15 bài giảng tự luận phép nhân vecto với 1số in cho hs

BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ BÀI PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ A Lí thuyết: Phép nhân vectơ với số thực:  - Là véc tơ kí hiệu k a  - Hướng : hướng với a k > ngược hướng với a k <   k a  k a - Độ dài - Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng       k 0 : AB k AC   ,  :  AB   AC 0     Tính chất :          k  a  b  ka  kb ; (k  l)a ka  la ; k  la  (kl)a     ka 0  k 0 a 0 2.Hệ thức trung điểm - trọng tâm a) Hệ thức trung điểm: -   IA  IB 0 Cho đoạn thẳng AB, I trung điểm đoạn AB Khi :    IA  IB    IM  Với điểm M:  2IM IA  IB  b) Hệ thức trọng tâm:Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác.Điều kiện cần đủ để G    trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC 0 Với điểm O:     OA  OB  OC     OG   OA  OB  OC 3OG  B.Bài tập: Dạng 1: Chứng minh hai vectơ nhau: Phương pháp giải:      a   b a b      a  b Dùng định nghĩa hai vectơ nhau: Sử dụng tính chất hình bình hành Các ví dụ:    Lưu ý: a  AB điểm O Xác định hai Ví dụ 1.: Cho     OM  3a; ON  4a điểm M N cho: Lời giải tham khảo  Vẽ d qua O // với giá a (nếu O  giá   a d giá a )     Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a   OM  3a hướng    a |, ON a  Trên d lấy điểm N cho ON= 4|   ngược hướng nên ON  4a Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm Trang -1-  Lưu ý: BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng  thức  sau: a )AM k AB;     b ) MA k MB; c ) MA k AB Lời giải Lời giải tham khảo A M B    | AM | AM AM k AB  | k |    AB , | AB | a)   AM  AB  k= Tương tự, ta có: b) k=  5 c) k=    a   Chứng minh:vectơ đối 5a Ví dụ Lời giải tham khảo   3.1: Tìm vectơ đối véctơ 2a  3b      5a   1 5a    1  a    a   Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải: - Biến đổi vế trái thành vế phải biến đổi vế phải thành vế trái - Biến đổi tương đương - Sử dụng tính chất bắc cầu Sử dụng quy tắc: – Qui tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành,quy tắc phép trừ để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C , D.M , N trung điểm AB; CD Chứng minh:     AC  BD a) MN      MN AC BD AD = + = + BC b) Lời giải tham khảo Trang -2- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ A D M B N C a)Ta trình bày theo cách sau: Cách 1:Ta có phân tích:    AC = AM + MN + NC , (1)     BD = BM + MN + ND (2)    AM BM Cộng theo vế (1) (2) với lưu ý + =    NC ND + = (vì M N trung điểm đoạn thẳngAB CD), ta được: AC + BD = MN , đpcm (*) Cách 2: Ta có  phân tích:  MN MA  AC  CN , (3)     MN MB  BD  DN , (4)    MA  MB 0 Cộng theo vế (3) (4) với lưu ý    NC  ND 0 (vì M N trung điểm đoạn thẳng AB  CD), ta được:  MN = AC + BD , đpcm b)  Ta có:       AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC (**) Từ (*) (**) ta đẳng thức cần chứng minh Ví  dụ 2: Cho  hình bình hành ABCD Chứng minh: AB  AC  AD 3AC Lời giải tham khảo    AB  AD  AC Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có    VT= AC  AC 3AC VP (đpcm) Ví dụ 3: Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có:      MO = ( MA + MB + MC + MD ) Giải Ta có:     MA + MB + MC + MD       MO OA MO OB MO OC = + + + + +  + MO + OD      MO OA OC OB OD =4 +( + )+( + )=4 Trang -3- Ví dụ 3.1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh rằng: uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = a) uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD = MO b) với M điểm BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ  MO      MC MO  ( MA + MB + + MD ) = , đpcm 3.2: Chứng minh G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’     3GG'  AA'  BB'  CC' Lời giải tham khảo 3.3: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng:     AM + BN + CP = 3.5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH b) uuur uuur r GH + GO = c) 3.4: Cho hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G Gọi G1, G2, G trọng tâm A B H O C D Trang -4- tam giác BCA1, ABC 1, ACB1 Chứng minh uuuu r uuuu r uuuu r r GG1 +GG2 +GG3 = BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Dạng : Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương Ví dụ 1: Cho ABC Gọi M trung điểm AB 1.1: Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA F trung điểm cạnh   BC,   CA,  AB Gọi K trung điểm MN u  AE; v  AF I giao điểm AD và EF Đặt    1    AI , AG,DE,DC theo hai Hãy phân a Chứng minh AK = AB + AC    tích vectơ b Gọi D trung điểm BC Chứng minh KD vectơ u,v 1   = AB + AC  Lời giải tham khảo a Từ giả thiết ta nhận thấy: AB 2AM     AB   AM  AB = AM ; AC 3AN     AC   AN  AC = AN Vì K trung điểm MN nên:  1 1      AK = ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB  + AC , đpcm    b)Vì D trung điểm BC nên: AD = ( AB + AC ) từ đó, suy ra: 1        KD = AD - AK = ( AB + AC ) - ( AB + AC )  1 = AB + AC , đpcm 1.3: Cho tam giác ABC , cạnh BC lấy M 1.2: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC cho BM = 3CM , đoạn AM lấy N cho cho MB=  Hãy phân tích vectơ AM theo  2MC 2AN = 5MN G trọng tâm tam giác ABC hai vectơ u  AB, v  AC Trang -5- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuuu r uuur uuur AM , BN qua véc tơ AB a) Phân tích vectơ uuur AC uuur uuuu r uuur GC , MN GA b) Phân tích vectơ qua véc tơ uuu r GB 1.4: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB = 3AM , CD = 2CN G trọng tâm tam giác uuur uuuu r uuur AN , MN , AG MNB Phân tích vectơ qua uuur uuur véc tơ AB AC Trang -6- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Dạng 4: Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với số Phương pháp giải - Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung 1.1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Dựng vectơ sau điểm BC Dựng vectơ sau tính độ dài chúng   tính độ dài chúng CB  MA  1 a) AB  AC  1 a) BA  BC 5 3 b) MA  MB Lời giải tham khảo b) A L K C M N B H Q P Trang -7- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ 1  CB CM a) Do suy theo quy tắc ba điểm ta có      CB  MA CM  MA CA 1  CB  MA CA a Vậy 1  BC BM b) Vì nên theo quy tắc trừ ta có  1    BA  BC BA  BM MA Theo định lí Pitago ta có a a MA  AB  BM  a      2  1 a BA  BC MA  2 Vậy 2 1.2: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng  vectơ sau tính độ dài chúng:  a OA + OB 21   b OA + 2.5 OB Chú ý: Với em học sinh chưa nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thường kết   luận rằng:    AB + AC  =  AB  +  AC  = a + a = 2a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur u = MA MB + MC MD a) Chứng minh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Trang -8- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ r b) Tính độ dài vectơ u Lời giải tham khảo a) Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur u = 4( MO +OA ) - 3( MO +OB ) + ( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuur = 4OA - 3OB +OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r OD = OB , OC = OA Mà nên u = 3OA - OB r u Suy khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A ' tia OA cho OA ' 3OA uuur uuu r r uuur uuu r uuur OA ' = 3OA u = OA ' - OB = BA ' 2 2 Mặt khác BA ' = OB +OA ' = OB + 9OA = a r u =a Suy Bài tập luyện tập Bài 1: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur u = MA MB + MC MD a) Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u r uuur r uuu r uuu r r uuur uuur uuu Bài 2: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho MB = 3MC , NA + 3NC = 0, PA + PB = uuur uuur uuuu r   AP , AN , AM AC AB a) Biểu diễn vectơ theo vectơ     b) Biểu diễn vectơ MP , MN theo vectơ AB AC Có nhận xét ba điểm M, N, P thẳng hàng? uur uur uur uur r I A = I B , J A + J C =0 Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi I, J hai điểm xác định    a)Tính IJ theo AB AC b)Đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5J B = 2J C uur uuu r uuur uuur AI , AJ a) Hãy phân tích theo AB AC uur uuur uuur AI AJ AG b) Hãy phân tích theo r r Bài 5: Cho hai vectơ a, b khơng phương Tìm x cho r r r r r r u = a + x b ( ) a) v = xa + b phương r r 2r r r r u = ( 1- x ) a - b hướng b) u = 3a + xb Trang -9- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ DẠNG 5: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ Phương pháp giải Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết r r r r r a, b trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác kết " ma + nb = Û m = n = với hai vectơ không phương " Các ví dụ Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết uuur uuur uuur uuur PM = BM ; AP = AN 5 Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải tham khảo uuur uuuu r uuur uuuu r uuur Ta có: AB = AM + MB = AM + 5MP uuur uuuu r uuur uuur = 5AP - 4AM = 2AN - 2AD uuur uuur uuur = 2(AD + DN ) - 2AD uuur uuur = 2DN = DC Þ ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G uuu r uuu r uuur r 2 thoả mãn: a GA + b GB + c GC = Chứng minh ABC tam giác Lời giải tham khảo G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur r uuu r uuu r uuur GA + GB + GC = Û GA = - GB - GC uuu r uuu r uuur r 2 Suy a GA + b GB + c GC = uuu r uuur uuu r uuur r Û a2 - GB - GC + b2GB + cGC = uuu r uuur r Û ( b2 - a2 ) GB + ( c2 - a2 ) GC = 0.( * ) uuur uuur GB GC Vì hai vecơ khơng phương, (*) tương đương với: ìï b2 - a2 = ïí Û a =b=c ïï c2 - a2 = ỵ hay tam giác ABC ( ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = thay đổi CA, AB thoả mãn Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Lời giải tham khảo uuuu r uuur uuuu r uuur AB ' = mAC , AC ' = nAB Giả sử uuur uuuur uuur uuur uuur Suy BB ' = AB ' - AB = mAC - AB uuur uuuu r uuur uuur uuur CC ' = AC ' - AC = nAB - AC Trang -10- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uuur uuur uuur AA ' = ( AB + AC ) Mặt khác A' trung điểm BC nên uuur uuuu r uuuu r r Do AA ' + BB ' + CC ' = uuur uuur uuur uuur r uuur uuur Û AB + AC + mAC - AB + nAB - AC = uuur ỉ 1ưuuur r ỉ 1ư çn - ÷ çm - ÷ AB ÷ ÷ ÷ +ố ữAC = ỗ ỗ ố ứ 2ứ hay ( ) uuur uuur m=n = B', C' Vì AB , AC khơng phương suy trung điểm CA, AB Vậy BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Bài tập luyện tập uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = ABC Bài 6: Cho có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn ABC Chứng minh AA' trung tuyến tam giác uuur uuur uu r AD + BC = IJ Bài 7: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn Chứng minh J trung điểm CD Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác ABC A', B', C' uuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r OA = OA ', OB = OB ', OC = OC ' Chứng minh G trực tâm tam giác A ' B 'C ' điểm thỏa mãn: §3 HƯỚNG DẪN GIẢ BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Bài 1: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r u = ( MO +OA ) - 2( MO +OB ) + 3( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuur = OA - 2OB + 3OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r OD = OB , OC = OA Mà nên u = - 2OA r Suy u không phụ thuộc vào vị trí điểm M    u   2OA 2OA a b) uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur AP = AB , AN = AC , AM = AC - AB 2 2 Bài 2: a) uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MP = AB - AC , MN = AB - AC 2 b) uuur uuuu r MP = 2MN Þ M, N, P thẳng hàng uu r uuur uuur I J = - 2AB + AC Bài 3: a) uur u u u r u u u r uur uur IG = - AB + AC Þ 5I J = 6IG 3 b) suy IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Trang -11- BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ uur uur uur uuur uuur 2IC = - 3IB Û AI = AB + AC 5 Bài 4: a) Ta có: uur uur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur 5J B = 2J C Û 5(AB - AJ ) = 2(AC - AJ ) Û AJ = AB - AC 3 b) Gọi M trung điểm BC, ta có: uuur r uuuu uuur uuur uuur uuur AG = AM = (AB + AC ) = (AB + AC ) 32 uuur u u r u u u r 35 Þ AG = AI AJ 48 16 r r r r r r r r u = kv Û a + ( 2x - 1) b = k ( xa + b) Bài 5: a) u phương với v Û có số thực k cho éx =1 ìï kx = ị ùùợ k = 2x - êx = - ë r r r r r 2r ỉ r u = kv ị 3a + xb = k ỗ ( 1- x ) a - bữ r ữ ỗ ữ ố ø b) u phương với v Û có số thực k dương cho ìï = k( 1- x ) é ïï ê k= Þ í Þ ê Þ x =- ïï x = - 2k êk = - 3(l ) ë ỵï uuur uuuu r uuuu r r Bài 6: Ta có AA ' + BB ' + CC ' = uuu r uuur uur uuu r uuur BA + BC CA + CB r Û AA ' + + = uuur uuur r Û BA ' +CA ' = 2 Û AA' trung tuyến tam giác ABC uuur uuur uu r uur uur uu r Bài 7: AD + BC = 2IJ Û ID + IC = 2IJ uur uur uur Gọi K trung điểm DC suy ID + I C = 2I K K º J hay J trung điểm CD uuur uuu r uuu r uuur OG = OA + OB +OC ABC Bài 8: G trọng tâm tam giác nên uuur uuur uuur uuuu r Do OG = OA ' +OB ' +OC ' Suy G trực tâm tam giác A ' B 'C ' Trang -12-