Sử dụng định lí côsin và định lí sin Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.. Theo công t[r]
(1)CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Với góc a (0 £ a £ 180 ) ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho = a và giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y ) xOM 0 y Khi đó ta có định nghĩa: · sin góc a là y , kí hiệu sin a = y0 ; M y0 · cosin góc a là x , kí hiệu cos a = x ; · tang góc a là kí hiệu tan a = y0 ( x ¹ ), x0 a -1 x0 x O y0 ; x0 · cotang góc a là x0 ( y ¹ ), y0 kí hiệu cot a = x0 y0 Tính chất = a thì xON = 180 - a Ta Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và xOM có y M = y N = y0 , x M = -x N = x Do đó y sin a = sin (180 - a ) cos a = - cos (180 - a ) y0 N tan a = - tan (180 - a ) cot a = - cot (180 - a ) x a Giá trị lượng giác các góc đặc biệt Giá trị a M -x x0 O 00 30 450 60 90 180 sin a 2 cos a 2 2 -1 tan a lượng giác Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 652 (2) cot a 1 Trong bảng kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác các góc đặc biệt đã cho bảng và tính chất trên, ta có thể suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin 120 = sin (180 - 60 ) = sin 60 = cos1350 = cos (180 - 450 ) = - cos 450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a và b khác vectơ Từ điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b Góc với số đo từ 0 đến 180 gọi là góc hai vectơ a và b Ta kí hiệu góc hai vectơ AOB a và b là a, b Nếu a, b = 90 thì ta nói a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ^ b ( ) ( ) b ^ a b a B a b A O b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b = b, a ( ) ( ) 6) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng : xác định giá trị lượng giác góc đặc biệt Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng các hệ thức lượng giác Các ví dụ Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = a sin 900 + b cos 900 + c cos1800 b) B = - sin2 900 + cos2 600 - tan2 450 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 653 (3) c) C = sin2 450 - sin2 500 + cos2 450 - sin2 400 + tan 550 tan 350 Lời giải a) A = a + b + c ( -1 ) = a - c 2 b) B = - ( ) æ ÷ö æ ÷ö ç ÷ =1 + ç ÷÷ - ççç çè ÷÷ø èç ø c) C = sin2 450 + cos2 450 - ( sin2 500 + sin2 400 ) + tan 550.cot 550 2 æ 2ö æ 2ö C = ççç ÷÷÷ + ççç ÷÷÷ - ( sin2 500 + cos2 400 ) + = + - + = çè ÷ø çè ø÷ 2 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 87 b) B = cos 00 + cos 200 + cos 400 + + cos1600 + cos1800 c) C = tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 Lời giải a) A = ( sin2 30 + sin2 87 ) + ( sin2 150 + sin2 750 ) = ( sin2 30 + cos2 30 ) + ( sin2 150 + cos2 150 ) = 1+1 = b) B = ( cos 00 + cos1800 ) + ( cos200 + cos1600 ) + + ( cos 800 + cos1000 ) = ( cos 00 - cos 00 ) + ( cos 200 - cos 200 ) + + ( cos 800 - cos 800 ) =0 c) C = ( tan 50 tan 850 )( tan 150 tan 750 ) ( tan 450 tan 450 ) = ( tan 50 cot 50 )( tan 150 cot 50 ) ( tan 450 cot 50 ) =1 Dạng : chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức Phương pháp giải Sử dụng các hệ thức lượng giác Sử dụng tính chất giá trị lượng giác Sử dụng các đẳng thức đáng nhớ Các ví dụ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 654 (4) Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau có nghĩa) a) sin x + cos4 x = - sin2 x cos2 x b) + cot x tan x + = - cot x tan x - c) cos x + sin x = tan x + tan2 x + tan x + cos x Lời giải a) sin x + cos4 x = sin x + cos x + sin2 x cos2 x - sin2 x cos2 x = ( sin2 x + cos2 x ) - sin2 x cos2 x = - sin2 x cos2 x + cot x = b) - cot x c) tan x + t anx = t anx = tan x + 1 tan x - tan x - 1tan x tan x 1+ cos x + sin x sin x = + = tan2 x + + tan x ( tan2 x + ) 3 cos x cos x cos x = tan x + tan2 x + tan x + Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh B B cos cos ( A + C ) 2 + tan B = æ A + C ö÷ æ A + C ö÷ B sin cos çç ÷ sin çç ÷ çè ÷ø çè ÷ø sin Lời giải Vì A + B + C = 1800 nên B B cos cos ( 1800 - B ) 2 VT = + tan B æ 1800 - B ö÷ æ 1800 - B ö÷ sin B ç ç cos ç ÷ sin ç ÷ ÷ø çè 2 èç ø÷ sin B B cos + - - cos B tan B = sin2 B + cos2 B + = = VP = B B sin B 2 sin cos 2 sin Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau có nghĩa) a) A = sin(900 - x ) + cos(1800 - x ) + sin2 x (1 + tan2 x ) - tan2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 655 (5) b) B = 1 + - sin x + cos x - cos x Lời giải a) A = cos x - cos x + sin2 x b) B = - tan2 x = cos x 1 - cos x + + cos x - sin x ( - cos x )( + cos x ) 2 - 2= - 2 sin x - cos x sin x sin2 x æ ö = çç - ÷÷÷ = cot2 x çè sin x ø = Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x P = sin x + cos2 x + cos4 x + cos4 x + sin2 x + sin x Lời giải P = ( - cos2 x ) ( - sin2 x ) + cos2 x + cos4 x + + sin2 x + sin x = cos4 x + cos2 x + + sin x + sin2 x + = ( cos2 x + ) + ( sin2 x + ) = cos2 x + + sin2 x + =3 Vậy P không phụ thuộc vào x Dạng : xác định giá trị biểu thức lượng giác có điều kiện Phương pháp giải Dựa vào các hệ thức lượng giác Dựa vào dấu giá trị lượng giác Sử dụng các đẳng thức đáng nhớ Các ví dụ Ví dụ 1: a) Cho sin a = b) Cho cos a = - với 900 < a < 1800 Tính cos a và tan a Tính sin a và cot a c) Cho tan g = -2 tính giá trị lượng giác còn lại Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 656 (6) a) Vì 900 < a < 1800 nên cos a < mặt khác sin2 a + cos2 a = suy cos a = - - sin2 a = - - sin a Do đó tan a = = cos a 2 =9 3 =- 2 2 b) Vì sin2 a + cos2 a = nên sin a = - cos2 a = 1- và = cos a cot a = = =sin a 5 - c) Vì tan g = -2 < cos a < mặt khác tan2 a + = cos a = - nên cos2 a 1 ==2 +1 tan + Ta có tan a = æ 1ö 2 sin a sin a = tan a cos a = -2 çç - ÷÷÷ = çè ø cos a cos a cot a = = =sin a 2 2 Ví dụ 2: a) Cho cos a = b) Cho tan a = tan a + cot a với 00 < a < 900 Tính A = tan a + cot a Tính B = sin a - cos a sin a + cos3 a + sin a Lời giải 1 +2 tan a = tan a + = cos2 a a) Ta có A = = + cos2 a 1 tan a + tan a + tan a cos2 a tan a + Suy A = + 17 = 16 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 657 (7) sin a cos a tan a ( tan2 a + ) - ( tan2 a + ) 3 a a cos cos = b) B = sin a cos a sin a tan a + + tan a ( tan2 a + ) + + cos3 a cos3 a cos a Suy B = ( + 1) - ( + 1) 2 + + 2 ( + 1) = ( -1 ) 3+8 Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m a) Tìm sin x cos x và sin x - cos x b) Chứng minh m £ Lời giải a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = + 2sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m = + sin a cos a hay sin a cos a = m2 - Đặt A = sin x - cos4 x Ta có A= ( sin2 x + cos2 x )( sin2 x - cos2 x ) = ( sin x + cos x )( sin x - cos x ) A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) = ( + sin x cos x )( - sin x cos x ) 2 æ m - öæ ÷÷ çç - m - ö÷÷ = + 2m - m A2 = çç + çè ÷øèç ÷ø + 2m - m Vậy A = b) Ta có sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = kết hợp với (*) suy ( sin x + cos x ) Vậy m £ £ sin x + cos x £ 2 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hai góc a và b với a + b = 90 Tính giá trị biểu thức P = sin a cos b + sin b cos a A P = B P = C P = -1 D P = Lời giải Chọn B Hai góc a và b phụ nên sin a = cos b ; cos a = sin b Do đó, P = sin a cos b + sin b cos a = sin a + cos a = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 658 (8) Câu 2: Cho hai góc a và b với a + b = 90 Tính giá trị biểu thức P = cos a cos b - sin b sin a A P = B P = C P = -1 D P = Lời giải Chọn A Hai góc a và b phụ nên sin a = cos b ; cos a = sin b Do đó, P = cos a cos b - sin b sin a = cos a sin a - cos a sin a = Câu 3: Cho a là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng? A sin a < B cos a > C tan a < D cot a > Lời giải Chọn C Lấy góc a = 1200 sau đó thử ngược Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b đó a < b Khẳng định nào sau đây là sai? A cos a < cos b B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Lời giải Chọn A Lấy a = 300 ; b = 600 sau đó thử ngược Câu 5: Khẳng định nào sau đây sai? A cos75 > cos 50 B sin 80 > sin 50 C tan 45 < tan 60 D cos 30 = sin 60 Lời giải Chọn A Trong khoảng từ 0 đến 90 , giá trị góc tăng thì giá trị cos tương ứng góc đó giảm Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng? A sin 90 < sin 100 B cos 95 > cos100 C tan 85 < tan 125 D cos145 > cos125 Lời giải Chọn B Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc đó giảm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 659 (9) - Giá trị cos tương ứng góc đó giảm Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng? A sin 90 < sin 150 B sin 9015 ¢ < sin 9030 ¢ C cos 9030 ¢ > cos100 D cos150 > cos120 Lời giải Chọn C Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc đó giảm - Giá trị cos tương ứng góc đó giảm Câu 8: Chọn hệ thức đúng suy từ hệ thức cos2 a + sin a = 1? A cos a a + sin = 2 B cos2 a a + sin = 3 C cos a a + sin = 4 D çççcos2 + sin è æ a a ÷ö ÷ = 5 ÷ø Lời giải Chọn D Từ biểu thức cos2 a + sin a = ta suy cos2 a a + sin = 5 æ a aö Do đó ta có çççcos + sin ÷÷÷ = è Câu 9: Cho biết sin A P = a = 5ø Giá trị P = sin 105 25 B P = a a + cos 3 107 25 bao nhiêu? C P = 109 25 D P = 111 25 Lời giải Chọn B Ta có biểu thức sin a a a a 16 + cos = cos = - sin = 3 3 25 Do đó ta có P = sin æ3ö a a 16 107 + cos = çç ÷÷÷ + = ç è ø 3 25 25 Câu 10: Cho biết tan a = -3 Giá trị P = A P = sin a - cos a cos a + sin a bao nhiêu? B P = C P = - D P = - Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 660 (10) Ta có sin a -7 sin a - cos a tan a - cos a P= = = = cos a + sin a + sin a + tan a cos a Câu 11: Cho biết cos a = - Giá trị P = A P = - 19 13 B P = cot a + tan a cot a + tan a 19 13 bao nhiêu? C P = 25 13 D P = - 25 13 Lời giải Chọn B Ta có biểu thức sin a + cos2 a = sin a = - cos2 a = Ta có æ ö÷ cos a sin a çç- ÷ + +3 cot a + tan a cos a + sin a çè ÷ø 19 sin cos a a = = = = P= 2 cot a + tan a cos a + sin a cos a + sin a 13 æ ö÷ çç- ÷÷ + sin a cos a çè ø Câu 12: Cho biết cot a = Giá trị P = cos2 a + sin a cos a + bao nhiêu? A P = 10 26 B P = 100 26 C P = 50 26 D P = 101 26 Lời giải Chọn D æ cos a cos a ö +5 + ÷÷÷ çè sin a sin a sin a ø÷ Ta có P = cos2 a + sin a cos a + = sin a ççç2 = cot a + cot a + 101 2 cot a + cot a + + cot a = = ( ) + cot a cot a + 26 Câu 13: Cho biết cos a - sin a = , 0 < a < 90 Giá trị tan a A tan a = B tan a = C tan a = D tan a = Lời giải Chọn A Ta có cos a - sin a = cos a = sin a + cos2 a = (sin a + 1)2 cos a = sin a + sin a + (1 - sin a ) = sin a + sin a + é sin a = -1 ê 10 sin a + sin a - = ê ê sin a = êë · sin a = -1 : không thỏa · sin a = mãn vì 0 < a < 90 sin a cos a = ¾¾ tan a = = 5 cos a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 661 (11) Câu 14: Cho biết cos a + sin a = , 0 < a < 90 Tính giá trị cot a A cot a = B cot a = C cot a = D cot a = Lời giải Chọn C Ta có cos a + sin a = sin a = - cos a sin a = (2 - cos a)2 sin a = - cos a + cos a (1 - cos a ) = - cos a + cos a é cos a = ê cos a - cos a + = ê ê cos a = êë · cos a = : không thỏa mãn vì 0 < a < 90 · cos a = 2 cos a sin a = ¾¾ cot a = = 3 sin a Câu 15: Cho biết sin a + cos a = a Tính giá trị sin a cos a A sin a cos a = a2 C sin a cos a = B sin a cos a = 2a a2 - D sin a cos a = a2 - 11 Lời giải Chọn C Ta có sin a + cos a = a (sin a + cos a)2 = a2 + sin a cos a = a2 sin a cos a = a2 - Câu 16: Cho biết cos a + sin a = Giá trị P = tan a + cot a bao nhiêu? A P = B P = C P = D P = 11 Lời giải Chọn B Ta có cos a + sin a = (cos a + sin a ) = + sin a cos a = sin a cos a = - 9 æ sin a cos a ö÷ Ta có P = tan a + cot a = (tan a + cot a)2 - tan a cot a = ççç + ÷÷ - è cos a sin a ø 2 æ sin a + cos a ö÷ æ ö÷ æ ö÷ ç- ÷ - = ÷ - = çç = çç = ÷ ç ÷ çè sin a cos a ø÷ çè ø÷ çè sin a cos a ÷ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 662 (12) Câu 17: Cho biết sin a - cos a = 15 A P = Giá trị P = sin a + cos a bao nhiêu? 17 B P = C P = 19 21 D P = Lời giải Chọn B Ta có sin a - cos a = - sin a cos a = (sin a - cos a ) = sin a cos a = 5 Ta có P = sin a + cos a = (sin a + cos2 a) - sin a cos2 a 2 = - (sin a cos a ) = 17 Câu 18: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc nào sau đây 120O ? A ( MN , NP ) B ( MO, ON ) C ( MN , OP ) D ( MN , MP ) Lời giải Chọn A Vẽ NE = MN Khi đó ( MN , NP ) = ( NE , NP ) P F = 180 - MNP = 180 - 60 = 120 = PNE · O = 60 Vẽ OF = MO Khi đó ( MO, ON ) = (OF , ON ) = NOF ( ) · Vì · = 60 Ta có ( MN , MP ) = NMP M N E MN ^ OP ¾¾ MN , OP = 90 Câu 19: Cho tam giác ABC Tính P = cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ) A P = 3 B P = C P = - D P = - 3 Lời giải Chọn C = 180 - CBA = 120 Vẽ BE = AB Khi đó ( AB, BC ) = ( BE , BC ) = CBE ¾¾ cos AB, BC = cos120 = - ( ) C Tương tự, ta có cos BC, CA = cos CA, AB = - ( ) ( Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 ) A B E Trang 663 (13) Vậy cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ) = - Câu 20: Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính ( AH , BA ) A 30 B 60 C 120 D 150 Lời giải Chọn D Vẽ AE = BA ( Khi đó C =a AH , AE = HAE ) (hình vẽ) H = 180 - 30 = 150 = 180 - BAH a A B E Câu 21: Tam giác ABC vuông A và có góc B = 50 Hệ thức nào sau đây sai? B ( BC , AC ) = 40 D ( AC, CB ) = 40 A ( AB, BC ) = 130 C ( AB, CB ) = 50 Lời giải Chọn D = 180 - 40 = 140 Vì ( AC, CB ) = 180 - ACB Câu 22: Tam giác ABC vuông A và có BC = AC Tính cos ( AC, CB ) A cos ( AC, CB ) = C cos ( AC, CB ) = B cos ( AC, CB ) = - D cos ( AC, CB ) = - Lời giải Chọn B Xác định ( AC, CB ) = 180 - ACB = Ta có cos ACB C AC = 60 = ¾¾ ACB CB = 120 ¾¾ AC , CB = 180 - ACB ( ) B A Vậy cos ( AC, CB ) = cos120 = - Câu 23: Cho tam giác ABC Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC , CA ) + (CA, AB ) A 180 B 360 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 C 270 D 120 Trang 664 (14) Chọn B ì ï AB, BC = 180 - ABC ï ï ï ï Ta có ïí BC, CA = 180 - BCA ï ï ï ï CA, AB = 180 - CAB ï ï î ( ( ( ) ) ) + BCA + CAB = 540 -180 = 360 ¾¾ AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 - ABC ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 24: Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC, CA ) B 360 A 120 C 270 D 240 Lời giải Chọn D Ta có ( AB, BC ) = 180 - ABC (BC, CA ) = 180 - BCA ìï ïï í ïï ïïî 0 + BCA ¾¾ AB, BC + BC , CA = 360 - ABC ( ) ( ( ) ( ) ) = 360 -180 + 60 = 240 = 360 - 180 - BAC ABC có góc HA, HB + HB, HC + HC , HA Câu 25: Tam giác ( ) ( ) ( A H Tính tổng ) B 180 A 360 và có trực tâm 100 C 80 D 160 Lời giải Chọn D Ta có (HA, HB ) = BHA (HB, HC ) = BHC (HC, HA ) = CHA ìï ïï ïï ï í ïï ïï ïï î H F I 100 + BHC + CHA ¾¾ HA , HB + HB, HC + HC , HA = BHA ( ) ( ) ( A ) B = (180 -100 ) = 160 = BHC C (do tứ giác HIAF nội tiếp Cho hình vuông ABCD Tính cos ( AC , BA ) Câu 26: Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC ) A 450 B 4050 C 3150 D 2250 Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 665 (15) · Ta có AB, DC cùng hướng nên ( AB, DC ) = 0 · Ta có AD, CB ngược hướng nên ( AD, CB ) = 180 · = 1350 Vẽ CE = DC , đó (CO, DC ) = (CO, CE ) = OCE D B A O C E Vậy ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC ) = 0 + 180 + 1350 = 3150 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 666 (16) BÀI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Cho hai vectơ a và b khác vectơ Tích vô hướng a và b là số, kí hiệu là a.b, xác định công thức sau: a.b = a b cos a, b ( ) Trường hợp ít hai vectơ a và b vectơ ta quy ước a.b = Chú ý · Với a và b khác vectơ ta có a.b = a ^ b · Khi a = b tích vô hướng a.a kí hiệu là a2 và số này gọi là bình phương vô hướng vectơ a Ta có: 2 2 a = a a cos 0 = a Các tính chất tích vô hướng Người ta chứng minh các tính chất sau đây tích vô hướng: Với ba vectơ a, b, c bất kì và số k ta có: · a.b = b.a (tính chất giao hoán); · a (b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối); · (ka).b = k (a.b) = a (kb) ; 2 2 · a ³ 0, a = a = Nhận xét Từ các tính chất tích vô hướng hai vectơ ta suy ra: 2 2 2 2 2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; · (a - b) = a - 2a.b + b ; 2 · (a + b)(a - b) = a - b Biểu thức tọa độ tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ (O; i ; j ), cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Khi đó tích vô hướng a.b là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 667 (17) a.b = a1b1 + a2 b2 Nhận xét Hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác vectơ vuông góc với và a1b1 + a2 b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ Độ dài vectơ a = (a1 ; a2 ) tính theo công thức: a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng hai vectơ ta suy a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) khác thì ta có a.b a1b1 + a2 b2 cos a; b = = a1 + a22 b12 + b22 a.b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) tính theo công thức: 2 AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc hai vectơ Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa a.b = a b cos a;b Sử dụng tính chất và các đẳng thức tích vô hướng hai vectơ ( ) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A có AB = a , BC = 2a và G là trọng tâm a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC CA b) Tính giá trị biểu thức AB.BC + BC CA + CA.AB + GB.GC + GC GA c) Tính giá trị biểu thứcGAGB Lời giải (hình 2.2) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 668 (18) C M N G A B P Hình 2.2 a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có BA.BC = BA BC cos BA, BC = 2a cos BA, BC ( ) ( ) = a =1 Mặt khác cos BA, BC = cosABC 2a Nên BA.BC = a * Ta có BC CA = -CB.CA = - CB CA cosACB ( ) Theo định lý Pitago ta có CA = ( 2a ) - a2 = a a = -3a Suy BC CA = -a 3.2a 2a b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông A nên CA.AB = và từ câu a ta có AB.BC = -a , BC CA = -3a Suy AB.BC + BC CA + CA.AB = -4a Cách 2: Từ AB + BC + CA = và đẳng thức ( AB + BC + CA ) = AB + BC + CA2 + AB.BC + BC CA + CA.AB Ta có ( ) AB.BC + BC CA + CA.AB = - ( AB + BC + CA2 ) = -4a 2 c) Tương tự cách câu b) vì GA + GB + GC = nên GAGB + GB.GC + GC GA = - (GA2 + GB + GC ) Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB æ2 ö 4a Dễ thấy tam giác ABM nên GA = çç AM ÷÷÷ = èç ø Theo định lý Pitago ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 669 (19) GB = 4 4æ 3a ö÷ 7a BN = ( AB + AN ) = çça + ÷= 9 çè ÷ø 4 4æ a ö 13a GC = CP = ( AC + AP ) = çç 3a + ÷÷÷ = 9 çè 4ø æ 4a 7a 13a ö÷ 4a Suy GAGB + GB.GC + GC GA = - çç + + ÷=2 çè 9 ÷ø Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị các biểu thức sau: a) (AB + AD )(BD + BC ) b) CG CA + DM ( ) Lời giải (hình 2.3) a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC Do đó (AB + AD )(BD + BC ) = AC BD + AC BC A = CACB = CA CB cosACB ( AC BD = vì AC ^ BD ) M B G D = 450 và theo định lý Pitago ta có : Mặt khác ACB C Hình 2.3 AC = a2 + a2 = a Suy (AB + AD )(BD + BC ) = a.a cos 450 = a b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = - AB + AD ( CM = CB + CA = éêCB - AB + AD ùú = - AB + 2AD û 2ë ( ) ( ) ( ) và ) ö æ Suy CG = -AB - AB + AD - AB + 2AD = -çç AB + 2AD ÷÷÷ çè 2 ø ( ) ( ) ö æ Ta lại có CA + DM = - AB + AD + AM - AD = - çç AB + 2AD ÷÷÷ çè ø ( ) öæ ö æ Nên CG CA + DM = çç AB + 2AD ÷÷÷ çç AB + 2AD ÷÷÷ èç øèç ø ( ) = 21a AB + 4AD = 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 670 (20) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c M là trung điểm BC, D là chân đường phân giác góc A a) Tính AB.AC , suy cosA b) Tính AM và AD Lời giải (hình 2.3) a) Ta có é ê AB.AC = AB + AC - AB - AC êë ( ) A ù ú úû 1é AB + AC - CB ùû = ( c + b - a ) ë 2 Mặt khác AB.AC = AB.AC cos A = cb cos A = B DM C Hình 2.3 c2 + b2 - a Suy ( c + b - a ) = cb cos A hay cos A = 2bc b) * Vì M là trung điểm BC nên AM = ( AB + AC ) Suy AM = AB + AC ( ) = ö çæ çç AB + 2ABAC + AC ÷÷÷ ø 4è Theo câu a) ta có AB.AC = (c + b - a ) nên ö (b + c ) - a 1æ AM = ççc + ( c + b - a ) + b ÷÷÷ = çè ø * Theo tính chất đường phân giác thì BD AB c = = DC AC b BD b DC = DC (*) Suy BD = DC c Mặt khác BD = AD - AB và DC = AC - AD thay vào (*) ta b AD - AB = ( AC - AD ) (b + c )AD = bAB + cAC c 2 (b + c ) AD = (bAB ) + 2bcABAC + ( cAC ) 2 (b + c ) AD = b 2c + 2bc (c + b - a ) + c 2b 2 bc AD = (b + c - a )(b + c + a ) (b + c ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 671 (21) Hay AD = 4bc p( p -a ) (b + c ) Nhận xét : Từ câu b) suy độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là la = bc b +c p( p -a ) Dạng 2: chứng minh các đẳng thức tích vô hướng độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Nếu đẳng thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng thì ta chuyển vectơ nhờ đẳng thức AB = AB Sử dụng các tính chất tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ Sử dụng đẳng thức vectơ tích vô hướng Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý Chứng minh : MA.MB = IM - IA2 Lời giải: Đẳng thức cần chứng minh viết lại là MA.MB = IM - IA Để làm xuất IM , IA VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta VT = MI + IA MI + IB = MI + IA MI - IA ( )( ) ( )( ) = IM - IA = VP (đpcm) Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng: DA.BC + DB.CA + DC AB = (*) Từ đó suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Lời giải: Ta có: DA.BC + DB.CA + DC AB = DA DC - DB + DB DA - DC + DC DB - DA = DA.DC - DA.DB + DB.DA - DB.DC + DC DB - DC DA = ( ) ( ) ( ) (đpcm) Gọi H là giao hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B Khi đó ta có HA.BC = 0, HC AB = (1) Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 672 (22) HA.BC + HB.CA + HC AB = (2) Từ (1) (2) ta có HB.CA = suy BH vuông góc với AC Hay ba đường cao tam giác đồng quy (đpcm) Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt E Chứng minh : AE AC + BE BD = AB Lời giải (hình 2.4) Ta có VT = AE AB + BC + BE BA + AD ( ) ( ) = AE AB + AE BC + BE BA + BE AD C D E = 900 , ACB = 900 Vì AB là đường kính nên ADB Suy AE BC = 0, BE AD = A Hình 2.4 B Do đó VT = AE AB + BE BA = AB AE + EB = AB = VP (đpcm) ( ) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a ,CA = b , AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh aIA2 + bIB + cIC = abc Lời giải: Ta có: aIA + bIB + cIC = aIA + bIB + cIC ( ) =0 a 2IA2 + b 2IB + c 2IC + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC IA = a 2IA2 + b 2IB + c 2IC + ab ( IA2 + IB - AB ) + + bc ( IB + IC - BC ) + ca ( IA2 + IC - CA2 ) = (a + ab + ca ) IA2 + (b + ba + bc ) IB + + (c + ca + cb ) IC - ( abc + ab 2c + a 2bc ) = (a + b + c ) (a 2IA2 + b 2IB + c 2IC ) = ( a + b + c )abc a 2IA2 + b 2IB + c 2IC = abc (đpcm) Dạng 3: tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức tích vô hướng tích độ dài Phương pháp giải Ta sử dụng các kết sau: Cho A, B là các điểm cố định M là điểm di động Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 673 (23) Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = k Nếu MA.MB = thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB Nếu MAa = với a khác cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với giá vectơ a Các ví dụ Ví dụ Cho hai điểm A, B cố định có độ dài a, vectơ a khác và số thực k cho trước Tìm tập hợp điểm M cho 3a a) MA.MB = b) MA.MB = MA2 Lời giải: a) Gọi I là trung điểm AB ta có 3a 3a MA.MB = MI + IA MI + IB = 4 ( )( MI - IA2 = ) 3a (Do IB = -IA ) a 3a + 4 MI = a MI = Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = a b) Ta có MA.MB = MA2 MA MA - MB = ( ) MA.MB = MA MA.BA = MA ^ BA Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB A Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho MA + 2MB + 3CB BC = ( Lời giải (hình 2.4) M Gọi I là điểm xác định IA + 2IB = Khi đó MA + 2MB + 3CB BC = ( ) éê MI + IA + MI + IB ë MI BC = BC ( ) ( ) ù BC = 3BC úû Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B ) A I M' I' C Hình 2.4 Trang 674 (24) Gọi M', I' là hình chiếu M, I lên đường thẳng BC Theo công thức hình chiếu ta có MI BC = M ' I '.BC đó M ' I '.BC = BC Vì BC > nên M ' I ', BC cùng hướng suy M ' I '.BC = BC M ' I '.BC = BC M ' I ' = BC Do I cố định nên I' cố định suy M' cố định Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua M' và vuông góc với BC Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước Tìm tập hợp điểm M cho MA.MC + MB.MD = k Lời giải (hình 2.5) A Gọi I là tâm hình vuông ABCD Ta có : MA.MC = MI + IA MI + IC ( )( ) I = MI + MI IC + IA + IA.IC D Hình 2.5 = MI + IA.IC Tương tự MB.MD = MI + IB.ID Nên MA.MC + MB.MD = k 2MI + IB.ID + IA.IC = k ( 2MI - IB - IA2 = k MI = MI = MI = k + a2 k + IA2 = B ) C k + IA2 k + a2 Nếu k < -a : Tập hợp điểm M là tập rỗng Nếu k = -a thì MI = M º I suy tập hợp điểm M là điểm I Nếu k > -a thì MI = k + a2 suy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = k + a2 DẠNG 4: Biểu thức tọa độ tích vô hướng Phương pháp giải Cho a = (x 1; y1 ), b = (x ; y2 ) Khi đó Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 675 (25) + Tích vô hướng hai vectơ là a.b = x 1x + y1y2 + Góc hai vectơ xác định công thức x 1x + y1y2 a.b cos(a, b) = = x + y12 x 22 + y22 a b Chú ý: a ^ b a.b = x 1x + y1y2 = Để xác định độ dài vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức + Nếu a = (x ; y ) thì a = x + y + Nếu A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) thì AB = (x B - x A )2 + (yB - yA )2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A( 1; ) , B ( -2; ) , C ( 9; ) a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tính góc B tam giác ABC c) Xác định hình chiếu A lên cạnh BC Lời giải: a) Ta có AB ( -3; ) , AC ( 8; ) AB AC = -3.8 + 4.6 = Do đó AB ^ AC hay tam giác ABC vuông A b) Ta có BC ( 11; ) , BA( 3; -4 ) Suy cos B = cos ( BC , BA ) = 11.3 + 2.( -4 ) 112 + 22 32 + ( -4 ) = c) Gọi H ( x ; y ) là hình chiếu A lên BC Ta có AH ( x - 1; y - ) , BH ( x + 2; y - ) , BC ( 11; ) AH ^ BC AH BC = 11( x - ) + ( y - ) = Hay 11x + 2y - 15 = (1) x +2 y -6 = 2x -11y + 70 = (2) Mặt khác BH , BC cùng phương nên 11 32 Từ (1) và (2) suy x = , y = 5 æ 32 ö Vậy hình chiếu A lên BC là H çç ; ÷÷÷ è5 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 676 (26) Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I ( 1;1 ) , đỉnh A ( 3;2 ) và đỉnh B nằm trên trục hoành Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình thoi Lời giải: Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B ( 0; y ) Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm AC và BD Suy C = ( 2x I - x A ;2yI - yA ) = ( -1; ) , D = ( 2x I - x B ;2yI - yB ) = ( 2;2 - y ) Do đó AB = AD AB = AD + ( y - ) = + y y = Vậy B ( 0; ), C ( -1; ), D ( 2; -1 ) Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1) và C (-1; -2) Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc = 450 AMB Lời giải: Giả sử M ( x ; y ) suy MA( - x ; - y ) , MB ( - x ; - y ) , BC ( -3; -3 ) = 450 suy cos AMB = cos ( MA; BC ) Vì AMB MABC -3 ( - x ) - ( - y ) cos 450 = = 2 MA BC (3 -x ) +(4 -y ) + 2 ( - x ) + ( - y ) = x + y - (*) Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB , BC cùng phương Suy -x 1-y = x = y + vào (*) ta -3 -3 2 ( - y ) + ( - y ) = 2y - y - 6y + = y = y = = cos MA; MB = - + Với y = x = , ta có MA( 0; ) , MB ( -1; -1 ) cos AMB ( ) = 1350 (không thỏa mãn) Khi đó AMB = cos ( MA; MB ) = + Với y = x = , MA( -2; ) , MB ( -3; -3 ) cos AMB = 450 Khi đó AMB Vậy M ( 5; ) là điểm cần tìm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 677 (27) Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm và điểm C trên trục tung có tung độ dương cho tam giác ABC vuông A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn Lời giải: Gọi B b;0 , C 0; c với b , c Suy AB b 2; 1 , AC 2; c 1 Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông A nên AB AC b 2 c 1 c 2b Ta có S ABC 1 AB AC (b 2) 22 (c 1) 2 (b 2) b 4b Vì c nên 2b b Xét hàm số y x x với x Bảng biến thiên x 2 5 y Suy giá trị lớn hàm số y x x với x là y x Do đó diện tích tam giác ABC lớn và b , suy c Vậy B 0;0 , C 0;5 là điểm cần tìm C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và khác vectơ Mệnh đề nào sau đây đúng? A a.b = a b B a.b = C a.b = -1 D a.b = - a b Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 678 (28) Ta có a.b = a b cos (a, b) Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên (a, b) = 0 ¾¾ cos (a, b) = Vậy a.b = a b Câu Cho hai vectơ a và b khác Xác định góc a hai vectơ a và b a.b = - a b A a = 180 B a = 0 C a = 90 D a = 450 Lời giải Chọn A Ta có a.b = a b cos (a, b) Mà theo giả thiết a.b = - a b , suy cos (a, b) = -1 ¾¾ (a, b) = 180 Câu Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = và a.b = -3 Xác định góc a hai vectơ a và b A a = 30 B a = 450 C a = 60 D a = 120 Lời giải a.b -3 Ta có a.b = a b cos (a, b) ¾¾ cos (a, b) = = = - ¾¾ (a, b) = 120 3.2 a.b Chọn D Câu 2 Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = và hai vectơ u = a - 3b và v = a + b vuông góc với Xác định góc a hai vectơ a và b A a = 90 B a = 180 C a = 60 D a = 450 Lời giải Chọn B æ2 è5 ö 2 Ta có u ^ v ¾¾ u.v = çç a - 3b÷÷÷(a + b) = a ç ø 2 13 ab - 3b = a = b =1 ¾¾¾¾ ab = -1 a.b Suy cos (a, b) = = -1 ¾¾ (a, b) = 180 a.b Câu Cho hai vectơ a và b Đẳng thức nào sau đây sai? 1æ 2ö A a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ 2è ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 1æ 2ö B a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ 2è ø Trang 679 (29) 1æ 2ö C a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ 2è 1æ 2ö D a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ ø 4è ø Lời giải Chọn C Nhận thấy C và D khác hệ số và nên đáp án sai rơi vào C D 2 2 2 2 1æ 2ö Ta có a + b - a - b = (a + b) - (a - b) = ab ¾¾ a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ 4è ø 2 2 2 2 · A đúng, vì a + b = a + b = a + b a + b = a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b ( ) ( )( ) 1æ 2ö ¾¾ a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ ø 2è · 2 2 2 B đúng, vì a - b = (a - b) = (a - b) (a - b) = a.a - a.b - b.a + b.b = a + b - a.b 1æ 2ö ¾¾ a.b = çç a + b - a - b ÷÷÷ ø 2è Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vô hướng AB AC A AB AC = 2a B AB AC = - a2 C AB AC = - a2 a2 a2 D AB AC = Lời giải Chọn D Xác định góc ( AB, AC ) là góc A nên ( AB, AC ) = 60 Do đó AB AC = AB AC cos ( AB, AC ) = a.a cos 60 = a2 Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vô hướng AB.BC A AB.BC = a B AB.BC = a2 C AB.BC = - a2 D AB.BC = Lời giải Chọn C Xác định góc ( AB, BC ) là góc ngoài góc B nên ( AB, BC ) = 120 Do đó AB.BC = AB.BC cos ( AB, BC ) = a.a cos120 = Câu a2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề nào sau đây là sai? A AB AC = a2 B AC.CB = - a2 C GA.GB = a2 D AB AG = a Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 680 (30) Chọn C Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: · Xác định góc ( AB, AC ) là góc A nên ( AB, AC ) = 60 Do đó AB AC = AB AC cos ( AB, AC ) = a.a cos 60 = a2 ¾¾ A đúng nên AC , CB = 120 · Xác định góc AC , CB là góc ngoài góc C ( ) ( Do đó AC.CB = AC.CB cos ( AC, CB ) = a.a cos120 = · ) a2 ¾¾ B đúng nên GA , GB = 120 Xác định góc (GA, GB ) là góc AGB ( ) Do đó GA.GB = GA.GB cos (GA, GB ) = a a cos120 = - a2 ¾¾ C sai nên AB, AG = 30 · Xác định góc AB, AG là góc GAB ( ) ( Do đó AB AG = AB AG cos ( AB, AG ) = a Câu a ) cos 30 = a2 ¾¾ D đúng Cho tam giác ABC có cạnh a và chiều cao AH Mệnh đề nào sau đây là sai? A AH BC = B ( AB, HA ) = 150 C AB AC = a2 D AC.CB = a2 Lời giải Chọn D Xác định góc ( AC, CB ) là góc ngoài góc A nên ( AC , CB ) = 120 Do đó AC.CB = AC.CB cos ( AC, CB ) = a.a cos120 = - a2 Câu 10 Cho tam giác ABC vuông cân A và có AB = AC = a Tính AB.BC A AB.BC = -a2 C AB.BC = - B AB.BC = a2 a2 D AB.BC = a2 Lời giải Chọn A Xác định góc ( AB, BC ) là góc ngoài góc B nên ( AB, BC ) = 1350 Do đó AB.BC = AB.BC cos ( AB, BC ) = a.a cos1350 = -a2 Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A và có AB = c, AC = b Tính BA.BC A BA.BC = b2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B BA BC = c2 Trang 681 (31) C BA.BC = b2 + c2 D BA.BC = b2 - c2 Lời giải Chọn B Ta có BA.BC = BA BC cos ( BA, BC ) = BA.BC cos B = c b2 + c2 c b + c2 = c2 Cách khác Tam giác ABC vuông A suy AB ^ AC AB AC = Ta có BA.BC = BA ( BA + AC ) = BA + BA AC = AB = c2 Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính CA.CB A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 C CA.CB = 17 D CA.CB = 19 Lời giải Chọn B Ta có AB + BC = CA ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm A, C Khi đó CA.CB = CA.CB cos (CA, CB ) = 3.5 cos 0 = 15 Cách khác Ta có AB = AB = (CB - CA ) = CB - 2CBCA + CA 2 1 ¾¾ CBCA = (CB + CA - AB ) = (32 + 52 - 2 ) = 15 2 Câu 13 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính P = ( AB + AC ).BC A P = b2 - c2 C P = c + b2 + a B P = c + b2 D P = c + b2 - a Lời giải Chọn A Ta có P = ( AB + AC ).BC = ( AB + AC ) ( BA + AC ) = AC + AB AC - AB = AC - AB = AC - AB = b2 - c2 ( )( ) Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính AM BC b2 - c B AM BC = c + b2 + a D AM BC = A AM BC = C AM BC = c + b2 c + b2 - a Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 682 (32) Chọn A Vì M là trung điểm BC suy AB + AC = AM Khi đó AM BC = = AB + AC BC = AB + AC BA + AC 2 ( ) ( )( ) b2 - c AC + AB AC - AB = AC - AB = ( AC - AB ) = 2 2 ( )( ( ) ) Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng (OA + OB ) AB = là A tam giác OAB B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O Lời giải Chọn B Ta có (OA + OB ) AB = (OA + OB ) (OB - OA ) = OB - OA = OB - OA = OB = OA Câu 16 Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? A MN ( NP + PQ ) = MN NP + MN PQ B MP MN = -MN MP D ( MN - PQ )( MN + PQ ) = MN - PQ C MN PQ = PQ MN Lời giải Chọn B Đáp án A đúng theo tính chất phân phối Đáp án B sai Sửa lại cho đúng MP MN = MN MP Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán Đáp án D đúng theo tính chất phân phối Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AC A AB AC = a2 B AB AC = a2 C AB AC = 2 a D AB AC = a2 Lời giải Chọn A = 450 nên AB AC = AB AC cos 450 = a.a Ta có ( AB, AC ) = BAC = a2 Câu 18 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính P = AC (CD + CA ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 683 (33) A P = -1 B P = 3a2 C P = -3a2 D P = 2a2 Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy AC = a Ta có P = AC (CD + CA ) = AC.CD + AC.CA = -CA.CD - AC = -CA.CD cos CA, CD - AC = -a 2.a cos 450 - a ( ) ( ) = -3a2 Câu 19 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính P = ( AB + AC ) ( BC + BD + BA ) A P = 2a B P = 2a2 C P = a2 D P = -2a2 Lời giải Chọn D ì ïBD = a ï Ta có ïí ï BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = BD ï ï î ( ) Khi đó P = ( AB + AC ).2 BD = AB.BD + AC.BD = -2 BA.BD + = -2 BA BD cos BA, BD = -2.a.a = -2 a ( ) Câu 20 Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua C Tính AE AB A AE AB = 2a2 B AE AB = 3a2 C AE AB = 5a2 D AE AB = 5a2 Lời giải Chọn A Ta có C là trung điểm DE nên DE = 2a AD AB + DE AB Khi đó AE AB = ( AD + DE ) AB = = DE AB cos DE , AB = DE AB cos 0 = a2 ( ) Câu 21 Cho hình vuông ABCD cạnh Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC cho AC Gọi N là trung điểm đoạn thẳng DC Tính MB MN A MB MN = -4 B MB MN = C MB MN = AM = D MB MN = 16 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 684 (34) Chọn B Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có giá vuông góc với · MB = AB - AM = AB - AC = AB - AB + AD = AB - AD 4 4 ( ) · MN = AN - AM = AD + DN - AC = AD + DC - AB + AD 4 ( ) = AD + AB - AB + AD = AD + AB Suy ra: 4 ( ) æ öæ ö MB MN = çç AB - AD ÷÷÷çç AD + AB ÷÷÷ = AB AD + AB - AD - AD AB èç øèç ø 16 4 ( = ) (0 + 3a2 - 3a2 - 0) = 16 Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = Tích AB.BD A AB.BD = 62 B AB.BD = 64 C AB.BD = -62 D AB.BD = -64 Lời giải Chọn D Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có giá vuông góc với Ta có AB.BD = AB ( BA + BC ) = AB.BA + AB.BC = -AB AB + = -AB = -64 Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC = và BD = Tính AB AC A AB AC = 24 B AB AC = 26 C AB AC = 28 D AB AC = 32 Lời giải Chọn D Gọi O = AC Ç BD , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, AC theo các vectơ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 685 (35) có giá vuông góc với Ta có AB AC = AO + OB AC = AO AC + OB AC = AC AC + = AC = 32 2 ( ) nhọn và diện tích Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB = cm, AD = 12 cm , góc ABC 54 cm Tính cos AB, BC ( ) 16 B cos ( AB, BC ) = - 16 D cos ( AB, BC ) = - A cos ( AB, BC ) = C cos ( AB, BC ) = 16 16 Lời giải Chọn D Ta có S ABCD = 2.S DABC = 54 S DABC = 27 cm Diện tích tam giác ABC là: = AB AD sin ABC S DABC = AB BC sin ABC 2 2.27 2.S DABC sin ABC = = = AB AD 8.12 16 ¾¾ cos ABC = - sin ABC = 16 nhọn) (vì ABC Mặt khác góc hai vectơ AB, BC là góc ngoài góc ABC æ è ö ø Suy cos ( AB, BC ) = cos çç180 - ABC ÷÷÷ = - cos ABC = - 16 Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a Gọi K là trung điểm cạnh AD Tính BK AC A BK AC = B BK AC = -a2 C BK AC = a2 D BK AC = 2a2 Lời giải Chọn A Ta có AC = BD = AB + AD = 2a2 + a2 = a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 686 (36) Ta có ìï ïïBK = BA + AK = BA + AD í ïï ïïî AC = AB + AD æ ö ¾¾ BK AC = çç BA + AD ÷÷÷ AB + AD çè ø ( ) = BA AB + BA AD + AD AB + AD AD = -a + + + a 2 2 ( ) = Câu 26 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA ( MB + MC ) = là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm BC ¾¾ MB + MC = MI Ta có MA ( MB + MC ) = MA.2 MI = MA MI = MA ^ MI (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MA ^ MI hay M nhìn đoạn AI góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI Câu 27 Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB ( MA + MB + MC ) = với A, B, C là ba đỉnh tam giác A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ¾¾ MA + MB + MC = MG Ta có MB ( MA + MB + MC ) = MB.3 MG = MB MG = MB ^ MG (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MB ^ MG hay M nhìn đoạn BG góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG Câu 28 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Lời giải Chọn B Ta có MA BC = MA ^ BC Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với BC Câu 29 Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách a Tập hợp các điểm N thỏa mãn AN AB = a2 là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 687 (37) A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Lời giải Chọn B Gọi C là điểm đối xứng A qua B Khi đó AC = AB Suy AB AC = AB = 2a2 Kết hợp với giả thiết, ta có AN AB = AB AC AB AN - AC = AB.CN = CN ^ AB ( ) Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB Câu 30 Cho hai điểm A, B cố định và AB = Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB = -16 là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB ¾¾ IA = -IB Ta có MA MB = ( MI + IA )( MI + IB ) = ( MI + IA )( MI - IA ) AB = MI - IA = MI - IA = MI Theo giả thiết, ta có MI - AB AB 82 = -16 MI = -16 = -16 = ¾¾ M º I 4 Câu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (3; -1), B (2;10 ), C (-4;2 ) Tính tích vô hướng AB AC A AB AC = 40 B AB AC = -40 C AB AC = 26 D AB AC = -26 Lời giải Chọn A Ta có AB = (-1;11), AC = (-7;3) Suy AB AC = (-1) (-7 ) + 11.3 = 40 Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (3; -1) và B (2;10 ) Tính tích vô hướng AO.OB A AO.OB = -4 B AO.OB = C AO.OB = D AO.OB = 16 Lời giải Chọn C Ta có AO = (-3;1), OB = (2;10 ) Suy AO.OB = -3.2 + 1.10 = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 688 (38) Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + j và b = 3i - j Tính tích vô hướng a.b A a.b = -30 B a.b = C a.b = 30 D a.b = 43 Lời giải Chọn A Từ giả thiết suy a = (4;6 ) và b = (3;-7) Suy a.b = 4.3 + (-7 ) = -30 Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-3;2) và b = (-1;-7 ) Tìm tọa độ vectơ c biết c.a = và c.b = -20 A c = (-1;-3) B c = (-1;3) C c = (1;-3) D c = (1;3) Lời giải Chọn B Gọi c = ( x ; y ) Ta có ìïc.a = ìï-3 x + y = ì ï x = -1 ï íï íï ¾¾ c = (-1;3) í ïïc.b = -20 ïîï-x - y = -20 ï ïy = î ïî Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3) Tính P = a b + c ( ) A P = B P = 18 C P = 20 D P = 28 Lời giải Chọn B Ta có b + c = (6;6 ) Suy P = a (b + c) = 1.6 + 2.6 = 18 Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-1;1) và b = (2;0) Tính cosin góc hai vectơ a và b A cos (a, b) = B cos (a, b) = - C cos (a, b) = - 2 D cos (a, b) = Lời giải Chọn B Ta có -1.2 + 1.0 a.b =cos a, b = = 2 2 a.b (-1) + + ( ) Câu 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-2;-1) và b = (4;-3) Tính cosin góc hai vectơ a và b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 689 (39) A cos (a, b) = - B cos (a, b) = C cos (a, b) = D cos (a, b) = Lời giải Chọn A -2.4 + (-1) (-3) a.b Ta có cos a, b = = = + 16 + a.b ( ) Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7) Tính góc a hai vectơ a và b A a = 90 O B a = 60O C a = 45O D a = 30O Lời giải Chọn C a.b 4.1 + 3.7 Ta có cos a, b = = = ¾¾ a, b = 450 16 + + 49 a.b ( ) ( ) Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2 ) và y = (-3;-1) Tính góc a hai vectơ x và y A a = 45O B a = 60O C a = 90 O D a = 135O Lời giải Chọn D (-3) + (-1) x y Ta có cos x , y = = =¾¾ x , y = 1350 + + x.y ( ) ( ) Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;-7) Tính góc a hai vectơ a và b A a = 30O B a = 45O C a = 60 O D a = 135O Lời giải Chọn D 2.3 + (-7 ) a.b Ta có cos a, b = = =¾¾ a, b = 1350 + 25 + 49 a.b ( ) ( ) Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3) Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a ? A v1 = (1;-3) B v2 = (2;-6) C v3 = (1;3) D v4 = (-1;3) Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 690 (40) Kiểm tra tích vô hướng a.v , đáp án nào cho kết khác thì kết luận vectơ đó không vuông góc với a Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1;2 ), B (-1;1) và C (5;-1) Tính cosin góc hai vectơ AB và AC B cos ( AB, AC ) = D cos ( AB, AC ) = - A cos ( AB, AC ) = - C cos ( AB, AC ) = - Lời giải Chọn D Ta có AB = (-2;-1) và AC = (4;-3) -2.4 + (-1) (-3) AB AC Suy cos AB, AC = = = + 16 + AB AC ( ) Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (6;0 ), B (3;1) và C (-1;-1) Tính số đo góc B tam giác đã cho A 15O B 60O C 120O D 135O Lời giải Chọn D Ta có BA = (3;-1) và BC = (-4;-2) Suy ra: (-4 ) + (-1) (-2 ) BA BC = BA, BC = 135O cos BA, BC = = =¾¾ B + 16 + BA BC ( ) ( ) Câu 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (-8;0), B (0;4 ), C (2;0 ) và D (-3;-5) Khẳng định nào sau đây là đúng? và BCD phụ A Hai góc BAD là góc nhọn B Góc BCD C cos ( AB, AD ) = cos (CB, CD ) và BCD bù D Hai góc BAD Lời giải Chọn D Ta có AB = (8;4 ), AD = (5;-5), CB = (-2;4 ), CD = (-5;5) Suy ì ï ï cos ï ï ï ï í ï ï ïcos ï ï ï î 8.5 + (-5) ( AB, AD ) = (CB, CD ) = + 52 + 52 (-2 ) (-5) + (-5) 2 2 +4 +5 = 10 =- 10 + BCD = 180 ¾¾ cos AB, AD + cos CB, CD = BAD ( ) ( ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 691 (41) 1 Câu 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - j và v = ki - j Tìm k để vectơ u vuông góc với v A k = 20 B k = -20 C k = -40 D k = 40 Lời giải Chọn C ö æ1 Từ giả thiết suy u = ççç ;-5÷÷÷, v = (k ;-4 ) è2 ø Yêu cầu bài toán: u ^ v k + (-5)(-4 ) = k = -40 1 Câu 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - j và v = ki - j Tìm k để vectơ u và vectơ v có độ dài A k = 37 B k = 37 C k = 37 D k = Lời giải Chọn C æ1 ö Từ giả thiết suy u = ççç ;-5÷÷÷, v = (k ;-4 ) è2 ø 1 101 và v = k + 16 Do đó để + 25 = Suy u = Câu 47 101 37 37 u = v k + 16 = 101 k + 16 = k2 = k = 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (-2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với k , m Î Biết vectơ c vuông góc với vectơ a + b Khẳng định nào sau đây đúng? ( A k = 2m B 3k = 2m ) C k + 3m = D 3k + 2m = Lời giải Chọn C Ta có ì ï c = ka + mb = (-2 k + m ;3k + m ) ï ï í ï ï ï îa + b = (2;4 ) Để c ^ (a + b) c (a + b) = (-2 k + m ) + (3k + m ) = k + 3m = Câu 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-2;3) và b = (4;1) Tìm vectơ d biết a.d = và b.d = -2 æ5 ö A d = ççç ; ÷÷÷ è7 ø æ 6ö B d = ççç- ; ÷÷÷ è 7ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 æ5 è7 6ö 7ø C d = ççç ;- ÷÷÷ æ è 6ö 7ø D d = ççç- ;- ÷÷÷ Trang 692 (42) Lời giải Chọn B Câu 49 ìï ï ìïï-2 x + y = ïïï x = - Gọi d = ( x ; y ) Từ giả thiết, ta có hệ í í ïïî x + y = -2 ïï = y ïï ïî Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4 ) và a = u + m.v với m Î Tìm m để a vuông góc với trục hoành A m = B m = -4 C m = -2 D m = Lời giải Chọn B Ta có a = u + m.v = (4 + m ;1 + m ) Trục hoành có vectơ đơn vị là i = (1;0) Vectơ a vuông góc với trục hoành a.i = + m = m = -4 Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4 ) Tìm m để vectơ a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j góc 450 A m = 4 B m = - C m = - D m = Lời giải Chọn C Ta có ìïa = m.u + v = (4 m + 1; m + ) ïï í ïïb = i + j = (1;1) ïî Yêu cầu bài toán cos (a, b) = cos 450 = (4 m + 1) + (m + ) 2 (4 m + 1) + (m + ) = 2 (m + 1) 2 = 2 2 17m + 16 m + 17 ïìm + ³ (m + 1) = 17 m + 16m + 17 ïí m =- 2 ïîï25m + 50 m + 25 = 17m + 16 m + 17 Câu 51 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách hai điểm M (1; - ) và N (- 3; ) A MN = B MN = C MN = D MN = 13 Lời giải Chọn D Ta có MN = (- 4;6) suy MN = (- )2 + = 42 = 13 Câu 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;4 ), B (3;2 ), C (5; ) Tính chu vi P tam giác đã cho Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 693 (43) A P = + 2 B P = + C P = + D P = + 2 Lời giải Chọn B Ta có ìï AB = (2; - ) ìïï AB = 2 + (- )2 = 2 ïï ïï ïï ï 2 íBC = (2;2 ) íïBC = + = 2 ïï ïï ïïCA = (- 4;0 ) ïïCA = - + = ( ) ïï îï î Vậy chu vi P tam giác ABC là P = AB + BC + CA = + 3 4 Câu 53 Trong hệ tọa độ (O; i ; j ) , cho vectơ a = - i - j Độ dài vectơ a A B C D Lời giải Chọn B 2 æ 3ö æ ö æ 4ö 3 Ta có a = - i - j ¾¾ a = çç- ; - ÷÷÷ a = çç- ÷÷÷ + çç- ÷÷÷ = çè 5 ø çè ø çè ø 5 Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3; ) và v = (- 8;6 ) Khẳng định nào sau đây đúng? B u và v cùng phương A u = v C u vuông góc với v D u = - v Lời giải Chọn C Ta có u.v = (- 8) + 4.6 = suy u vuông góc với v æ 3ö Câu 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A (1;2 ), B (- 2; - ), C (0;1) và D ççç-1; ÷÷÷ Mệnh è 2ø đề nào sau đây đúng? A AB cùng phương với CD B AB = CD C AB ^ CD D AB = CD Lời giải Chọn C æ 1ö Ta có AB = (- 3;- 6) và CD = ççç-1; ÷÷÷ suy AB.CD = (- 3) (-1) + (- 6) = è 2ø Vậy AB vuông góc với CD Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (7;-3), B (8;4 ), C (1;5) và D (0;-2 ) Khẳng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 694 (44) định nào sau đây đúng? A AC ^ CB B Tam giác ABC C Tứ giác ABCD là hình vuông D Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn Lời giải Chọn C 2 ìï ïï AB = (1;7 ) AB = + = ïï ïBC = (-7;1) BC = Ta có ïí ¾¾ AB = BC = CD = DA = ïïCD = (-1; -7 ) CD = ïï ïï ïî DA = (7; -1) DA = Lại có AB.BC = 1(-7) + 7.1 = nên AB ^ BC Từ đó suy ABCD là hình vuông Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (-1;1), B (0;2), C (3;1) và D (0;-2) Khẳng định nào sau đây là đúng? A Tứ giác ABCD là hình bình hành B Tứ giác ABCD là hình thoi C Tứ giác ABCD là hình thang cân D Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn Lời giải Chọn C Ta có ìï AB = (1;1) ïï ¾¾ DC = AB í ïï DC = (3;3) ïî Suy DC AB và DC = AB (1) ìï AD = 12 + 32 = 10 Mặt khác ïïí ¾¾ AD = BC (2 ) ïïBC = 32 + 12 = 10 ïî Từ (1) và (2) , suy tứ giác ABCD là hình thang cân Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-1;1), B (1;3) và C (1;-1) Khẳng định nào sau đây là đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC có ba góc nhọn C Tam giác ABC cân B D Tam giác ABC vuông cân A Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 695 (45) Chọn D Ta có AB = (2;2), BC = (0;- ) và AC = (2;- 2) ìï AB = AC = 2 Suy ïí Vậy tam giác ABC vuông cân A 2 ïï AB + AC = BC î Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (10;5), B (3;2 ) và C (6;-5) Khẳng định nào sau đây là đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông cân A C Tam giác ABC vuông cân B D Tam giác ABC có góc A tù Lời giải Chọn C Ta có AB = (-7;- 3), BC = (3;-7) và AC = (- 4;-10) Suy AB.BC = (- ).3 + (- 3) (- ) = và AB = BC Vậy tam giác ABC vuông cân B Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-2;-1), B (1;-1) và C (-2;2 ) Khẳng định nào sau đây là đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông cân A C Tam giác ABC vuông B D Tam giác ABC vuông cân C Lời giải Chọn B Ta có AB = (3;0 ), BC = (- 3;3) và AC = (0;3) ïì AB = AC = Do đó ïí AB + AC = BC ïïBC = î Vậy tam giác ABC vuông cân A Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (-2;4 ) và B (8;4 ) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho tam giác ABC vuông C A C (6;0) B C (0;0 ), C (6;0) C C (0;0) D C (-1;0) Lời giải Chọn B ìïCA = (-2 - c;4 ) ïï Ta có C Î Ox nên C (c;0) và í ïïCB = (8 - c;4 ) ïî Tam giác ABC vuông C nên CA.CB = (-2 - c) (8 - c) + 4.4 = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 696 (46) é c = C (6; ) c2 - c = êê êë c = C (0;0 ) Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;2 ) và B (-3;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung cho tam giác ABC vuông A A C (0;6 ) B C (5;0 ) C C (3;1) D C (0;-6 ) Lời giải Chọn A ì ï AB = (-4; -1) ï ï Ta có C Î Oy nên C (0; c) và í ï ï ï î AC = (-1; c - ) Tam giác ABC vuông A nên AB AC = (-4 ) (-1) + (-1)(c - ) = c = Vậy C (0;6 ) Câu 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( –4;0 ), B ( –5;0 ) và C (3;0 ) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB + MC = A M ( –2;0 ) B M (2;0 ) C M ( –4;0 ) D M ( –5;0 ) Lời giải Chọn A Ta có M Î Ox nên M ( x ;0 ) và ìï MA = (-4 - x ;0 ) ïï ïï MA + MB + MC = (-6 - x ;0 ) í MB = (-5 - x ;0 ) ¾¾ ïï ïï MC = (3 - x ;0 ) ïî Do MA + MB + MC = nên -6 - x = x = -2 ¾¾ M (-2;0 ) Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( –2;2 ) và N (1;1) Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành cho ba điểm M , N , P thẳng hàng A P (0;4 ) B P (0; –4 ) C P ( –4;0) D P (4;0) Lời giải Chọn D Ta có P Î Ox nên P ( x ;0 ) và Do M , N , P thẳng hàng nên ì ï MP = ( x + 2; -2 ) ï ï í ï ï ï î MN = (3; -1) x + -2 = x = ¾¾ P (4;0 ) -1 Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (-1;4 ) A M (1;0 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B M (1;0 ), M (-3;0) Trang 697 (47) C M (3;0) D M (1;0), M (3;0) Lời giải Chọn B Ta có M Î Ox nên M (m ;0) và MN = (-1 - m ;4 ) Theo giả thiết: MN = MN = (-1 - m )2 + = é m = ¾¾ M (1;0 ) (1 + m ) + 16 = 20 m + 2m - = êê M (-3;0 ) ëê m = -3 ¾¾ Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;3) và B (4;2) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho C cách hai điểm A và B æ ö A C ççç- ;0÷÷÷ è ø æ5 ö æ B C ççç ;0÷÷÷ è3 ø ö æ3 C C ççç- ;0÷÷÷ è ø ö D C ççç ;0÷÷÷ è5 ø Lời giải Chọn B Ta có C Î Ox nên C ( x ;0) và ìï AC = ( x -1; -3) ïï í ïïBC = ( x - 4;-2 ) ïî æ5 ö Do CA = CB CA = CB ( x -1)2 + (-3)2 = ( x - )2 + (-2)2 x = ¾¾ C çç ;0÷÷÷ çè ø Câu 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2;2), B (5;- 2) Tìm điểm M thuộc trục = 90 ? hoàng cho AMB A M (0;1) B M (6;0 ) C M (1;6 ) D M (0;6 ) Lời giải Chọn B Ta có M Î Ox nên M (m ;0 ) và ìï AM = (m - 2; - ) ïï í ïïBM = (m - 5;2 ) ïî = 90 suy AM BM = nên (m - )(m - 5) + (- ).2 = Vì AMB é M (1;0 ) ém = m - 7m + = ê ¾¾ êê êm = ë êë M (6;0 ) Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;-1) và B (3;2) Tìm M thuộc trục tung cho MA + MB nhỏ A M (0;1) B M (0; -1) æ 1ö C M ççç0; ÷÷÷ è 2ø æ 1ö D M ççç0;- ÷÷÷ è 2ø Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 698 (48) Chọn C Ta có M Î Oy nên M (0; m ) và ìï MA = (1; -1 - m ) ïï í ïï MB = (3;2 - m ) ïî Khi đó MA + MB = MA + MB = 12 + (-1 - m )2 + 32 + (2 - m )2 = 2m - 2m + 15 æ 1ö 29 29 = ççm - ÷÷÷ + ³ ; "m Î çè 2ø 2 Suy {MA + MB }min = 29 Dấu '' = '' xảy và m = æ 1ö ¾¾ M çç0; ÷÷÷ èç ø Câu 69 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A (-2;0 ), B (2;5), C (6;2 ) Tìm tọa độ điểm D A D (2; -3) B D (2;3) C D (-2; -3) D D (-2;3) Lời giải Chọn A Gọi D ( x ; y ) Ta có AD = ( x + 2; y ) và BC = (4;-3) Vì ABCD là hình bình hành nên ìx = ïì x + = ï AD = BC ¾¾ ïí ïí ¾¾ D (2; -3) ï ïîï y = -3 ï y = -3 î Câu 70 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;3), B (-2; ), C (5;3) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác đã cho æ 10 ö A G ççç2; ÷÷÷ è 3ø æ8 B G ççç ;è3 10 ö÷ ÷ ÷ø C G (2;5) æ 10 ö÷ ÷ ÷ø D G ççç ; è3 Lời giải Chọn D 1- + ïìï = ïï x G = 3 ï Tọa độ trọng tâm G ( x G ; yG ) là í ïï + + 10 = ïï yG = 3 ïî Câu 71 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-4;1), B (2; ), C (2; -2 ) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho æ1 ö A I ççç ;1÷÷÷ è4 ø æ ö B I ççç- ;1÷÷÷ è ø æ 1ö C I ççç1; ÷÷÷ è 4ø æ 1ö D I ççç1;- ÷÷÷ è 4ø Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 699 (49) Gọi I ( x ; y ) Ta có ì ï AI = ( x + 4; y -1) ï ï ï ïBI = ( x - 2; y - ) í ï ï ï CI = ( x - 2; y + ) ï ï î ìïIA = IB ïïîIB = IC Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC ïí ì ìï( x + )2 + ( y -1)2 = ( x - )2 + ( y - )2 ïìï( x + )2 = ( x - )2 + ïïï x = ï í í í 2 2 ï ï ïïîï( x - ) + ( y - ) = ( x - ) + ( y + ) îï y = ïîï y = Câu 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-3;0), B (3;0 ) và C (2;6) Gọi H (a; b) là tọa độ trực tâm tam giác đã cho Tính a + 6b A a + 6b = B a + 6b = C a + 6b = D a + 6b = Lời giải Chọn C Ta có ìï AH = (a + 3; b) & BC = (-1;6 ) ïï í ïïBH = (a - 3; b) & AC = (5;6 ) ïî Từ giả thiết, ta có: ìï AH BC = ìï(a + 3) (-1) + b.6 = ìïïa = ï ïí ïí ¾¾ a + 6b = í ïïBH AC = ïï(a - 3).5 + b.6 = ïïb = î ïî ïî Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (4;3), B (2;7) và C (- 3;- 8) Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A A ' (1;- ) B A ' (-1;4 ) C A ' (1;4 ) D A ' (4;1) Lời giải Chọn C Gọi A ' ( x ; y ) Ta có Từ giả thiết, ta có ì ï AA ' = ( x - 4; y - 3) ï ï ï ïBC = (- 5; -15) í ï ï ï BA ' = ( x - 2; y - ) ï ï î ì ï ìï AA ' ^ BC ï AA ' BC = (1) ï í í ï BA ' = k BC ( ) ï îB, A ', C thang hang ï ï ï î · (1) - ( x - ) -15 ( y - 3) = x + y = 13 · (2 ) x - y -7 = x - y = -1 -5 -15 ìï x + y = 13 ìï x = íï ¾¾ A ' (1;4 ) Giải hệ íï ï ï îï3 x - y = -1 îï y = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 700 (50) Câu 74 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2;4 ), B (-3;1), C (3;-1) Tìm tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A tam giác đã cho æ3 1ö æ A A ' ççç ; ÷÷÷ è5 5ø 1ö æ 1ö B A ' ççç- ;- ÷÷÷ è 5ø C A ' ççç- ; ÷÷÷ è 5ø æ3 1ö D A ' ççç ;- ÷÷÷ è5 5ø Lời giải Chọn D Gọi A ' ( x ; y ) Ta có ì ï AA ' = ( x - 2; y - ) ï ï ï ïBC = (6; -2 ) í ï ï ï BA ' = ( x + 3; y -1) ï ï î Vì A ' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A tam giác ABC nên ì AA ' ^ BC ï ï í ï ï îB, C , A ' thaúng haøng ì ì ï ì( x - ).6 + ( y - ) (-2 ) = ïïï ì AA ' BC = ïï ïïï x = ï x y = ï ï ï í ï ï í í í x + y -1 ïïBA ' = k BC ïï ï ï x y = = ï ï ï î y =ï ï -2 ï î ï ïï ï î ï î Câu 75 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A (-3;-2), B (3;6) và C (11;0 ) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông A D (5;- 8) B D (8;5) C D (- 5;8) D D (- 8;5) Lời giải Chọn A = 90 Dễ dàng kiểm tra BA.BC = ¾¾ ABC Gọi I là tâm hình vuông ABCD Suy I là trung điểm AC ¾¾ I (4; -1) Gọi D ( x ; y ) , I là trung điểm ìx +3 ï ï =4 ï ì ïx = ï BD ¾¾ íï íï D (5; - 8) ïï y + ïî y = -8 ï = -1 ï ï ï î Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2; ) và B (1;1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C (4;0 ) B C (-2;2 ) C C (4;0 ), C (-2;2 ) D C (2;0 ) Lời giải Chọn C Gọi C ( x ; y ) Ta có ì ï BA = (1;3) ï ï í ï = BC x 1; y ï ( ) ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 701 (51) ì ï ì ï1 ( x -1) + ( y -1) = Tam giác ABC vuông cân B ïíBA.BC = ïí ï ï ï îBA = BC 2 2 ï ï î1 + = ( x -1) + ( y -1) ïì y = ïì x = - y ïì y = ï ï hay ï í í í ï ï ï10 y - 20 y = îï x = ïï î î x = -2 Câu 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1;-1) và B (3;0) Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm B D (2;-3) A D (0;-1) C D (2;-3), D (0;1) D D (-2;-3) Lời giải Chọn B Gọi C = ( x ; y ) Ta có ì ï AB = (2;1) ï ï í ï ï ï îBC = ( x - 3; y ) Vì ABCD là hình vuông nên ta có ì ï AB ^ BC ï í ï ï î AB = BC ì y = (3 - x ) ìï y = (3 - x ) ìï x = ïì2 ( x - 3) + y = ï ìï x = ïí ï ïí ïí ïí í 2 2 ï ïï5 ( x - 3) = ïï( x - 3) = ïîï y = -2 ïïî y = ï îïï( x - 3) + y = î ï î Với C1 (4;-2) ta tính đỉnh D1 (2;-3) : thỏa mãn Với C2 (2;2 ) ta tính đỉnh D2 (0;1) : không thỏa mãn Câu 78 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (1;2 ), B (-1;3), C (- 2;-1) và D (0; - ) Mệnh đề nào sau đây đúng? A ABCD là hình vuông B ABCD là hình chữ nhật C ABCD là hình thoi D ABCD là hình bình hành Lời giải Chọn D Ta có ì ï AB = (- 2;1) ï ï ì ïï AB = DC ïï = ¾¾ ¾¾ ABCD BC 1; ( ) í í ï ï = ¹ AB BC ï ï ï î ï DC = (- 2;1) ï ï î là hình hình hành Câu 79 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A (1;3) và B (4;2) Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác góc O tam giác OAB æ5 5ö æ3 è2 A E = ççç ; ÷÷÷ è2 2ø C E = (-2 + 2;4 + ) ( 1ö 2ø B E = ççç ;- ÷÷÷ D ) E = -2 + 2;4 - Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 702 (52) Lời giải Chọn D Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có Vì E nằm hai điểm A, B nên EA = Gọi E ( x ; y ) Ta có Từ (*) , suy EA OA = = EB OB 2 EB (*) ì ï EA = (1 - x ;3 - y ) ï ï í ï EB = x y ;2 ï ( ) ï î ì ï ï 1- x = ï ï ï í ï ï ï 3- y = ï ï î (4 - x ) ìï x = -2 + 2 ï í ï y = 4- ï î (2 - y ) Câu 80 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (2;0 ), B (0;2 ) và C (0;7) Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD A D (7;0) B D (7;0 ), D (2;9 ) C D (0;7 ), D (9;2 ) D D (9;2) Lời giải Chọn B Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song không và cặp cạnh còn lại có độ dài Gọi D ( x ; y ) ì ï AB CD Trường hợp 1: ïí CD = k AB (với k ¹ -1 ) ï ï î AB ¹ CD ì x = -2 k ï (1) ( x - 0; y - ) = (-2 k ;2 k ) ï í ï ï î y = 2k + Ta có ìï ïï AD = ( x - 2; y ) AD = ( x - ) + y 2 ¾¾ AD = BC ( x - ) + y = 25 (2 ) í ïï ïîBC = (0;5) BC = Từ (1) và (2) , ta có é k = -1(loại) ê ¾¾ D (7;0 ) (-2 k - 2) + (2 k + 7) = 25 êê êë k = - 2 ì ï AD BC Trường hợp 2: ïí Làm tương tự ta D = (2;9 ) ï ï î AD ¹ BC Vậy D (7;0) D (2;9) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 703 (53) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 704 (54) BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định lí côsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c A Ta có b a = b2 + c2 - 2bc cos A ; c b2 = c2 + a2 - 2ca cos B ; c2 = a + b2 - 2ab cos C cos A = b2 + c - a ; 2bc cos B = a B Hệ c + a - b2 ; ca cos C = C a + b2 - c2 ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại A tiếp Ta có I a B Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có m a , mb , m c là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có b2 + c a m = - ; 2 a c b + m b2 = - ; a + b2 c 2 mc = - b c a b c = = = 2R sin A sin B sin C C A a ma c b mb B mc a C Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , hb , hc là độ dài đường cao tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; ● p= a +b+c là nửa chu vi tam giác; ● S là diện tích tam giác Khi đó ta có: S= 1 aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R = pr = p ( p - a)( p - b)( p - c) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 705 (55) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: xác định các yếu tố tam giác Phương pháp Sử dụng định lí côsin và định lí sin Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ các yếu tố các công thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = và cos A = Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A Lời giải Áp dụng định lí côsin ta có BC = AB + AC - 2AB.AC cos A = 42 + 52 - 2.4.5 = 29 Suy BC = 29 Vì sin2 A + cos2 A = nên sin A = = 25 1 = AB.AC sin A = 4.5 = (1) 2 - cos2 A = Theo công thức tính diện tích ta có S ABC 1- 1 Mặt khác S ABC = a.ha = 29.ha (2) 2 16 29 Từ (1) và (2) suy 29.ha = = 29 16 29 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là = 29 = 300 , B = 450 Tính Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính 3, biết A độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Lời giải 0 Ta có C = 180 - A - B = 180 - 30 - 450 = 1050 Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3 sin 300 = , =3 2 c = 2R sin C = 2.3.sin 1050 » 5, 796 b = 2R sin B = 2.3.sin 450 = Theo công thức đường trung tuyến ta có m = a (b + c ) - a » ( 18 + 5, 7962 ) - = 23, 547 Theo công thức tính diện tích tam giác ta có bc sin A 2.5, 796 sin 300 S ABC = pr = bc sin A r = » » 0, 943 2p + + 5, 796 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC Biết 13 26 Tính độ dài cạnh AC và góc lớn tam giác ABC Lời giải (hình 2.7) = AB = 3, BC = 8, cos AMB Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 706 (56) A B M C Hình 2.7 BC = BM = Đặt AM = x Theo định lí côsin ta có 2 = AM + BM - AB cos AMB 2AM AB Suy 13 x + 16 - = 26 2.4.x é x = 13 ê 13x - 20 13x + 91 = ê ê x = 13 ê ë 13 Theo công thức tính đường trung tuyến ta có ( AB + AC ) - BC AM = 2AB.AC ( 32 + AC ) - 82 AC = TH1: Nếu x = 13 13 = Ta có BC > AC > AB góc A lớn Theo định lí côsin ta có AB + AC - BC + 49 - 64 = =cos A = 2AB.AC 2.3.7 Suy A » 98 12 ' 13 49 ( 32 + AC ) - 82 397 = AC = TH2: Nếu x = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB góc A lớn Theo định lí côsin ta có 397 AB + AC - BC + 13 - 64 53 cos A = = =2AB AC 397 5161 13 Suy A » 137 32 ' Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn = sin BDE Tính độ dài cạnh AB Lời giải (hình 2.8) Đặt AB = 2x ( x > ) AE = EB = x E A B nhọn nên cos BDE > suy Vì góc BDE =2 - sin2 BDE Theo định lí Pitago ta có: DE = AD + AE = + x DE = = cos BDE D + x2 BD = DC + BC = 4x + BD = 4x + Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 C Hình 2.8 Trang 707 (57) Áp dụng định lí côsin tam giác BDE ta có = cos BDE DE + DB - EB 2 = 2DE DB 4x - 4x + = 2x = x = Vậy độ dài cạnh AB là 4x + ( + x )( 4x + ) (Do x > ) 2 Dạng 2: giải tam giác Phương pháp Giải tam giác là tính các cạnh và các góc tam giác dựa trên số điều kiện cho trước Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau : biết cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc tam giác 1800 và tam giác đối diện với góc lớn thì có cạnh lớn và ngược lại đối diện với cạnh lớn thì có góc lớn Các ví dụ = 87 Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A Lời giải Theo định lí côsin ta có a = b + c - 2bc.cos A = 322 + 42 - 2.32.4.sin 87 Suy a » 53, Theo định lí sin ta có b sin A 32 sin 87 » 360 sin B = = B a 53, -B » 1800 - 87 - 360 = 57 Suy C = 1800 - A = 600 , B = 400 và c = 14 Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A Lời giải = 1800 - A -B = 1800 - 600 - 400 = 800 Ta có C Theo định lí sin ta có c sin A 14.sin 600 a = = a » 12, sin C sin 800 c sin B 14.sin 400 b= = b » 9,1 sin C sin 800 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a = 3, b = 2, c = - Tính góc lớn tam giác Lời giải đó góc A là lớn Theo giải thiết ta có c < b < a suy C < B < A Theo định lí côsin ta có ( ) + - - 122 4-4 b2 + c2 - a cos A = = = =2bc 2.2 - 3-8 ( ) = 1200 Suy A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 708 (58) Vậy góc lớn là góc A có số đo là 1200 Dạng 3: Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức Liên Quan Đến Các Yếu Tố Của Tam Giác, Tứ Giác Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng vế biến đổi tương đương đẳng thức đúng Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức bản, bất đẳng thức cạnh tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sin C Chứng minh a) a = bc b) cos A ³ Lời giải a b c a) Áp dụng định lí sin ta có sin A = , sin B = , sin C = 2R 2R 2R æ a ö b c Suy sin2 A = sin B.sin C çç ÷÷÷ = a = bc đpcm çè 2R ø 2R 2R b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có b2 + c2 - a b + c - bc 2bc - bc cos A = = ³ = đpcm 2bc 2bc 2bc Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cos A = p(p - a ) bc b) sin A + sin B + sin C = cos A B C cos cos 2 Lời giải (hình 2.9) a) Trên tia đối tia AC lấy D thỏa AD = AB = c suy tam giác BDA cân A và = 1A BDA Áp dụng định lý hàm số Côsin cho DABD , ta có: BD = AB + AD - 2AB.AD.cos BAD B =2c - 2c cos(1800 - A) b +c -a ) 2bc c 4c p(p - a ) = (a + b + c)(b + c - a ) = b b =2c (1 + cos A) = 2c (1 + 2 cp(p - a ) b Gọi I là trung điểm BD suy AI ^ BD Trong tam giác ADI vuông I, ta có BD = cos A = DI = BD = = cos ADI AD 2c I Suy D A C Hình 2.9 p(p - a ) bc Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 709 (59) Vậy cos A = p(p - a ) bc a b c p (1) + + = 2R 2R 2R R A p(p - a ) B p(p - b) C , tương tự thì cos = và cos = Theo câu a) ta có cos = 2 bc ca abc kết hợp với công thức S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) = 4R A B C p(p - a ) p(p - b) p(p - c) Suy cos cos cos = bc ca ab 2 4p pS p (2) = p(p - a )(p - b)(p - c) = = abc abc R A B C Từ (1) và (2) suy sin A + sin B + sin C = cos cos cos 2 Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác ta suy các công thức b) Từ định lý hàm số sin, ta có: sin A + sin B + sin C = p(p - c) , ab A (p -b)(p -c) A (p -b)(p -c) A p(p -a) sin = ; tan = ; cot = bc p(p -a) (p -b)(p -c) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cot A = b2 + c2 - a 4S b) cot A + cot B + cot C ³ Lời giải: a) Áp dụng định lí côsin và công thức S = bc sin A ta có: cot A = cos A b + c - a b + c - a = = đpcm sin A 2bc sin A 4S b) Theo câu a) tương tự ta có cot B = Suy cot A + cot B + cotC = = c2 + a - b2 a + b2 - c2 , cotC = 4S 4S b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 + + 4S 4S 4S a + b2 + c2 4S 3 æ 3p - a - b - c ö÷ æpö Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( p - a )( p - b )( p - c ) £ çç ÷ = çç ÷÷ ÷ çè ç ø è ÷ø Mặt khác S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) S £ Ta có p = (a + b + c ) £ (a + b + c ) p p3 p2 = 27 3 suy S £ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 a + b2 + c2 Trang 710 (60) Do đó cot A + cot B + cotC ³ a + b2 + c2 = a + b2 + c2 4 3 đpcm Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với là b + c = 5a Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với và tam giác GBC vuông G 2 æ ö÷ æ ö÷ 2 ç ç GB + GC = BC ç mb ÷÷ + ç mc ÷÷ = a (*) èç ø èç ø Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có 2(a + c ) - b 2(a + b ) - c mb2 = , mc2 = 4 Suy (*) ( mb2 + mc2 ) = a 2 é a + c ) - b 2 (a + b ) - c ùú 4ê ( 2 2 2 ê + ú = a 4a + b + c = 9a b + c = 5a ëê 4 ûú (đpcm) Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo Chứng minh : AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + 4EF Lời giải (hình 2.10) Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ABC và ADC ta có: AC B AB + BC = 2BE + (1) A AC CD + DA2 = 2DE + (2) E F Từ (1) và (2) suy C AB + BC + CD + DA2 = ( BE + DE ) + AC D Hình 2.10 Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF + BD 2 Suy AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + 4EF Dạng 4: Nhận Dạng Tam Giác Phương pháp giải Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = sin B cos A Chứng minh minh tam giác ABC cân Lời giải Áp dụng định lí côsin và sin ta có: c b b2 + c2 - a = sin C = sin B cos A 2R 2R 2bc 2 2 c = b +c -a a = b Suy tam giác ABC cân đỉnh C Trang 711 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 (61) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = sin B + sin C Chứng minh tam giác ABC cos B + cosC vuông Lời giải sin B + sin C sin A(cos B + cosC ) = sin B + sin C cos B + cosC a c2 + a - b2 a + b2 - c2 b +c ( )= + 2R 2ca 2ab 2R 2 2 2 b(c + a - b ) + c(a + b - c ) = 2b 2c + 2c 2b Ta có: sin A = b + c + b 2c + bc - a 2b - a 2c = (b + c)(b + c ) - a (b + c) = b + c = a DABC vuông A Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC các trường hợp sau: a) a sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc b) cos2 A + cos2 B = (cot2 A + cot2 B ) 2 sin A + sin B Lời giải 1 a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = aha suy 2 2S 2S 2S 2S 2S 2S = + + a sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc a + b + c bc ca ab a b c 2 2 2 a + b + c = ab + bc + ca (a - b ) + (b - c ) + (c - a ) = a =b =c Vậy tam giác ABC cos2 A + cos2 B = (cot2 A + cot2 B ) b) Ta có: 2 sin A + sin B 2 cos A + cos B + sin A + sin2 B = (cot2 A + + cot2 B + 1) 2 sin A + sin B 1 = ( + ) (sin2 A + sin2 B)2 = 4sin2 A sin2 B sin A + sin B sin A sin B 2 æ a ÷ö æ b ÷ö 2 ç ç sin A = sin B ç ÷÷ = ç ÷÷ a = b DABC cân C èç 2R ø èç 2R ø C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = Số đo góc A bằng: A 30 B 45 C 60 Lời giải D 90 Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có cos A = AB + AC - BC 52 + - = = AB AC 2.5.8 Do đó, A = 60 Câu 2: Tam giác ABC có AB = 2, AC = và A = 60 Tính độ dài cạnh BC A BC = B BC = C BC = Lời giải D BC = Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 712 (62) Theo định lí hàm cosin, ta có = 2 + 12 - 2.2.1 cos 60 = BC = BC = AB + AC - AB AC cos A Câu 3: Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC , cạnh AB = và = 60 Tính độ dài cạnh cạnh BC ACB A BC = + BC = B BC = - C BC = D + 33 Lời giải Chọn A Gọi M , N là trung điểm AB, BC ¾¾ MN A là đường trung bình DABC ¾¾ MN = M AC Mà MN = , suy AC = B Theo định lí hàm cosin, ta có C N AB = AC + BC - AC BC cos ACB = + BC - 2.6 BC cos 60 BC = + Câu 4: Tam giác ABC có AB = 2, AC = và C = 45 Tính độ dài cạnh BC A BC = B BC = 6+ 6- C BC = D BC = Lời giải Chọn B Theo định lí hàm cosin, ta có AB = AC + BC - AC BC cos C BC = Câu 5: 6+ 2 ( ) = ( 3) 2 + BC - BC cos 45 Tam giác ABC có B = 60, C = 45 và AB = Tính độ dài cạnh AC A AC = B AC = C AC = D AC = 10 Lời giải Chọn A Theo định lí hàm sin, ta có Câu 6: AB AC AC = = AC = sin 45 sin 60 sin C sin B = 60 Tính độ dài cạnh AC Cho hình thoi ABCD cạnh cm và có BAD A AC = B AC = C AC = Lời giải Chọn A = 60 ABC = 120 Do ABCD là hình thoi, có BAD Theo định lí hàm cosin, ta có AC = AB + BC - AB BC cos ABC = 12 + 12 - 2.1.1 cos120 = AC = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 D AC = B A C D Trang 713 (63) Câu 7: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = Điểm M thuộc đoạn BC cho MC = MB Tính độ dài cạnh AM A AM = B AM = C AM = Lời giải D AM = Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có : ( 42 + 62 - AB + BC - AC cos B = = AB BC 2.4.6 BM = BC = Do MC = MB ¾¾ ) = A Theo định lí hàm cosin, ta có AM = AB + BM - AB BM cos B = + 2 - 2.4.2 = 12 AM = Câu 8: Tam giác ABC có AB = B C M 6- , BC = 3, CA = 2 Gọi D là chân đường phân giác bao nhiêu độ? góc A Khi đó góc ADB A 45 B 60 C 75 Lời giải Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có: D 90 AB + AC - BC =2 AB AC = 120 BAD = 60 BAC = cos BAC A AB + BC - AC 2 = 45 = ABC AB BC = 60, ABD = 45 ADB = 75 Trong DABD có BAD = cos ABC Câu 9: B C D Tam giác ABC vuông A , đường cao AH = 32 cm Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với và Cạnh nhỏ tam giác này có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Lời giải Chọn B Do tam giác ABC vuông A , có tỉ lệ cạnh góc vuông AB : AC là : nên AB là cạnh nhỏ tam giác Ta có AB = AC = AB AC Trong DABC có AH là đường cao 1 1 1 = + = + = + AB = 40 2 AH AB AC AB æç 32 AB 16 AB 2ö ÷ AB ççè ÷÷ø Câu 10: Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho các góc , EPF , FPQ MPE Đặt MP = q, PQ = m, PE = x , PF = y Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A ME = EF = FQ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B ME = q2 + x - xq Trang 714 (64) C MF = q2 + y - yq D MQ = q2 + m - 2qm Lời giải Chọn C P M E Q F = EPF = FPQ = MPQ = 30 MPF = EPQ = 60 Ta có MPE Theo định lí hàm cosin, ta có ME = AM + AE - AM AE cos MAE = q2 + x - 2qx cos 30 = q + x - qx MF = AM + AF - AM AF cos MAF = q2 + y - 2qy cos 60 = q2 + y - qy MQ = MP + PQ = q2 + m = 30 Gọi A và B là hai điểm di động trên Ox và Oy cho Câu 11: Cho góc xOy AB = Độ dài lớn A đoạn OB bằng: B C 2 D Lời giải Chọn D Theo định lí hàm sin, ta có: y OB AB AB = OB = sin OAB = sin OAB = sin OAB sin 30 sin OAB sin AOB sin AOB = OAB = 90 Do đó, độ dài OB lớn và sin OAB Khi đó OB = B x O A = 30 Gọi A và B là hai điểm di động trên Ox và Oy cho Câu 12: Cho góc xOy AB = Khi OB A có độ dài lớn thì độ dài đoạn OA bằng: B C 2 D Lời giải Chọn B Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB = OB = sin OAB = sin OAB = sin OAB sin 30 sin OAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn và = OAB = 90 sin OAB Khi đó OB = y B x O A Tam giác OAB vuông A OA = OB - AB = 2 -12 = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 715 (65) Câu 13: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức bao nhiêu độ? b (b2 - a2 ) = c (a2 - c2 ) Khi đó góc BAC A 30 B 45 C 60 Lời giải D 90 Chọn C = Theo định lí hàm cosin, ta có cos BAC AB + AC - BC c2 + b2 - a2 = AB AC 2bc Mà b (b2 - a2 ) = c (a2 - c2 ) b3 - a2 b = a2 c - c3 -a2 (b + c) + (b3 + c3 ) = (b + c)(b2 + c2 - a2 - bc) = b2 + c2 - a2 - bc = (do b > 0, c > ) b2 + c2 - a2 = bc = Khi đó, cos BAC b2 + c - a = 60 = BAC 2bc Câu 14: Tam giác ABC vuông A , có AB = c, AC = b Gọi a là độ dài đoạn phân giác Tính theo b và c góc BAC a A a = 2bc b+c B a = (b + c) bc C a = 2bc b+c D a = (b + c) bc Lời giải Chọn A Ta có BC = AB + AC = b2 + c2 A Do AD là phân giác BAC BD = AB c c c b2 + c DC = DC = BC = AC b b+c b+c Theo định lí hàm cosin, ta có BD = AB + AD - AB AD cos ABD c2 (b2 + c2 ) (b + c) B D C = c2 + AD - 2c AD cos 45 æ c2 (b2 + c2 )ö÷ ç ÷÷ = AD - c AD + 2bc = AD - c AD + ççc2 2 ÷ çç (b + c) ÷÷ø (b + c) è AD = 2bc 2bc hay a = b+c b+c Câu 15: Hai tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách bao nhiêu hải lí? Kết gần với số nào sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí Lời giải Chọn B Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và = 60 A Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 716 (66) a = b2 + c2 - 2bc cos A = 30 + 40 - 2.30.40 cos 60 = 900 + 1600 -1200 = 1300 Vậy BC = 1300 » 36 (hải lí) Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Câu 16: Để đo khoảng cách từ điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao sông, người ta chọn điểm B cùng trên bờ với A cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C Ta = 450 và CBA = 70 Vậy sau đo đạc và tính toán đo khoảng cách AB = 40m , CAB khoảng cách AC gần với giá trị nào sau đây? A 53 m B 30 m C 41, m D 41 m Lời giải Chọn C Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có Vì sin C = sin (a + b ) nên AC = AC AB = sin B sin C AB sin b 40 sin 70 = » 41, 47 m sin (a + b ) sin 1150 Câu 17: Từ vị trí A người ta quan sát cây cao (hình vẽ) = 450 Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC Chiều cao cây gần với giá trị nào sau đây? A 17, 5m B 17m C 16, 5m D 16m Lời giải Chọn B = Trong tam giác AHB , ta có tan ABH AH » 11019 ' = = ¾¾ ABH BH 20 = 90 - ABH = 78 41' Suy ABC = 180 - BAC = 56 019 ' Suy ACB ( + ABC ) Áp dụng định lý sin tam giác ABC , ta AB CB AB sin BAC = ¾¾ CB = » 17m sin BAC sin ACB sin ACB Câu 18: Giả sử CD = h là chiều cao tháp đó C là chân tháp Chọn hai điểm A, B trên mặt đất cho ba điểm A, B và C thẳng hàng Ta đo AB = 24 m , = 630 , CBD = 48 CAD Chiều cao h tháp gần với giá trị nào sau đây? A 18m B 18, 5m C 60m D 60, 5m Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 717 (67) Chọn D Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có AD AB = sin b sin D + b nên D = a - b = 630 - 48 = 150 Ta có a = D Do đó AD = AB sin b 24 sin 480 = » 68, 91 m sin (a - b ) sin 150 Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD sin a » 61, m Câu 19: Trên nóc tòa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C cột ăng-ten góc 50 và 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị nào sau đây? A 12m B 19m C 24m D 29m Lời giải Chọn B = 10 và ABD = 180 - BAD = 180 - (50 + 90 ) = 40 Từ hình vẽ, suy BAC ( + ADB ) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có sin 40 BC AC BC sin ABC = = ¾¾ AC = » 18, m sin ABC sin 10 sin BAC sin BAC Trong tam giác vuông ADC , ta có sin CAD = CD ¾¾ CD = AC sin CAD = 11, m AC Vậy CH = CD + DH = 11, + = 18, m Câu 20: Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao giác kế là OC = 1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A = 60 Chiều cao tháp Đọc trên giác kế số đo góc AOB tháp gần với giá trị nào sau đây: A 40m B 114m C 105m D 110m A 60° B O 1m D 60m C Lời giải Chọn C = Tam giác OAB vuông B, có tan AOB AB AB = tan 60 0.OB = 60 m OB Vậy chiếu cao tháp là h = AB + OC = (60 + 1) m Câu 21: Từ hai vị trí A và B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ' Ngọn núi đó có độ cao so Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 718 (68) với mặt đất gần với giá trị nào sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Lời giải Chọn A = 60 , ABC = 1050 30 ¢ và c = 70 Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB Khi đó A + B + C = 180 C = 180 - ( A + B ) = 180 -1650 30 ¢ = 14 30 ¢ Theo định lí sin, ta có Do đó AC = b = b c b 70 = = hay sin 105 30 ¢ sin 14 30 ¢ sin B sin C 70 sin 1050 30 ¢ » 269, m sin 14 30 ¢ Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30 nên CH = AC 269, = = 134,7 m Vậy núi cao khoảng 135 m 2 Câu 22: Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Lời giải A Chọn D Áp dụng công thức đường trung tuyến m a2 = m a2 = b2 + c a 2 ta được: B AC + AB BC + 10 = = 25 ma = 4 C M Câu 23: Tam giác ABC vuông A và có AB = AC = a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác đã cho A BM = 1, 5a B BM = a C BM = a Lời giải là trung điểm AC AM = AC a = 2 Tam giác DBAM vuông A C A a2 a BM = AB + AM = a + = 2 a B Chọn D M D BM = M Câu 24: Tam giác ABC có AB = cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác đã cho A AM = 15 cm B AM = 10 cm C AM = cm D AM = 13 cm Lời giải Chọn A b2 + c a Áp dụng hệ thức đường trung tuyến m = ta được: A a m a2 = AC + AB BC 12 + 152 225 = = 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B M C Trang 719 (69) ma = 15 Câu 25: Tam giác ABC cân C , có AB = 9cm và AC = qua C Tính độ dài cạnh AD A AD = cm C AD = 12 cm 15 cm Gọi D là điểm đối xứng B B AD = cm D AD = 12 cm Lời giải Chọn C Ta có: D là điểm đối xứng B qua C C là trung điểm BD AC là trung tuyến tam giác DDAB D BD = BC = AC = 15 C Theo hệ thức trung tuyến ta có: AC = AB + AD BD BD AD = AC + - AB 2 B A æ15 ö 152 AD = çç ÷÷÷ + - = 144 AD = 12 çè ø = Câu 26: Tam giác ABC có AB = 3, BC = Gọi M là trung điểm BC Biết cos AMB 13 và 26 AM > Tính độ dài cạnh AC A AC = 13 B AC = C AC = 13 D AC = Lời giải Chọn D Ta có: M là trung điểm BC BM = = Trong tam giác ABM ta có: cos AMB BC = AM + BM - AB 2 AM BM + BM - AB = AM - AM BM cos AMB é ê AM = 13 > ( thoả mãn) 20 13 AM AM + = êê 13 13 < (loại) ê AM = êë 13 AM = 13 và AMC Ta có: AMB là hai góc kề bù = - cos AMB = - 13 cos AMC 26 A B M C Trong tam giác DAMC ta có: æ ö = 13 + 16 - 13.4 çç- 13 ÷÷ = 49 AC = AC = AM + CM - AM CM cos AMC çç 26 ÷÷ è ø = 120 Tính độ Câu 27: Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM = , CN = và BGC dài cạnh AB A AB = 11 B AB = 13 C AB = 11 D AB = 13 Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 720 (70) và BGN là hai góc kề bù mà BGC = 120 BGN = 120 Ta có: BGC G là trọng tâm tam giác DABC ìï ïïBG = BM = ï ïí ïï ïïGN = CN = 3 îï A N M G Trong tam giác DBGN ta có: BN = GN + BG - 2GN BG cos BGN B C BN = + 16 - 2.3.4 = 13 BN = 13 N là trung điểm AB AB = BN = 13 Câu 28: Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến là 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: A 24 B 24 C 72 D 72 Lời giải Chọn C Ta có: ìï b2 + c2 a2 ïïm = - = 81 ïï a ìïa = 73 ìïa2 = 292 ïï ïï ïï 2 b2 ï ï a +c ï - = 144 íb = 208 ïíb = 13 ímb = ïï ïï ïï ïï ïïc2 = 100 ïïc = 10 2 ïî ïïm = a + b - c = 225 î ïï c ïî Ta có: cos A = b2 + c2 - a2 208 + 100 - 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 æ ö÷ 18 13 sin A = - cos2 A = - çç ÷ = çè 13 ÷÷ø 65 2 Diện tích tam giác DABC : S DABC = bc sin A = 13.10 18 13 = 72 65 Câu 29: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Nếu a, b, c có liên hệ b2 + c2 = 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: A a B a C 2a D 3a Lời giải Chọn A Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác: ma2 = Mà: b2 + c2 = 2a2 ma2 = b2 + c a 2 a a 3a a - = ma = 4 Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A m + n = (a2 + b2 ) B m + n = (a2 + b2 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 721 (71) C (m + n ) = a2 + b2 D (m + n ) = a2 + b2 Lời giải Chọn B Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có: BO = BD = m BO là trung tuyến tam giác DABC BO = BA + BC AC m a + b2 n = - m + n = (a + b ) 4 Câu 31: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức a + b2 = 5c Góc hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A 30 B 450 C 60 D 90 Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm tam giác DABC Ta có: AM = BN = (b2 + c2 ) a2 AC + AB BC b2 + c2 a2 AG = AM = = 9 4 BA + BC AC c2 + a2 b2 c + a b2 GN = BN = = 18 36 4 Trong tam giác DAGN ta có: (b2 + c2 ) = cos AGN 2 AG + GN - AN = AG.GN 2 (b + c 2 ) - a c + a b2 b2 + - 18 36 (b2 + c2 ) - a c + a b2 18 36 a c + a b2 b2 + - 10c2 - (a2 + b2 ) 9 18 36 = =0 = (b2 + c2 ) a2 c2 + a b2 (b2 + c2 ) a2 c2 + a b2 - - 36.2 9 18 36 9 18 36 = 90 AGN - Câu 32: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến m a , mb , m c thỏa mãn 5ma2 = mb2 + m c2 Khi đó tam giác này là tam giác gì? A Tam giác cân C Tam giác vuông B Tam giác D Tam giác vuông cân Lời giải Chọn C Ta có: ì ï b2 + c a ï m a2 = ï ï ï ï 2 ï b2 ï a +c ímb = ï ï ï ï a + b2 c ï ï mc = ï ï ï î æ b2 + c Mà: 5ma2 = mb2 + mc2 ççç çè - a2 ÷ö a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 ÷= - + ÷÷ø 4 10b2 + 10c2 - 5a2 = 2a2 + c2 - b2 + a2 + 2b2 - c2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 722 (72) b2 + c2 = a2 tam giác DABC vuông Câu 33: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi m a , mb , m c là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét các khẳng định sau: (I ) m a2 + mb2 + mc2 = (a + b2 + c2 ) (II ) GA + GB + GC = (a2 + b2 + c2 ) Trong các khẳng định đã cho có A (I ) đúng B Chỉ (II ) đúng C Cả hai cùng sai D Cả hai cùng đúng Lời giải Chọn D ì ï b2 + c a ï m a2 = ï ï ï ï 2 ï a +c b2 m a2 + mb2 + m c2 = (a2 + b2 + c2 ) Ta có: ïímb2 = ï 4 ï ï ï a + b2 c ï ï m = c ï ï ï î 4 GA + GB + GC = (ma2 + mb2 + mc2 ) = (a2 + b2 + c2 ) = (a2 + b2 + c2 ) 9 Câu 34: Tam giác ABC có BC = 10 và A = 30 O Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 10 C R = 10 D R = 10 Lời giải Chọn B Áp dụng định lí sin, ta có 10 BC BC = 2R R = = = 10 sin 30 sin BAC sin A Câu 35: Tam giác ABC có AB = 3, AC = và A = 60 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 3 C R = D R = Lời giải Chọn A Áp dụng định lí Cosin, ta có BC = AB + AC - AB AC cos BAC = 32 + - 2.3.6 cos 60 = 27 BC = 27 BC + AB = AC Suy tam giác ABC vuông B, đó bán kính R = AC = Câu 36: Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 85 cm 85 C R = cm A R = 7 D R = cm B R = cm Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 723 (73) Chọn C Đặt p = AB + BC + CA = 24 Áp dụng công thức Hê – rông, ta có p ( p - AB )( p - BC )( p - CA ) = 24 (24 - 21) (24 -17 ) (24 -10 ) = 84 cm S DABC = Vậy bán kính cần tìm là S DABC = AB BC.CA AB BC.CA 21.17.10 85 cm R= = = 4R 4.S DABC 4.84 Câu 37: Tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R Khi đó bán kính R bằng: A R = C R = a a B R = a D R = a Lời giải Chọn C Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M là trung điểm BC 2 Ta có AM ^ BC suy S DABC = AM BC = AB - BM BC = Vậy bán kính cần tính là S DABC = AB BC.CA AB BC.CA R= = 4R 4.S DABC Câu 38: Tam giác ABC vuông A có đường cao AH = a2 a3 a2 4 = a 12 AB = Tính bán kính R cm và AC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = cm B R = 1, 5cm C R = 2cm D R = 3, 5cm Lời giải Chọn A Tam giác ABC vuông A, có đường cao AH AB AC = AH (*) Mặt khác AB 3 = AB = AC AC 4 æ12 ö AC = çç ÷÷÷ AC = ç è5ø vào (*), ta = BC = AB + AC = 5 Suy AB = Vậy bán kính cần tìm là R = BC = cm Câu 39: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = và CA = Gọi D là trung điểm BC Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD A R = B R = C R = 3 D R = Lời giải Chọn B Vì D là trung điểm BC AD = AB + AC BC = 27 AD = 3 Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 tam giác ABD Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 724 (74) Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 3 AB = 3 = 3 ' = a Bán kính Câu 40: Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B và CBB đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b và a là: A R = a + b2 - ab cos a sin a B R = a + b2 + ab cos a sin a C R = a2 + b2 + ab cos a cos a D R = a2 + b2 - 2ab sin a cos a Lời giải Chọn D ¢ = Xét tam giác BB ¢C vuông B ¢, có sin CBB B ¢C B ¢C = a sin a BC Mà AB ¢ + B ¢C = AC AB ¢ = b - a sin a và BB ¢2 = a2 cos2 a Tam giác ABB ¢ vuông B ¢, có AB = BB ¢2 + AB ¢2 = (b - a sin a )2 + a2 cos2 a = b2 - ab sin a + a sin a + a cos a = a2 + b2 - ab sin a Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là AB a2 + b2 - ab sin a = 2R R = cos a sin ACB = 60 Tính diện tích tam giác ABC Câu 40: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC A S DABC = C S DABC = 9 = B S DABC = D S DABC Lời giải Chọn B 2 Ta có S DABC = AB AC sin A = 3.6 sin 60 = = 30, ACB = 75 Tính diện tích tam giác ABC Câu 41: Tam giác ABC có AC = 4, BAC A S DABC = C S DABC = B S DABC = D S DABC = Lời giải Chọn C = 180 - BAC = 75 = ACB Ta có ABC ( + ACB ) Suy tam giác ABC cân A nên AB = AC = = Diện tích tam giác ABC là S DABC = AB AC sin BAC Câu 42: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A S DABC = 16 B S DABC = 48 C S DABC = 24 D S DABC = 84 Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 725 (75) Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 Do đó S = p ( p - a)( p - b)( p - c) = 24 (24 - 21)(24 -17 )(24 -10 ) = 84 = 60 Tính độ dài đường cao h tam giác Câu 43: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC a A = 3 B = C = 3 D = Lời giải Chọn C Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC = AB + AC - AB AC cos A = 27 ¾¾ BC = 3 1 2 2S = BC.ha ¾¾ = = BC Ta có S DABC = AB AC sin A = 3.6 sin 60 = Lại có S DABC = 60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A Câu 44: Tam giác ABC có AC = 4, ACB tam giác A h = B h = Lời giải C h = D h = Chọn A Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A = Tam giác vuông AHC , có sin ACH AH = = ¾¾ AH = AC sin ACH AC Câu 45: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Gọi B ' là hình chiếu vuông góc B trên cạnh AC Tính BB ' A BB ' = C BB ' = 168 17 B BB ' = 84 D BB ' = 84 17 Lời giải Chọn C Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = p ( p - a)( p - b)( p - c) = 24 (24 - 21)(24 -17 )(24 -10 ) = 84 2 Lại có S = b.BB ' ¬¾ 84 = 17.BB ' ¾¾ BB ' = 168 17 Câu 46: Tam giác ABC có AB = cm, AC = 18 cm và có diện tích 64 cm Giá trị sin A ằng: sin A = A sin A = C 8 D sin A = B sin A = Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 726 (76) 2 64 = 8.18 sin A sin A = Ta có S DABC = AB AC sin BAC = 450 Khi đó hình bình hành có diện Câu 47: Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a và BAD tích bằng: A 2a2 B a 2 C a D a2 Lời giải Chọn C 2 = a.a sin 450 = Diện tích tam giác ABD là S DABD = AB AD sin BAD Vậy diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD = 2.S DABD = a2 a2 = a2 Câu 48: Tam giác ABC vuông A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BF và CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng: A 50 cm C 75 cm B 50 cm D 15 105 cm Lời giải Chọn C Vì F là trung điểm AC FC = AC = 15 cm Đường thẳng BF cắt CE G suy G là trọng tâm tam giác ABC d ( B ;( AC )) BF AB = = d (G ;( AC )) = d ( B ;( AC )) = = 10 cm Khi đó 3 d (G ;( AC )) GF 2 Vậy diện tích tam giác GFC là: S DGFC = d (G ;( AC )) FC = 10.15 = 75 cm Câu 49: Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R = cm có diện tích bằng: A 13 cm B 13 cm 2 C 12 cm D 15 cm Lời giải Chọn C Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a Theo định lí sin, ta có BC a = 2R = 2.4 a = sin 60 = sin 60 sin BAC 2 = sin 60 = 12 cm Vậy diện tích cần tính là S DABC = AB AC sin BAC ( ) Câu 50: Tam giác ABC có BC = 3, AC = AB và độ dài đường cao AH = Tính độ dài cạnh AB A AB = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B AB = Trang 727 (77) C AB = AB = 21 D AB = AB = 3 Lời giải Chọn C Ta có p = AB + BC + CA + AB = 2 æ AB + öæ ÷÷çç AB - öæ ÷÷çç - AB öæ ÷÷çç + AB ö÷÷ Suy S = ççç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ èç ÷ç øè 2 ÷ç øè ÷ç øè ø÷ 2 Lại có S = BC AH = æ AB + öæ ÷÷çç AB - öæ ÷÷çç - AB ÷÷öæçç + AB ÷÷ö ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ 2 2 øèç øèç øèç ø Từ đó ta có = ççç èç ¬¾ 12 = (9 AB -12)(12 - AB ) 16 é AB = ê ¬¾ ê ê AB = 21 ê ë Câu 51: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần và giữ nguyên độ lớn góc C thì đó diện tích tam giác tạo nên bằng: A 2S B 3S C 4S D 6S Lời giải Chọn D 2 = ab sin ACB Diện tích tam giác ABC ban đầu là S = AC.BC sin ACB Khi tăng cạnh BC lên lần và cạnh AC lên lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là = AC BC sin ACB = 6S S DABC = (3 AC ) (2 BC ) sin ACB 2 Câu 52: Tam giác ABC có BC = a và CA = b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 60 B 90 C 150 D 120 Lời giải Chọn B 2 = ab sin ACB Diện tích tam giác ABC là S DABC = AC.BC sin ACB £ 1, "C nên suy S Vì a, b không đổi và sin ACB DABC £ ab = ACB = 90 Dấu " = " xảy và sin ACB Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC là S = ab Câu 53: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với và có BC = , góc = 30 Tính diện tích tam giác ABC BAC A S DABC = 3 B S DABC = C S DABC = D S DABC = 3 Lời giải Chọn C Vì BM ^ CN ¾¾ 5a = b2 + c2 (Áp dụng hệ đã có trước) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 728 (78) Trong tam giác ABC , ta có a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 5a2 - 2bc cos A ¾¾ bc = 2a2 cos A 2a2 sin A = a tan A = 3 cos A Khi đó S = bc sin A = = 60 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp Câu 54: Tam giác ABC có AB = 5, AC = và BAC tam giác đã cho A r = B r = C r = D r = Lời giải Chọn C Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC = AB + AC - AB AC cos A = 49 ¾¾ BC = 2 Diện tích S = AB AC sin A = 5.8 S p = 10 2S = AB + BC + CA Lại có S = p.r ¾¾ r = = Câu 55: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác đã cho A r = 16 B r = C r = D r = Lời giải Chọn C Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = 24 (24 - 21)(24 - 17 )(24 - 10) = 84 S p Lại có S = p.r ¾¾ r = = 84 = 24 Câu 56: Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cạnh a A r = a B r = a C r = a D r = a Lời giải Chọn C Diện tích tam giác cạnh a bằng: S = Lại có a2 S a S = pr ¾¾ r = = = a p a2 Câu 57: Tam giác ABC vuông A có AB = cm, BC = 10 cm Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác đã cho A r = cm C r = cm B r = cm D r = cm Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 729 (79) Dùng Pitago tính AC = , suy p = AB + BC + CA = 12 2 S p r = = cm Diện tích tam giác vuông S = AB AC = 24 Lại có S = p.r ¾¾ Câu 58: Tam giác ABC vuông cân A , có AB = a Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác đã cho a A r = B r = a C r = a 2+ a D r = Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có AC = AB = a và BC = a Suy p = æ + ö÷ AB + BC + CA ÷÷ = a ççç çè ÷ø 2 Diện tích tam giác vuông S = AB AC = S p r = = Lại có S = p.r ¾¾ a 2+ a2 Câu 59: Tam giác ABC vuông cân A và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi r là bán R r bằng: C -1 kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó tỉ số A + B 2+ 2 D 1+ 2 Lời giải Chọn A Giả sử AC = AB = a ¾¾ BC = a Suy R = Ta có p = BC a = 2 æ + ö÷ AB + BC + CA ÷÷ = a ççç çè ÷ø 2 Diện tích tam giác vuông S = AB AC = S p r = = Lại có S = p.r ¾¾ a 2+ Vậy Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 a2 R = 1+ r Trang 730 (80)