15 bài giảng tự luận phép nhân vecto với 1 số đáp án chi tiết

BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ BÀI PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ  Dạng [0H1-3-0] Xác định vectơ ka 1.Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Các ví dụ:   Lưu ý a Ví dụ 1.: Cho   AB   điểm  O Xác định hai điểm M N cho: OM 3a; ON  4a Lời giải   a a Vẽ d qua O  // với giá (nếu O  giá d giá a )    a |, OM a  Trên d lấy điểm M cho OM=3|   hướng OM 3a    a |, ON a ngược  Trên d lấy điểm N cho ON= 4|  hướng nên ON  4a Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng thức  sau: a )AM k AB; Lời giải   b ) MA k MB;   c )MA k AB b) k=  c) k=  Hướng dẫn giải: A M B    | AM | AM   AM k AB  | k |    AB AM  AB | AB | a) ,  k=    a   Ví dụ a) Chứng minh:vectơ đối 5a   2a  3b , 2.1 b) Tìm vectơ đối véctơ Lời giải Hướng dẫn giải: 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An a)      5a   1 5a    1  a    a        2a  3b   1 2a  3b   1 2a    1 3b        a     b  2a  3b       Dạng toán [0H1-3-1] Đẳng thức véctơ khơng dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng:  Các tính chất phép tốn vectơ  Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Các ví dụ: Ví dụ 1:Cho điểm A,B,C,D M N trung điểm AB CD    Chứng minh MN = AC + BD  Lời giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có phân tích:    AC = AM + MN + NC ,     BD = BM + MN + ND Chứng minh:      MN AC BC BD AD = + = + Ta có:      AC + BD = AD + DC + BC    CD BC + = AD + , đpcm (1) (2)    AM + BM = NC + Cộng theo vế (1) (2) với lưu ý   ND = (vì M N trung điểm đoạn thẳng AB (**) Từ (*) (**) ta đẳng thức cần chứng minh CD), ta  được:   AC + BD = MN , đpcm A (*) Cách 2: Ta có  phân tích:  MN MA  AC  CN , D   (3) MN MB  BD  DN , (4)    MA  MB 0  Cộng   theo vế (3) (4) với lưu ý NC  ND 0 (vì M N trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta được:    MN AC BD = + , đpcm Ví  dụ 2: Cho  hình bình hành ABCD Chứng minh: AB  AC  AD 3AC Lời giải: 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 M N B C  BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ   AB  AD  AC Áp dụng quitắc hình  bình hành ta có  VT= AC  AC 3AC VP (đpcm) Ví dụ 3: Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có:  Chú ý: Các em học sinh trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP      MO = ( MA + MB + MC + MD ) Giải Ta có:     MA + MB + MC + MD  OD        MO OA MO OB MO OC MO = + + + + + + +       MO OA OC OB OD MO =4 +( + )+( + )=4      MC MO MA MB MD  ( + + + )= , đpcm 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tơ Quốc An Dạng tốn [0H1-3-2] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trung điểm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép tốn vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r Û MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB    uuu r uuu r uuur M trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh rằng: uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = a) Lời giải (Hình 1.16) a) Theo hệ thức trung điểm ta có uuu r uuu r uur uuur uuur uur OA +OB = 2OI , OC +OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O trung điểm IJ nên OI +OJ = uuu r uuu r uuur uuur uur uur r OA + OB + OC + OD = OI + OJ = Suy đpcm ( ) uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD = MO b) với M điểm Giải: Theo câu a ta có uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = với điểm M uuu r uuu r uuur uuur r OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur Û OM + MA + OM + MA uuur uuur uuur uuur r + OM + MA + OM + MA = uuur uuur uuur uuur uuur Û MA + MB + MC + MD = 4MO đpcm ( ( ) ( ) ( ) ) Ví dụ 2: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng:     AM + BN + CP =  Giải Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:       (AB  AC) (BA  BC) VT = + + (CA  CB)       = (AB  BA  AC  CA  BC  CB) , đpcm Ví dụ 3: Cho ABC Gọi M trung điểm AB N b Gọi D trung điểm BC Chứng 1   điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm minh KD = AB + AC MN Giải: Vì D trung điểm BC nên: 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 A D BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ    a Chứng minh AK = AB + AC Giải a Từ giả thiết ta nhận thấy: AC 3AN AB 2AM        AB   AM  AB = AM ; AC   AN  AC  = AN Vì K trung điểm MN nên:  1  1     AK = ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB + AC , đpcm     AC AD = ( AB + ) từ đó, suy ra:     KD = AD - AK = ( AB + AC )    1 AC AB + AC , - ( AB + )= đpcm 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Dạng [0H1-3-3] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trọng tâm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r Û MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB    uuu r uuu r uuur M trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý)  Tính chất trọng tâm: uuu r uuu r uuur ur G trọng tâm tam giác ABC Û GA +GB +GC =O uuu r uuu r uuur uuur Û OA OB G trọng tâm tam giác ABC + +OC =OG (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh   G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ 3GG'  AA'  BB'  CC' Hướng dẫn giải:    VP  AA'  BB'  CC'           AG  GG'  G' A'  BG  GG'  G' B'  CG  GG'  G' C'        3GG'  AG  BG  CG  G' A'  G' B'  G' C'        3GG'  ( GA  GB  GC )  G' A'  G' B'  G' C'  3GG' Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G Gọi G1, G2, G trọng tâm tam giác BCA1, ABC 1, ACB1 uuuu r uuuu r uuuu r r GG + GG + GG =0 Chứng minh Lời giải uuuu r uuu r uuur uuur G BCA GG = GB +GC +GA1 1 Vì trọng tâm tam giác nên Tương tự G2, G3 trọng tâm tam giác ABC 1, ACB1 suy uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur 3GG2 = GA +GB +GC 3GG3 = GA +GC +GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuuu r GG1 +GG2 +GG = 2( GA +GB +GC ) + ( GA1 +GB1 +GC ) Mặt khác hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G nên uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC GA +GB +GC = 1 uuuu r uuuu r uuuu r r Suy GG1 +GG2 +GG3 = 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) Lời giải (Hình 1.17) uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) Dễ thấy tam ABC giác vuông Nếu tam giác ABC không vuông gọi D điểm đối xứng A qua O BH / /DC (vì vng góc với AC) BD / /CH (vì vng góc với AB) Suy BDCH hình bình hành, theo quy uuur uuur uuur tắc hình bình hành HB + HC = HD (1) Mặt khác O trung điểm AD nên uuu r uuur uuur HA + HD = 2HO (2) uuu r uuur uuur uuur Từ (1) (2) suy HA + HB + HC = 2HO uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH b) uuur uuur r GH + GO = c) b) Theo câu a) ta có uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = 2HO uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur A + OA + HO + OB + HO + OC Û HO uuur = 2HO uuu r uuu r uuur uuur Û OA + OB + OC = OH đpcm H c) Vì G O trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur uuur BOA + OB + OC = 3OGC Mặt khác theo câu b) uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH ta có D Suy Hình 1.17 uuur uuur uuur uuur uuur r OH = 3OG Û ( OG +GH ) - 3OG = uuur uuur r Û GH + 2GO = ( ) ( ) ( 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An ) Dạng [0H1-3-4] Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với số  Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép tốn vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vuông để tính độ dài chúng Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Dựng vectơ sau tính độ dài chúng 1  CB  MA a) b)  1 BA  BC Lời giải (Hình 1.14) A L K C N M B H Q P Hình 1.14 1  CB CM a) Do suy theo quy tắc ba điểm ta có 1     CB  MA CM  MA CA 1  CB  MA CA a Vậy 1  BC BM b) Vì nên theo quy tắc trừ ta  1    BA  BC BA  BM MA có Theo định lí Pitago ta có  1 AB  AC c)  3 MA  2,5MB d) c) Gọi N trung điểm AB , Q điểm đối xứng A qua C P đỉnh hình bình hành AQPN   1  AB  AN , AC  AQ Khi ta có suy theo quy tắc 1     AB  AC  AN  AQ  AP hình bình hành ta có Gọi L hình chiếu A lên QN    Vì MN / / AC  ANL MNB CAB 60 Xét tam giác vuông ANL ta có AL a a   sin ANL   AL  AN sin ANL  sin 600  AN NL a a   cos ANL   NL  AN cos ANL  cos 600  AN Ta lại có a 9a AQ PN  PL PN  NL  AQ  NL 2a   4 Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có 3a 81a 21a a 21 AP  AL2  PL2     AP  16 16   a 21 AB  AC  AP  Vậy MK  MA d) Gọi K điểm nằm đoạn AM cho , MH  2,5 MB H thuộc tia MB cho     MA MK , 2,5MB MH Khi 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ a a MA  AB  BM  a      2  1 a BA  BC MA  2 Vậy 2     3 MA  2,5MB MK  MH HK Do 3 a 3 3a MK  AM   4 , Ta có a 5a MH 2,5MB 2,5  Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vng KMH ta có 25a 27a a 127 KH  MH  MK    16 64   a 127 MA  2,5MB KH  Vậy Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng vectơ sau tính độ dài chúng: A O   a OA + OB 21   b OA + 2.5 OB ,  Giải B   OA OB a Để dựng vectơ +4 ta thực hiện:  Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA  Trên tia OB lấy điểm B1 cho OB1 = 4OB  Dựng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ đó, ta có:      OA OB OC + = OA + OB =    OA12  C1A12  3 OA + OB  =  OC1  = OC1 = = 5a b Thực tương tự câu c), ta dựng vectơ 21   OA + 2.5 OB Chú ý: Với em học sinh chưa nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thường kết luận rằng:      AB + AC  =  AB  +  AC  = a + a = 2a 14   c OA  OB C Giải: Thực tương tự câu c), ta dựng 14   vectơ OA  OB a 6073 14   OB OA 28   = O A A B a 541 21   OA OB 4  + 2.5 = C B Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M r u b) Tính độ dài vectơ Lời giải (Hình 1.15) a) Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có A' B A O D Hình 1.15 C 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur u = 4( MO +OA ) - 3( MO +OB ) + ( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuur = 4OA - 3OB +OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r OD = OB , OC = OA Mà nên u = 3OA - OB r Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A ' tia OA cho OA ' 3OA uuur uuu r r uuur uuu r uuur OA ' = 3OA u = OA ' - OB = BA ' 2 2 Mặt khác BA ' = OB +OA ' = OB + 9OA = a r u =a Suy Bài tập luyện tập Bài 3.26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M , N trung điểm BC , CA Dựng vectơ sau tính độ dài chúng  1 AN  CB a)   c) AB  AC 1  BC  2MN b)  3 0, 25MA  MB c) Bài 3.27: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur u = MA MB + MC MD a) Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u 10 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371