hai sản phẩm Biết tháng Chiến làm việc 180 Bình khơng thể làm việc q 220 Số tiền lãi lớn tháng xưởng A 32 triệu đồng B 35 triệu đồng C 14 triệu đồng D 30 triệu đồng Lời giải Chọn#A Gọi x , y số sản phẩm loại I loại II sản xuất Điều kiện x , y nguyên dương Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 3 x y 180 x y 220 Ta có hệ bất phương trình sau: x y Miền nghiệm hệ y 90 B C x O A Tiền lãi tháng xưởng T 0,5 x 0, y (triệu đồng) Ta thấy T đạt giá trị lớn điểm A , B , C Vì C có tọa độ khơng ngun nên loại Tại A 60;0 T 30 triệu đồng Tại B 40;30 T 32 triệu đồng Vậy tiền lãi lớn tháng xưởng 32 triệu đồng Câu 42 Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1, kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bò 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x , y số kg thịt bị thịt lợn mà gia đình cần mua Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn? A x 0,3 y 1,1 B x 0,3 y 0, C x 0, y 0,7 D x 1, y 0, Lời giải Chọn#A 0 x 1,6 Theo ta có số tiền gia đình cần trả 160.x 110 y với x , y thỏa mãn: 0 y 1,1 Số đơn vị protein gia đình có 0,8.x 0, y 0,9 8x y d1 Số đơn vị lipit gia đình có 0, 2.x 0, y 0, x y d2 0 x 1, 0 y 1,1 Bài tốn trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình cho 8 x y x y T 160.x 110 y nhỏ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ y x 1,6 D y 1,1 A C O B x x 2y 8x 6y Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm tọa độ điểm A 1, 6;1,1 ; B 1, 6;0, ; C 0,6;0, ; D 0,3;1,1 Nhận xét: T A 377 nghìn, T B 278 nghìn, T C 173 nghìn, T D 169 nghìn Vậy tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn x 0, y 0,7 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... thoại: 0 946 79 848 9 Bài 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương A KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x , y hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn. .. Dạng Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn Cặp số x0 ; y0 nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x0 ; y0... giải x a) Ta thấy hệ gồm hai bất phương trình bậc hai ẩn x y y => Hệ hệ bất phương trình bậc hai ẩn x y2 b) Ta thấy hệ không hệ bất phương trình bậc hai ẩn x y không bất
Ngày đăng: 01/03/2023, 08:34
Xem thêm:
