15 bài giảng tự luận phép nhân vecto với 1 số in cho hs lan 1

BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ BÀI PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ  Dạng [0H1-3-0] Xác định vectơ k a 1.Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Các ví dụ:   Lưu ý Ví dụ 1.: Cho a  AB điểm O Xác định hai điểm M     N cho: OM 3a; ON  4a Lời giải Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng thức sau:  a )AM k AB;   b )MA k MB; Lời giải:   c )MA k AB Lời giải    a   Ví dụ a) Chứng minh:vectơ đối 5a Lời giải:   2.1 b) Tìm vectơ đối véctơ 2a  3b , Lời giải 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Dạng [0H1-3-1] Đẳng thức véctơ khơng dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép tốn vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Các ví dụ: Ví dụ 1:Cho điểm A,B,C,D M N trung điểm AB CD    Chứng minh MN = AC + BD  Lời giải Chứng minh:   Lời giải: A M D Ví  dụ 2:  Cho  hình bình hành ABCD Chứng minh: AB  AC  AD 3AC Lời giải:    MN = AC + BD = AD + BC N B C Ví dụ 3: Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có:      MO = ( MA + MB + MC + MD ) Lời giải: 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Dạng [0H1-3-2] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trung điểm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r Û MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB uuu r uuu r uuur Û OA + OB = OM M trung điểm đoạn thẳng AB (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ: uuur uuur uuur uuur uuur Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung MA + MB + MC + MD = MO b) với M điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng điểm minh rằng: uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = a) Lời giải (Hình 1.16) A D Ví dụ 2: Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm   BC, CA, AB Chứng minh rằng: AM + BN + CP = Lời giải Ví dụ 3: Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN 1    a Chứng minh AK = AB + AC b Gọi D trung điểm BC Chứng 1   minh KD = AB + AC Giải:  Giải 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Dạng [0H1-3-3] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trọng tâm Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r Û MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB uuu r uuu r uuur M trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý) Tính chất trọng tâm: uuu r uuu r uuur ur Û G trọng tâm tam giác ABC GA +GB +GC =O uuu r uuu r uuur uuur Û OA OB G trọng tâm tam giác ABC + +OC =OG (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh   G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ 3GG'  AA'  BB'  CC' Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G Gọi G1, G2, G trọng tâm tam giác BCA1, ABC 1, ACB1 uuuu r uuuu r uuuu r r GG + GG + GG =0 Chứng minh Lời giải 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh uuu r uuur uuur uuur a) HA + HB + HC = 2HO Lời giải (Hình 1.17) uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH b) uuur uuur r c) GH + 2GO = A B H O C D Hình 1.17 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Dạng [0H1-3-4] Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với số  Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Dựng vectơ sau tính độ dài chúng 1  CB  MA a)  1 BA  BC b) Lời giải (Hình 1.14) 1  AB  AC c)  3 MA  2,5MB d) A L K C N M B H Q P Hình 1.14 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ a OA + OB Chú ý: Với em học sinh chưa nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thường kết luận rằng:      AB + AC  =  AB  +  AC  = a + a = 2a 21   OA OB b + 2.5 , Giải 14   c OA  OB Giải Ví dụ 2: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng vectơ sau tính độ dài chúng:    O A B C O A A B B C Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M Lời giải (Hình 1.15) r u b) Tính độ dài vectơ A' B A O D Hình 1.15 C 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Bài tập luyện tập Bài 1.3.26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M , N trung điểm BC , CA Dựng vectơ sau tính độ dài chúng  1 AN  CB a)  1 BC  MN b)  3 0, 25MA  MB c)   AB  AC c) Bài 1.3.27: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh u = MA - 2MB + 3MC - 2MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u Dạng [0H1-3-5] Phân tích véctơ theo hai véctơ không phương Phương pháp giải Sử dụng tính chất phép tốn vectơ, ba quy tắc phép tốn vectơ tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F trung điểm      cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt u  AE; v  AF Hãy phân tích vectơ      AI , AG,DE,DC theo hai vectơ u,v Hướng dẫn giải: A C 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho  MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM      u theo hai vectơ  AB, v  AC Lời giải: BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ r uuur r uuur a = AB , b = AC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Đặt uuuu r u u u r uuur uuur AM = AB, CN = 2BC a) Hãy dựng điểm M, N thỏa mãn: uuur uuur uuuu r r r b) Hãy phân tích CM , AN , MN qua véc tơ a b Lời giải (hình 1.23) A M B C N Hình 1.23 c) Gọi I điểm thỏa: uuu r uuur MI = CM Chứng minh I , A, N thẳng hàng Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , cạnh BC lấy M cho BM = 3CM , đoạn AM lấy N cho 2AN = 5MN G trọng tâm tam giác ABC uuuu r uuur uuur AM , BN AB a) Phân tích vectơ qua véc tơ uuur AC Lời giải (hình 1.24) uuur uuuu r GC , MN b) Phân tích vectơ qua véc uuu r uuu r tơ GA GB Giải: A N B M C Hình 1.24 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB = 3AM , CD = 2CN G trọng uuur uuuu r uuur AN , MN , AG tâm tam giác MNB Phân tích vectơ qua véc tơ uuur uuur AB AC Lời giải (hình 1.25) A M G D N Hình 1.25 10 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 B C BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Bài tập luyện tập r uuur r uuu r uuur r uuur uuur uuu Bài 1.3.46: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho MB = 3MC , NA + 3NC = , PA + PB = uuur uuur uuuu r   AP , AN , AM AC AB a) Biểu diễn vectơ theo vectơ     b) Biểu diễn vectơ MP , MN theo vectơ AB AC Có nhận xét ba điểm M, N, P thẳng hàng? uur uur uur uur r IA = IB , J A + J C =0 Bài 1.3.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J hai điểm xác định    a)Tính IJ theo AB AC b)Đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 1.3.48 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5J B = 2J C uur uuu r uuur uuur AI , AJ a) Hãy phân tích theo AB AC uur uuu r uuur b) Hãy phân tích AG theo AI AJ r r a Bài 1.3.49: Cho hai vectơ , b khơng phương Tìm x cho r r r r r r u = a + x b ( ) v = xa + b phương a) r r 2r r r r u = ( 1- x ) a - b hướng b) u = 3a + xb Dạng [0H1-3-6] Tìm tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước Phương pháp giải Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy dạng sau uuur uuur MA = MB - Nếu với A, B phân biệt cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB uuur uuur MC = k AB - Nếu với A, B, C phân biệt cho trước M thuộc đường trịn tâm C, bán kính uuur k AB uuur uuur MA = kBC - Nếu với A, B, C phân biệt k số thực thay đổi + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k Ỵ R uuur BC + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng với k > uuur + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC với k < uuur uuur MA = kBC , B ¹ C - Nếu với A, B, C thẳng hàng k thay đổi tập hợp điểm M đường thẳng BC 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An 11 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC a) Chứng minh tồn điểm I thỏa mãn : uur uur uur r 2IA + 3IB + 4I C = Lời giải Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện sau : uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA + MC a) Lời giải (hình 1.28) b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : uuur uuur uuur uuur uuur 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB = k ( MA + 2MB - 3MC ) b) số thực thay đổi với k Giải H C F A E B Hình 1.28 Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý, lấy điểm M N uuuu r uuur uuur uuur AM = kAB , DN = kDC cho Tìm tập hợp trung điểm I A B M đoạn thẳng MN k thay đổi O I Lời giải (hình 1.29) D N Hình 1.29 12 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 O' C BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Bài tập luyện tập Bài 1.3.59 Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA - MB b) 2MA + MB = MA + 2MB Bài 1.3.60 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur MA + kMB = kMC a) với k số thực thay đổi r uuur uuur uuur uuur v = MA + MB + 2MC b) phương với véc tơ BC uuur uuur uuur uuur MA + BC = MA - MB (HD: dựng hình bình hành ABCD) c) Bài 1.3.61 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) 2MA + 3MB = 3MB - 2MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 4MA + MB + MC = 2MA - MB - MC Bài 1.3.62: Cho tứ giác ABCD uuu r uuur uuu r a)Xác định điểm O cho : OB + 4OC = 2OD uuur uuur uuur uuur MB + 4MC - 2MD = 3MA b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức Bài 1.3.63: Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho : uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD + ME + MF nhận giá trị nhỏ Bài 1.3.64: Trên hai tia Ox Oy góc xOy lấy hai điểm M, N cho OM +ON = a với a số thực cho trước tìm tập hợp trung điểm I đoạn thằng MN Dạng 8: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ Phương pháp giải Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác kết " r r r r r a ma + nb = Û m = n = với , b hai vectơ khơng phương " Các ví dụ Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết uuur uuur uuur uuur PM = BM ; AP = AN 5 Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An 13 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mãn: uuu r uuu r uuur r a2GA + b2GB + c2GC = Chứng minh ABC tam giác Lời giải Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm thay đổi CA, AB thoả uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = mãn Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Lời giải Bài tập luyện tập uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = ABCD Bài 1.3.65: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt O thoả mãn Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Bài 1.3.66: Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC Bài 1.3.67: Cho ABC có A', B', C' điểm thay đổi BC, CA, AB cho AA ', BB ', CC ' đồng quy uuur uuuu r uuuu r r AA ' + BB ' + CC ' = thoả mãn Chứng minh AA ', BB ', CC ' trung tuyến tam giác ABC uuur uuur uur Bài 1.3.68: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn AD + BC = 2IJ Chứng minh J trung điểm CD 14 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Bài 1.3.69: Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho OA = OB = OC = OD uuu r uuu r uuur uuu r r OA + OB + OC + OD = Chứng minh ABCD hình chữ nhật Bài 1.3.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác ABC A', B', C' uuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r OA = OA ', OB = OB ', OC = OC ' Chứng minh G trực tâm tam giác điểm thỏa mãn: A ' B 'C ' Bài 1.3.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H trực tâm tam giác A', B', C' điểm uuur uuu r uuur uuu r uuuu r uuur OA ' = OA , OB ' = OB , OC ' = OC thỏa mãn: Chứng minh H trọng tâm tam giác A ' B 'C ' Bài 1.3.72: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng AM cắt BC D, BM cắt CA uuur uuur uuur r AD + BE +CF = M trọng tâm tam giác ABC E CM cắt AB F Chứng minh Dạng [0H1-3-8] Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải  Sử dụng bất đẳng thức bản: r r a Với vectơ , b ta ln có + + r r r r a +b £ a + b r r a , dấu xảy , b hướng r r r r a- b ³ a - b r r a , dấu xảy , b ngược hướng uuu r MI  Đưa tốn ban đầu tốn tìm cực trị với M thay đổi uuu r MI + Nếu M điểm thay đổi đường thẳng D đạt giá trị nhỏ M hình chiếu M lên D uuu r MI + Nếu M điểm thay đổi đường trịn (O) đạt giá trị nhỏ M giao điểm uuu r MI tia OI với đường tròn; đạt giá trị lớn M giao điểm tia IO với đường trịn Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ uuur uuur uuur T = MA + MB - MC Lời giải: 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An 15 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC A ' B 'C ' tam giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA '+ BB '+ CC ' Giải: Bài tập luyên tập Bài 1.3.73: Cho tam giác ABC , đường thẳng d ba số a, b, g cho a + b + g ¹ Tìm điểm M uuur uuur uuur T = a MA + bMB + gMC thuộc đường thẳng d để biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài 1.3.74: Cho tam giác ABC Tìm điểm M đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cho uuur uuur uuur MA + MB + MC a) Đạt giá trị lớn b) Đạt giá trị nhỏ Bài 1.3.75: Cho tứ giác ABCD A ' B 'C ' D ' tứ giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA '+ BB '+ CC '+ DD ' Bài 1.3.76: Cho tam giác ABC M, N, P điểm cạnh BC, CA, AB cho uuur uuur uuur uur uuur uuur BM = kBC , CN = kCA, AP = kAB Chứng minh đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác đó.Do đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Bài 1.3.77 : Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh AB không trùng với đỉnh ta có: MC AB < MA.BC + MB AC Bài 1.3.78: Cho tứ giác ABCD , M điểm thuộc đoạn CD Gọi p, p1, p2 chu vi tam giác AMB , ACB , ADB Chứng minh p < max { p1; p2 } P , i = 1, 2, , 2n + 1( n Ỵ N ) Bài 1.3.79: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n + điểm i 2n+1 uuur å OP i phía với đường kính Chứng minh ³ i =1 Dạng 10 [0H1-3-9] Bài tốn thực tế, liên mơn Phương pháp giải - Sử dụng tính chất hình học phẳng - Sử dụng tỉ lệ , tỉ số để đưa hệ thức tích vecto với số 16 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Các ví dụ Ví dụ 1: Có hai cọc cao đặt hai vị trí 24m A, B 10m 30m Biết khoảng cách hai cọc Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Khi uuuur uuur AM = k.BM TÌm k để dây nối ngắn nhất? Giải: Ví dụ 2: Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Tìm vị trí M để đoạn đường ngắn mà người Giải: §3 HƯỚNG DẪN GIẢ BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An 17 Mục lục:c lục lục:c:  k a Dạng toán [0H1-3-0] Xác định vectơ .1 1.Phương pháp: .1 Các ví dụ: Dạng tốn [0H1-3-1] Đẳng thức véctơ khơng dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Phương pháp giải .2 Các ví dụ: Dạng toán [0H1-3-2] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trung điểm Phương pháp giải .3 Các ví dụ: Dạng [0H1-3-3] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trọng tâm Phương pháp giải .4 Các ví dụ Dạng [0H1-3-4] Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với số Phương pháp giải .5 Các ví dụ Bài tập luyện tập Dạng [0H1-3-5] Phân tích véctơ theo hai véctơ khơng phương Phương pháp giải .8 Các ví dụ Bài tập luyện tập 10 Dạng [0H1-3-6] Tìm tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước 11 Phương pháp giải .11 Các ví dụ 11 Bài tập luyện tập 12 DẠNG 8: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ .13 Phương pháp giải .13 Các ví dụ 13 Bài tập luyện tập 14 Dạng [0H1-3-8] Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ 14 Phương pháp giải .14 Các ví dụ 15 Bài tập luyên tập 15 18 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371 BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI SỐ Dạng 10 [0H1-3-9] Bài toán thực tế, liên môn .16 Phương pháp giải .16 Các ví dụ 16 §3 HƯỚNG DẪN GIẢ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 17 0988323371 | Biên soạn sưu tầm: Tô Quốc An 19