Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG Bài TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ DẠNG 1: Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc hai vectơ Phương pháp giải a.b a b cos a; b Dựa vào định nghĩa Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ Câu Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng: Hình vẽ a) AB.BC Lời giải a2 AB.BC AB AC b) c) AC.CB Lời giải Lời giải a a2 AB AC AB AC cos AB; AC a cos 600 AC.CB CA.CB CA.CB.cos 600 2 Câu Cho tam giác ABC có AB , BC 7 , AC 8 Hình vẽ a) Tính AB AC , suy giá trị góc A Lời giải 2 2 AB AC AB AC AB AC AB AC BC Suy AB AC 20 Ta có AB AC 20 AB AC.cos A 20 cos A A 600 D c) Gọi điểm CA cho CD b) Tính AC.BC Lời giải Tính CD.CB Lời giải AC.BC AC AC AB 2 Ta có AC AB AC 82 20 44 11 AC.BC AC.BC cos C 44 cos C 14 11 33 CD.CB CD.CB.cos C 3.7 14 Do Câu Cho hình vng ABCD cạnh 2a Tính tích vơ hướng AB AC Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -1- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG Tính AB AC , suy giá trị góc A Lời giải AB AC AB AC cos AB, AC Ta có: Vì tam giác ABC vng A Hình vẽ AC AB BC 2a 2a nên 16a AC 4a Suy AB AC 2a 2.4a.cos 45 8a Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 2, AD 2a Gọi K trung điểm cạnh AD Hình vẽ AC BK AB a) Phân tích , theo AD Lời giải Gọi M trung điểm cạnh BC BK BA BM AB AD Ta có: Mặt khác: AC AB AD b) Tính tích vơ hướng BK AC Lời giải 2 Ta có: AB a 2, AC BD 2a 4a a 1 BK AC AB AD AB AD Suy 1 AB AB AB AD AD AB AD AD 2 2a 2a 0 Vậy BK AC 0 BK Ta có vng góc với AC Câu Cho hình vng ABCD có M trung điểm đoạn thẳng AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3 NC Hình vẽ Số điện thoại : 0946798489 DN , MN AB a) Phân tích theo vec-tơ AD Lời giải Ta có Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -2- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG DN AN AD AC AD 3 AB AD AD AB AD 4 Mặt khác MN AN AM AB AD AB AB AD 4 b) Chứng minh DN MN Lời giải 3 1 DN MN AB AD AB AD 4 4 Ta có: 3 DN MN AB AD 0 16 16 (vì AB AD AB AD 0 ) DN MN DN MN Vậy DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Nếu đẳng thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng ta chuyển vectơ nhờ đẳng thức AB AB Sử dụng tính chất tích vơ hướng, quy tắc phép toán vectơ Sử dụng đẳng thức vectơ tích vơ hướng Câu Cho I trung điểm đoạn thẳng AB M điểm tùy ý Chứng minh : MA.MB IM IA2 Chú ý: Lời giải Đẳng thức cần chứng minh viết lại VT MI IA MI IB 2 MA.MB IM IA MI IA MI IA IA 2 Để làm xuất IM , VP, sử dụng quy tắc ba IM IA VP (đpcm) I điểm để xen điểm vào Câu Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O M điểm Chứng minh rằng: a) MA.MC MB.MD Lời giải 2 VT OA OM OC OM OM OA Số điện thoại : 0946798489 b) MA MB.MD 2MA.MO Lời giải VT MA2 MA.MC Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -3- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG 2 VP OB OM OD OM OM OC Suy MA.MC MB.MD MA MA MC MA.2MO VP MH MA BC Câu Cho tam giác ABC có trực tâm H , M trung điểm BC Chứng minh Lời giải 1 VT HM AM HB HC AB AC 2 4 AB.HB AC.HC 14 AB HC CB 14 AC HB BC 14 BC VP Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G BC a , CA b , AB c Chứng minh rằng: GA2 GB GC a b2 c Lời giải GA GB GC GA GB GC GA2 GB GC 2GA.GB 2GB.GC 2GC GA (*) 2 2GAGB GA GB GA GB GA2 GB BA2 Mặt khác 2 2GBGC GB GC BC 2GCGA GC GA2 AC Tương tự , Thay vào (*) suy đpcm DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức tích vơ hướng tích độ dài Phương pháp giải Ta sử dụng kết sau: Cho A , B điểm cố định M điểm di động AM k Nếu với k số thực dương cho trước tập hợp điểm M đường trịn tâm A , bán kính R k MB tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB Nếu MA Nếu MA.a với a khác cho trước tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng a góc với giá vectơ Câu Cho hai điểm A , B cố định có độ dài a , vectơ a khác số thực k cho trước Tìm tập hợp điểm M cho Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -4- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG 3a MA.MB a) Lời giải Gọi I trung điểm AB ta có 3a 3a MA.MB MI IA MI IB 4 3a MI IA2 (Do IB IA ) b) MA.MB MA Lời giải 2 Ta có MA.MB MA MA.MB MA MA MA MB MA BA MA BA a 3a MI a 4 Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính R a Câu Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: MA MB 2MB MC MA 2MB MB 2MC a) b) MI Lời giải Gọi I điểm thoả mãn IB IC ta có: MA MB 2MB MC BA.MI Suy tập hợp điểm M đường thẳng qua I vuông góc với AB c) MA MA.MB MA.MC Lời giải Gọi D E điểm thoả mãn: DA DB ; EB EC ta có: MA MB MB MC MD.ME Tập hợp điểm M đường trịn đường kính DE Lời giải Ta có: MA MA.MB MA.MC MA MA MB MC (*) J JA JB JC ta có: Gọi điểm xác định (*) 2MA.MJ MA MJ Tập hợp điểm M đường trịn đường kính AJ DẠNG 4: Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Phương pháp giải a ( x ; y ) b 1 Cho , ( x2 ; y2 ) Khi a + Tích vơ hướng hai vectơ b x1 x2 y1 y2 + Góc hai vectơ xác định công thức Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -5- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG a.b xx yy cos( a, b) 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 a b a b x1 x2 y1 y2 Chú ý: Để xác định độ dài vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức a x2 y2 a ( x ; y ) + Nếu 2 + Nếu A( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) AB ( xB x A ) ( yB y A ) Câu Cho tam giác ABC có A 1; , B 2;6 , C 9;8 a) Chứng minh tam giác ABC vuông A Lời giải AB 3; AC 8;6 AB AC 3.8 4.6 Ta có , Do AB AC hay tam giác ABC vuông A b) Tính góc B tam giác ABC Lời giải BC 11; Ta có , BA 3; cos B cos BC , BA Suy 11.3 112 22 32 Xác định hình chiếu A lên cạnh BC Lời giải H x; y hình chiếu A lên BC AH x 1; y BC 11; BH x 2; y Ta có , , AH BC AH BC 11 x y Gọi Hay 11x y 15 (1) x2 y x 11 y 70 BC Mặt khác BH , phương nên 11 (2) 32 x y 5, Từ (1) (2) suy 32 H ; Vậy hình chiếu A lên BC 5 a 0; b 4; Câu Cho hai vectơ , b a a) Tính cosin góc hai vectơ Lời giải Số điện thoại : 0946798489 b) Xác định tọa độ vectơ c biết (a 2b).c ( b 2c).a Lời giải Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -6- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG a.b 8 cos a; b 4.2 5 a.b c x; y a b 8; , Gọi , ta có b 2c x 4; y (a 2b).c x x 8, Suy ( b 2c).a y y 1 c ; Do Câu Cho tam giác ABC có A(5;3) , B(2; 1) , C ( 1;5) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC Lời giải b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Lời giải Gọi H x; y trực tâm tam giác ABC AH x 5; y , BC 3;6 , BH x 2; y , AC 6; AH BC AH BC BH AC BH AC Gọi A x; y tọa độ chân đường cao vẽ từ A Ta có AA BC AA.BC x y x y 0 x 3 H 3; 3x y y 2 (1) BA ' x 2; y Và , BC phương nên x y (2) Từ (1) (2) suy x y 1 A 1;1 c) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải 2 Ta có AA , BC 36 S AA.BC 15 Suy Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A 2; , B 2; Tìm trục Oy điểm M cho MBA 45 Lời giải M Oy M 0; y Do ta có: BM ( 2; y 4) BM y y 20 BA ( 4;3) BA ; Do ta có: BM BA y 20 Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -7- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG y 30 2 MBA 450 cos( BM , BA) y 20 y y 20 y 10 2 Ta có: 30 M 0; , M 0;10 Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu toán Câu Cho A(4,3); B(2,7); C ( 3, 8) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi I ( x, y ) Khi IA IB IA IC Do đó, ta có ( x 4) ( y 3) ( x 2) ( y 7) ( x 4) ( y 3) ( x 3) ( y 8) Giải hệ phương trình ta I ( 5,1) Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -8-