15 bài giảng tự luận phép nhân vecto với 1 số đáp án chi tiết

BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ BÀI PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ A Lí thuyết: Phép nhân vectơ với số thực:  - Là véc tơ kí hiệu k a  - Hướng : hướng với a k > ngược hướng với a k <   k a  k a - Độ dài - Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng       k 0 : AB k AC   ,  :  AB   AC 0     Tính chất :          k  a  b  ka  kb ; (k  l)a ka  la ; k  la  (kl)a     ka 0  k 0 a 0 2.Hệ thức trung điểm - trọng tâm a) Hệ thức trung điểm: -   IA  IB 0 Cho đoạn thẳng AB, I trung điểm đoạn AB Khi :    IA  IB    IM  Với điểm M:  2IM IA  IB  b) Hệ thức trọng tâm:Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác.Điều kiện cần đủ để G    trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC 0 Với điểm O:     OA  OB  OC     OG   OA  OB  OC 3OG  B.Bài tập: Dạng 1: Chứng minh hai vectơ nhau: Phương pháp giải:      a   b a b      a  b Dùng định nghĩa hai vectơ nhau: Sử dụng tính chất hình bình hành Các ví dụ:    Lưu ý: a  AB điểm O Xác định hai Ví dụ 1.: Cho     OM  3a; ON  4a điểm M N cho: Lời giải tham khảo  Vẽ d qua O // với giá a (nếu O  giá   a d giá a )     Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a   OM  3a hướng    a |, ON a  Trên d lấy điểm N cho ON= 4|   ngược hướng nên ON  4a Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm Trang -1-  Lưu ý: BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng  thức  sau: a )AM k AB;     b ) MA k MB; c ) MA k AB Lời giải Lời giải tham khảo A M B    | AM | AM AM k AB  | k |    AB , | AB | a)   AM  AB  k= Tương tự, ta có: b) k=  5 c) k=    a   Chứng minh:vectơ đối 5a Ví dụ Lời giải tham khảo      5a   1 5a    1  a    a     3.1: Tìm vectơ đối véctơ 2a  3b Lời giải tham khảo        2a  3b   1 2a  3b   1 2a    1 3b        a     b  2a  3b    Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải: - Biến đổi vế trái thành vế phải biến đổi vế phải thành vế trái - Biến đổi tương đương - Sử dụng tính chất bắc cầu Sử dụng quy tắc: – Qui tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành,quy tắc phép trừ để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C , D.M , N trung điểm AB; CD Chứng minh:     AC  BD a) MN      MN AC BD AD = + = + BC b) Lời giải tham khảo Trang -2-  BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ A D M B N C a)Ta trình bày theo cách sau: Cách 1:Ta có phân tích:    AC = AM + MN + NC , (1)     BD = BM + MN + ND (2)    AM BM Cộng theo vế (1) (2) với lưu ý + =    NC ND + = (vì M N trung điểm đoạn thẳngAB CD), ta được: AC + BD = MN , đpcm (*) Cách 2: Ta có  phân tích:  MN MA  AC  CN , (3)     MN MB  BD  DN , (4)    MA  MB 0 Cộng theo vế (3) (4) với lưu ý    NC  ND 0 (vì M N trung điểm đoạn thẳng AB  CD), ta được:  MN = AC + BD , đpcm b)  Ta có:       AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC (**) Từ (*) (**) ta đẳng thức cần chứng minh Ví  dụ 2: Cho  hình bình hành ABCD Chứng minh: AB  AC  AD 3AC Lời giải tham khảo    AB  AD  AC Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có    VT= AC  AC 3AC VP (đpcm) Ví dụ 3: Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có:      MO = ( MA + MB + MC + MD ) Giải Ta có:     MA + MB + MC + MD       MO OA MO OB MO OC = + + + + +  + MO + OD      MO OA OC OB OD =4 +( + )+( + )=4 Trang -3- Ví dụ 3.1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh rằng: uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = a) uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD = MO b) với M điểm Lời giải tham khảo a) Theo hệ thức trung điểm ta có uuu r uuu r uur uuur uuur uur OA +OB = 2OI , OC +OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O trung điểm IJ nên OI +OJ = BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ  MO      MC MO  ( MA + MB + + MD ) = , đpcm Suy uuu r uuu r uuur uuur uur uur r OA + OB + OC + OD = OI + OJ = ( ) đpcm b)Theo câu a ta có uuu r uuu r uuur uuur r OA + OB + OC + OD = với điểm M uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur Û OM + MA + OM + MA uuur uuur uuur uuur r + OM + MA + OM + MA = ( 3.2: Chứng minh G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’     3GG'  AA'  BB'  CC' Lời giải tham khảo    VP  AA'  BB'  CC'           AG  GG'  G' A'  BG  GG'  G' B'  CG  GG'  G' C'        3GG'  AG  BG  CG  G' A'  G' B'  G' C'        3GG'  ( GA  GB  GC )  G' A'  G' B'  G' C'  3GG' 3.5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) b) A B H O C D uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH Trang -4- ( ) ( ) ( ) ) 3.3: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng:     BN CP AM + + =  Lời giải tham khảo Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:       VT = (AB  AC) + (BA  BC) + (CA  CB)       = (AB  BA  AC  CA  BC  CB) , đpcm 3.4: Cho hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G Gọi G1, G2, G trọng tâm tam giác BCA1, ABC 1, ACB1 Chứng minh uuuu r uuuu r uuuu r r GG1 +GG2 +GG3 = Lời giải tham khảo Vì G1 trọng tâm tam giác BCA1 nên uuuu r uuu r uuur uuur 3GG1 = GB +GC +GA1 Tương tự G2, G3 trọng tâm tam giác ABC 1, ACB1 suy uuuu r uuu r uuu r uuuu r 3GG2 = GA +GB +GC uuuu r uuu r uuur uuur 3GG3 = GA +GC +GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur GG1 +GG2 +GG3 = GA +GB +GC + GA1 +GB1 + uuur uuur r GH + GO = c) ( ) ( Mặt khác hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G nên uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur r GA +GB +GC = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuuu r uuuu r r GG + GG + GG =0 Suy Lời giải tham khảo uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) Dễ thấy tam giác ABC vuông Nếu tam giác ABC không vuông gọi D điểm đối xứng A qua O BH / /DC (vì vng góc với AC) BD / /CH (vì vng góc với AB) Suy BDCH hình bình hành, theo quy tắc uuur uuur uuur HB + HC = HD (1) hình bình hành Mặt khác O trung điểm AD nên uuu r uuur uuur HA + HD = 2HO (2) uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO Từ (1) (2) suy b) Theo câu a) ta có uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = 2HO uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Û HO + OA + HO + OB + HO + OC uuur = 2HO uuu r uuu r uuur uuur Û OA + OB + OC = OH đpcm c) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = 3OG Mặt khác theo câu b) uuu r uuu r uuur uuur ta có OA + OB + OC = OH Suy uuur uuur uuur uuur uuur r OH = 3OG Û ( OG +GH ) - 3OG = uuur uuur r Û GH + 2GO = ( ) ( ) ( ) Dạng : Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương Ví dụ 1: Cho ABC Gọi M trung điểm AB 1.1: Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA F trung điểm cạnh   BC,   CA,  AB Gọi K trung điểm MN I giao điểm AD EF Đặt u  AE; v  AF Trang -5- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ a 1    Chứng minh AK = AB + AC  KD b Gọi D trung điểm BC Chứng minh 1   = AB + AC  Lời giải tham khảo     AI , AG,DE,DC theo hai Hãy phân   tích vectơ vectơ u,v  Lời giải tham khảo A a Từ giả thiết ta nhận thấy: AB 2AM     AB   AM  AB = AM ; AC 3AN C   Ta có   AC   AN  AC = AN  1  1   1 AI  AD  ( AE  AF )  u  v ) Vì K trung điểm MN nên: 2 2    2  1 1   2   AG  AD  u  v AK = ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB     3  DE FA  AF 0.u  (  )v       AC + , đpcm DC FE  AE  AF u  v    AC AD AB b)Vì D trung điểm BC nên: = ( + ) từ đó, suy ra: 1        AC KD = AD - AK = ( AB + ) - ( AB + AC )  1 = AB + AC , đpcm 1.3: Cho tam giác ABC , cạnh BC lấy M 1.2: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC cho BM = 3CM , đoạn AM lấy N cho cho MB=  Hãy phân tích vectơ AM theo  2MC 2AN = 5MN G trọng tâm tam giác ABC uuuu r uuur uuur hai vectơ u  AB, v  AC AM , BN qua véc tơ AB Lời giải tham khảo a) Phân tích vectơ      AM  AB  BM  AB  BC Ta có    mà BC  AC  AB    2   AM  AB  ( AC  AB )  u  v 3  uuur AC uuur uuuu r uuur GC , MN b) Phân tích vectơ qua véc tơ GA uuu r GB Lời giải tham khảo A N B M C uuur uuur BM = BC a) Theo giả thiết ta có: uuur uuuu r AN = AM Trang -6- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AM = AB + BM = AB + BC uuur uuur uuur u u u r uuur = AB + AC - AB = AB + AC 4 uuur uuu r uuur uuur uuuu r BN = BA + AN = - AB + AM uuur 5ỉ1 uuur uuur 23 uuur 15 uuur ÷ = - AB + ỗ AB + AC = AB + AC ữ ỗ ữ 7ỗ ố4 ứ 28 28 b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur r uuur uuur uuur GA + GB + GC = suy GC = - GA - GB uuuu r r ö uuuu 2ỉ1 uuur uuur ÷ MN = - AM = - ỗ AB + AC ữ ỗ ữ ứ 7è4 Ta có r uuu r r uuu uuur uuu =GB - GA ) GC - GA ) ( ( 14 14 u u u r u u u r r uuu r uuu r uuu =GB - GA ) - GA - GB - GA ) ( ( 14 14 r uuu r uuu = GA + GB ( 1.4: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB = 3AM , CD = 2CN G trọng tâm tam giác uuur uuuu r uuur AN , MN , AG MNB Phân tích vectơ qua uuur uuur véc tơ AB AC A M B G D N C Lời giải tham khảo uuur uuur uuur uuur uuur AN = AC +CN = AC - AB Ta có: uuuu r uuur uuur u u u r u u u r uuur MN = MA + AN = - AB + AC - AB u u u r u u u r = - AB + AC Vì G trọng tâm tam giác MNB nên uuur uuuu r uuur uuur 3AG = AM + AN + AB ö uuur uuur uuur uuur ổuuur uuur ữ = AB + ỗ AC - AB ÷ + AB = AB + AC ç ÷ è ø Trang -7- ) BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuur uuur uuur AG = AB + AC 18 Suy Dạng 4: Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với số Phương pháp giải - Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a 1.1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm M trung điểm BC Dựng điểm BC Dựng vectơ sau tính độ dài chúng  vectơ sau tính độ dài chúng 1 AB  AC   a) CB  MA 5 a) 3 MA  MB  1 b) BA  BC b) Lời giải tham khảo Lời giải tham khảo a) Gọi N trung điểm AB , Q điểm đối xứng A qua A C P đỉnh hình bình hành AQPN L   1  AB  AN , AC  AQ K Khi ta có suy theo quy tắc N     1 AB  AC  AN  AQ  AP C hình bình hành ta có M B H Gọi L hình chiếu A lên QN Q P 1  CB CM a) Do suy theo quy tắc ba điểm ta có 1     CB  MA CM  MA CA 1  CB  MA CA a Vậy 1  BC BM b) Vì nên theo quy tắc trừ ta  1    BA  BC BA  BM MA có Theo định lí Pitago ta có Trang -8-    Vì MN / / AC  ANL MNB CAB 60 Xét tam giác vng ANL ta có AL a a   sin ANL   AL  AN sin ANL  sin 600  AN NL a a   cos ANL   NL  AN cos ANL  cos 600  AN Ta lại có a 9a AQ PN  PL PN  NL  AQ  NL 2a   4 Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có 3a 81a 21a a 21 2 AP  AL  PL     AP  16 16   a 21 AB  AC  AP  Vậy MK  MA b) Gọi K điểm nằm đoạn AM cho , MH  2, MB H thuộc tia MB cho BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ    5 MA MK , MB MH Khi      MA  MB MK  MH HK Do a a MA  AB  BM  a      2  1 a BA  BC MA  2 Vậy 3 a 3 3a MK  AM   4 , Ta có 5 a 5a MH  MB   2 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vng KMH ta có 25a 27 a a 127 KH  MH  MK    16 64  3 a 127 MA  2,5MB KH  Vậy 1.2: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng  vectơ sau tính độ dài chúng:  A O a OA + OB 21   OA OB b + 2.5 B  Lời giải tham khảo Chú ý: Với em học sinh chưa nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thường kết   luận rằng:   AC AC  AB +  =  AB  +   = a + a = 2a C   OA OB a Để dựng vectơ +4 ta thực hiện: +)Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA +)Trên tia OB lấy điểm B1 cho OB1 = 4OB +)Dựng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ đó, ta có:      OA + OB = OA1 + OB1 = OC1    OC  3 OA + OB  =   = OC1 = OA12  C1A12 = 5a b Thực tương tự câu c), ta dựng vectơ 21   OA + 2.5 OB a 541 21    OA + 2.5 OB  = Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u Lời giải tham khảo A' Trang -9- A B O D BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ C Hình 1.15 a) Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur u = 4( MO +OA ) - 3( MO +OB ) + ( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuur = 4OA - 3OB +OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r OD = OB , OC = OA u = OA OB Mà nên r Suy u không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A ' tia OA cho OA ' 3OA uuur uuu r r uuur uuu r uuur OA ' = 3OA u = OA ' - OB = BA ' 2 2 Mặt khác BA ' = OB +OA ' = OB + 9OA = a r u =a Suy Bài tập luyện tập Bài 1: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh u = MA - 2MB + 3MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M r u b) Tính độ dài vectơ r uuur r uuu r uuu r r uuur uuur uuu NA + NC = PA + PB =0 MB = MC Bài 2: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho , , uuur uuur uuuu r   AC a) Biểu diễn vectơ AP ,  AN , AM theo vectơ AB    b) Biểu diễn vectơ MP , MN theo vectơ AB AC Có nhận xét ba điểm M, N, P thẳng hàng? uur uur uur uur r IA = IB , J A + J C =0 Bài 3: Cho I, J hai điểm xác định  tam giác ABC.Gọi  a)Tính IJ theo AB AC b)Đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5J B = 2J C uur uuu r uuur uuur AI , AJ AB AC a) Hãy phân tích theo uur uuur uuur b) Hãy phân tích AG theo AI AJ r r a Bài 5: Cho hai vectơ , b khơng phương Tìm x cho r r r r r r u = a + x b ( ) a) v = xa + b phương r r 2r r r r u = ( 1- x ) a - b hướng b) u = 3a + xb DẠNG 5: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ Phương pháp giải Trang -10- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết r r r r r a, b trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác kết " ma + nb = Û m = n = với hai vectơ khơng phương " Các ví dụ Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết uuur uuur uuur uuur PM = BM ; AP = AN 5 Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải tham khảo uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AB = AM + MB = AM + MP Ta có: uuur uuuu r uuur uuur = 5AP - 4AM = 2AN - 2AD uuur uuur uuur = 2(AD + DN ) - 2AD uuur uuur = 2DN = DC Þ ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G uuu r uuu r uuur r 2 thoả mãn: a GA + b GB + c GC = Chứng minh ABC tam giác Lời giải tham khảo G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur r uuu r uuu r uuur GA + GB + GC = Û GA = - GB - GC uuu r uuu r uuur r 2 Suy a GA + b GB + c GC = uuu r uuur uuu r uuur r Û a2 - GB - GC + b2GB + cGC = uuu r uuur r Û ( b2 - a2 ) GB + ( c2 - a2 ) GC = 0.( * ) uuur uuur Vì GB GC hai vecơ khơng phương, (*) tương đương với: ìï b2 - a2 = ïí Û a =b=c ïï c2 - a2 = ỵ hay tam giác ABC ( ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm uuur uuuu r uuuu r r thay đổi CA, AB thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Lời giải tham khảo uuuu r uuur uuuu r uuur AB ' = mAC , AC ' = nAB Giả sử uuur uuuur uuur uuur uuur BB ' = AB ' AB = mAC - AB Suy uuur uuuu r uuur uuur uuur CC ' = AC ' - AC = nAB - AC uuur uuur uuur AA ' = AB + AC Mặt khác A' trung điểm BC nên ( Trang -11- ) BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = Do uuur uuur uuur uuur r uuur uuur Û AB + AC + mAC - AB + nAB - AC = uuur r ỉ 1÷ ửuuur ổ 1ử ữ ỗ ỗ n- ữ AB + m AC ữ ỗ ỗ ữ ữ =0 ố ứ è ø 2 hay ( ) uuur uuur m=n = B', C' Vì AB , AC không phương suy trung điểm CA, AB Vậy BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Bài tập luyện tập uuur uuuu r uuuu r r Bài 6: Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC uuur uuur uu r AD + BC = IJ Bài 7: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn Chứng minh J trung điểm CD Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác ABC A', B', C' uuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r OA = OA ', OB = OB ', OC = OC ' Chứng minh G trực tâm tam giác A ' B 'C ' điểm thỏa mãn: §3 HƯỚNG DẪN GIẢ BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Bài 1: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r u = ( MO +OA ) - 2( MO +OB ) + 3( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuur = OA - 2OB + 3OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r OD = OB , OC = OA Mà nên u = - 2OA r Suy u không phụ thuộc vào vị trí điểm M    u   2OA 2OA a b) uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur AP = AB , AN = AC , AM = AC - AB 2 2 Bài 2: a) uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MP = AB - AC , MN = AB - AC 2 b) uuur uuuu r MP = 2MN Þ M, N, P thẳng hàng uu r uuur uuur IJ = - 2AB + AC Bài 3: a) uur u u u r u u u r uu r uur IG = - AB + AC Þ 5IJ = 6IG 3 b) suy IJ qua trọng tâm G tam giác ABC uur uur uur uuur uuur 2IC = - 3IB Û AI = AB + AC 5 Bài 4: a) Ta có: uur uur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur 5J B = 2J C Û 5(AB - AJ ) = 2(AC - AJ ) Û AJ = AB - AC 3 b) Gọi M trung điểm BC, ta có: Trang -12- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuur r uuuu uuur uuur uuur uuur AG = AM = (AB + AC ) = (AB + AC ) 32 uuur u u r u u u r 35 Þ AG = AI AJ 48 16 r r r r r r r r u = kv Û a + ( 2x - 1) b = k ( xa + b) Bài 5: a) u phương với v Û có số thực k cho éx =1 ỡù kx = ị ùùợ k = 2x - êx = - ë r r r r r 2r ỉ r u = kv ị 3a + xb = k ỗ x a - bữ ( ) r ữ ỗ è ø ÷ v Û u b) phương với có số thực k dương cho ìï = k( 1- x ) é ï ê k= Þ ïí Þ Þ x =- ê ïï x = - 2k êk = - 3(l ) ë îï uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = Bài 6: Ta có uuu r uuur uur uuu r uuur BA + BC CA + CB r Û AA ' + + = uuur uuur r Û BA ' +CA ' = 2 Û AA' trung tuyến tam giác ABC uuur uuur uu r uur uur uu r AD + BC = IJ Û ID + IC = IJ Bài 7: uur uur uur ID + IC = I K K º J hay J trung điểm CD Gọi K trung điểm DC suy uuur uuu r uuu r uuur OG = OA + OB +OC ABC Bài 8: G trọng tâm tam giác nên uuur uuur uuur uuuu r Do OG = OA ' +OB ' +OC ' Suy G trực tâm tam giác A ' B 'C ' Trang -13-