2 8 7 1a bài giảng tự luận khái niệm vecto đáp án chi tiết

Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Bài KHÁI NIỆM VECTƠ A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa vectơ: r a Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút r x B đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm A điểm cuối Hình 1.1 uuu r B AB Vectơ có điểm đầu , điểm cuối r r r r a Vectơ kí hiệu là: , b, x , y , r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu A ta kí hiệu : Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương Nhận xét: r - Vectơ phương với vectơ r - Nếu hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác vectơ chúng phương với     AB phương CD kí hiệu: AB // CD - Hướng vectơ: hướng từ điểm đầu đến điểm cuối vectơ - Hai vectơ phương hướng ngược hướng r Quy ước: Vectơ hướng với vectơ r Nhận xét: Nếu hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ chúng hướng với     CD CD AB hướng kí hiệu: AB      AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD A F B C D Hình 1.2 H E G uuu r uuur uuu r uur CD HG Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB hướng cịn EF ngược hướng Hai vectơ uuu r uuu r AB - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu 1| Bài giảng tự luận uuu r AB = AB Vậy Khái niệm vectơ - Hai vectơ chúng hướng độ dài     Nếu a b ta viết a = b     AA BB = , | |= Nhận xét: Nếu hai vectơ vectơ chúng uuu r uuu r ABCD AB = CD Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành A C B Hình 1.3 D B- CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng toán Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ: Phương pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào tính chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ    Chú ý: Với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Lưu ý: Với hai điểm A, B phân biệt, ta xác định hai vectơ khác    là: AB BA    AA 0 Với điểm A Bài 1: Cho điểm A, B, C , D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Lời giải tham khảo  A, B ,  A, C ,  A, D , Có 10 cặp điểm khác  A, E ,  B, C ,  B, D ,  B, E ,  C , D ,  C , E ,   D, E Do có 20 vectơ khác cần tìm  Bài 1.1: Cho ABC Có thể xác định vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? Lời giải  A, B ,  A, C ,  B, C Do Có cặp điểm khác  có vectơ khác Bài 1.2: Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo  Có vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C , D, O ? Lời giải  A, B , Có 10 cặp điểm khác  A, C ,  A, D ,  B, C ,  B, D , Bài 1.3: Có thể kể tên vectơ- khơng có điểm đầu điểm cuối điểm có tên hình vẽ ? 2|  C , D ,  O, A ,  O, B ,  O, C ,  O, D Do ó 20 vectơ khác  Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Lời giải      CC Vectơ AA , BB , , DD , EE , FF Vậy có vectơ-khơng  Bài 2: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuu r a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? uuur uuu r AB b) Khi hai vectơ AC ngược hướng ? Lời giải uuur uuu r a) Hai vectơ AB AC hướng A nằm đoạn BC uuur uuu r AB b) Hai vectơ AC ngược hướng A nằm đoạn BC Bài 2.1:Chứng minh ba điểm uuu r uuur AB , AC phương A , B, C phân biệt thẳng hàng Lời giải tham khảo uuu r uuur A , B , C AB , AC đường Nếu thẳng hàng suy giá uuu r uuur A , B, C nên AB, AC phương thẳng qua ba điểm uuu r uuur AB , AC phương đường thẳng AB Ngược lại AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A , B , C thẳng hàng Lưu ý: -Hai vectơ phương chúng có giá song song trùng -Hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng Bài 2.2:Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB a) Có vectơ khác vectơ - uuuu r khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Có vectơ khác vectơ - uuu r AB không hướng với có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho Lời giải tham khảo: Bài 2.3:Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt uuu r uuu r AB = BC a) Nếu có nhận xét ba điểm A, B, C uuu r uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C , D Lời giải: 3| a Các vectơ khác vectơ-không uuuu r MN phương với uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uur NM , AB , BA , AP , PA , BP , PB b Các vectơ khác vectơ - không uuu r hướng với AB Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ a) B trung điểm AC b) A, B, C , D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 2.4: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định ? uuu r uuu r AB = BC a) uuu r uuur b) AB = DC uuu r uuu r OA =OC c) uuu r uuu r d) OB = OA uuu r uuu r AB = BC e) f) uuu r uur uuuu r AP , PB, NM Bài 2.5: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r a) Bằng với AB uuur OC b) Ngược hướng với uuur uuu r OA = BD Lời giải: uuu r uuu r uuu r FO , OC , ED a) Lời giải: uuu r uuu r uuu r uuu r CO , OF , BA , DE b) a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Đúng f) Sai Bài 2.7: Cho tam giác ABC cạnh Bài 2.6: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uu r BI Tính độ dài vectơ điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Lời giải: uuuu r a Hãy tính độ dài vectơ sau MD b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB  P Tính độ dài MN Lời giải tham khảo a Áp dụng định lý Pitago tam giác vng MAD ta có ỉư a ÷ 5a DM = AM + AD = ỗ ữ+ a = ỗ ỗ ữ ố2 ø Þ DM = 4| a 2 uuu r AB = AB = a Ta có Gọi M trung điểm BC uuur AG = AG = AM Ta có = 2 a AB2 - BM = a 3 Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ uuuu r a MD = MD = Suy a = uu r BI = BI = BM + MI b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng PM PA  AM a  = a 3a  2 a2 a2 a 21 + = Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có ỉ3a 13a ÷ MN = NP + PM = a +ỗ = ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ố ị DM = 2 a 13 uuuu r a 13 MN = MN = Suy Bài 2.8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm uuu r OB vectơ từ điểm A, B, C , D, O có độ dài Lời giải tham khảo uuu r uuur uuur BO , DO , OD Dạng toán Chứng minh hai vectơ Ta dùng cách sau:      | a || b |      a b a, b cung  huong  + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành A B     o AB DC , BC  AD ,… (hoặc viết ngược lại)      a + Nếu b, b c  a c Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E , F trung điểm BC , CA, AB   EF CD Chứng minh: Lời giải tham khảo 5| D C Lưu ý Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ A E F B C D Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF //CD ,   EF  BC CD  EF CD  EF  CD (1)   EF hướng CD (2)   Từ (1),(2)  EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành EF  BC CD EF //CD  EFDC hình bình hành    EF CD Bài 3.1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm DC AB Điểm I giao điểm AM DN , K giao điểm BM CN     AM  NC , BK NI Chứng minh: M C I K A   Lời giải Giả sử AB  AC Khi AB  AC , ba Lời giải D Bài 3.2: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) điểm A, B, C thẳng hàng B, C thuôc nửa đường thẳng gốc A  B C (trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự) B N Ta có MC //AN MC  AN  MANC hình bình hành   AM NC  Tương tự MCBN hình bình hành nên K trung   MB BK điểm  = KM Tứ giác IMKN hình bình hành     NI Suy = KM  BK  NI Bài 3.3: Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O Chứng   minh: AH B ' C Giải 6| Bài 3.4: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh uuuu r uuu r MN =QP Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Lời giải: Vì BB đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC nên Do M , N trung điểm nên MN đường trung bình tam giác MN = AC suy MN / / AC (1)   BCB   90 Do CH //BA AH //BC BAB Suy tứ giác ABCH hình bình hành Vậy   AH BC Bài 3.5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm Tương tự QP đường trung bình uuur uuur BC B B ' Dựng điểm cho ' B = AG Chứng minh: uu r uur a) BI = IC uu r uur J BJ = IG b) Gọi trung điểm BB ' Chứng minh tam giác ADC suy QP / / AC QP = AC (2) Từ (1) (2) suy MN / / QP MN = QP tứ giác MNPQ Lời giải: hình bình hành uuuu r uuu r MN = QP Vậy ta có a) Vì I trung điểm BC nên uu r uur BI = CI BI hướng với IC uu r uu r uu r uur hai vectơ BI , IC hay BI = IC uuur uuur B b) Ta có ' B = AG suy B ' B = AG BB '/ / AG uu r uur BJ , IG hướng (1) Do IG = AG Vì G trọng tâm tam giác ABC nên , J BJ = BB ' trung điểm BB ' suy Vì BJ = IG (2) uu r uur BJ = IG Từ (1) (2) ta có Bài 3.6: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN 7| Bài 3.7: Cho hình bình hành ABCD M , N trung điểm DC , AB ; P giao điểm AM , DB Gọi CN , DB Chứng Q giao điểm uuu r uuu r uuu r DP = PQ = QB minh: Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ AM , DB Q giao điểm Gọi P giao điểm uuu r uuu r CN , DB Chứng minh DP = QB Lời giải: Lời giải: Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành uuuu r uuur Suy AM = NC Xét tam giác D DMP D BNQ ta có DM = NB (giả · · PDM = QBN thiết), (so le trong) · · · · Mặt khác DPM = APQ (đối đỉnh) APQ = NQB · · DPM = NQB (hai góc đồng vị) suy · · Nên DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (g.c.g) suy DP = QB uuu r uuu r uuu r uuu r DB , QB DP = QB Dễ thấy hướng Bài 3.8: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với uu r uuur AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh: uur uur DI = CB a) uur uu r uuur AI = IB = DC b) Lời giải: 8| Ta có tứ giác DMBN hình bình hành DM = NB = AB, DM / / NB uuuu r uuu r Suy DM = NB Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / /QC P trung điểm DQ Tương tự xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ uu r Vì DP = PQ = QB từ uuu r uuu r uuu r DP = PQ = QB suy uuur a) Ta có CI = DA suy tứ giác AICD hình bình hành uuur uur DC / /AI DC = AI Suy nên DC = AI AI = AB Mà AB = 2CD AB / /DC điểm A, I, B thẳng hàng nên I trung điểm AB Ta có DC = IB DC / / IB Þ tứ giác BCDI hình bình hành uur uur Suy DI = CB uur uu r AB Þ AI = IB I b) trung điểm tứ giác uu r uuur BCDI hình bình hành Þ IB = DC suy uur uu r uuur AI = IB = DC Dạng toán Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ  Để xác định điểm M ta cần phải rõ  vị trí  điểm hình  vẽ Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: Trung điểm đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k, hình bình hành, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, …  a A Bài 4.Cho điểm vectơ Dựng điểm M cho:   a) AM = a ;    b) AM phương a có độ dài | a | Lời giải 9| Lưu ý Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ l a d M1 A M2  a Giả sử l giá Vẽ đường thẳng d qua A d //l M M (nếu A thuộc l d trùng l) Khi có hai điểm thuộc d cho:    AM  AM  a Khi ta có:   AM = a       AM = AM phương với a AM  AM  a b) a) M , N , P Bài 4.2:Cho trước hai điểm A , B phân Bài 4.1:Cho tam giác ABC Gọi biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn BC , CA , AB trung điểm uuur uuur uuu r MA = MB A , B Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu Lời giải: uuur uuur Lời giải MA = MB Û MA = MB Þ Tập M hợp điểm đường trung trực đoạn thẳng AB Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP uuur BB ' vectơ có điểm đầu B Khi ta có uuu r vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy uuu r uuuur NP A ' AA ' điểm cho hướng với AA ' = NP uuuur Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A 10 | Bài giảng tự luận uuu r NP vectơ 11 | Khái niệm vectơ