Bài 1.KHÁI NIỆM VECTƠ A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa vectơ: r a Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút r x B đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm A điểm cuối Hình 1.1 uuu r B AB Vectơ có điểm đầu , điểm cuối r r r r a Vectơ cịn kí hiệu là: , b , x , y , A ta kí hiệu : r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương CD CD AB phương kí hiệu: AB // - Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ - Hai vectơ phương hướng ngược hướng AB hướng CD kí hiệu: AB CD CD CD AB ngược hướng kí hiệu: AB A F B C D Hình 1.2 H E G uuu r uuur uuu r uur CD HG AB EF Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ hướng ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ uuu r uuu r AB - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu uuu r AB = AB Vậy - Hai vectơ chúng hướng độ dài a b Nếu ta viết AA BB = a =b , | |= uuu r uuu r ABCD AB = CD Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành A C B Hình 1.3 D B- CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng toán Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ: Phương pháp giải Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Bài 1: Cho điểm A, B, C , D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Lời giải tham khảo A, B , A, C , A, D , Có 10 cặp điểm khác A, E , B, C , B, D , B, E , C , D , C , E , D, E Do có 20 vectơ khác Bài 1.1:Cho ABC Có thể xác định vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? Bài 1.3: Có thể kể tên vectơ- khơng có điểm đầu điểm cuối điểm có tên hình vẽ ? Lưu ý: Với hai điểm A, B phân biệt, ta xác định hai vectơ khác là: AB BA AA 0 Với điểm A Bài 1.2:Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo Có vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C , D, O ? Bài 2:Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuu r a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? uuur uuu r AB b) Khi hai vectơ AC ngược hướng ? Lưu ý: Hai vectơ phương chúng có giá Hai vectơ hướng chúng có phương hướng Lời giải uuur uuu r a) Hai vectơ AB AC hướng A nằm đoạn BC uuur uuu r AB b) Hai vectơ AC ngược hướng A nằm đoạn BC A , B, C phân biệt uuu r uuur AB , AC phương thẳng hàng Bài 2.1:Chứng minh ba điểm M , N , P Bài 2.2:Cho tam giác ABC Gọi trung điểm BC , CA , AB a) Có vectơ khác vectơ - không uuuu r phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Có vectơ khác vectơ - khơng uuu r hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho Bài 2.3:Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt uuu r uuu r a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C uuu r uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C , D Bài 2.4: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định ? uuu r uuu r AB = BC a) uuu r uuur b) AB = DC uuur uuu r c) OA =- OC Bài 2.5: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r a) Bằng với AB uuu r uuu r d) OB = OA e) f) uuu r uuu r AB = BC uuur uuu r OA = BD Lời giải: uuu r b) Ngược hướng với OC Lời giải: a) b) a) b) c) d) e) f) Bài 2.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r a) Bằng với AB uuu r OC b) Ngược hướng với Bài 2.7: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uu r Tính độ dài vectơ BI Bài 2.8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D, O có độ uuu r OB dài Bài 2.9: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh trung điểm AB , N điểm đối xứng với C uuuu r a Hãy tính độ dài vectơ sau MD b Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt Tính độ dài MN Dạng tốn Chứng minh hai vectơ Ta dùng cách sau: | a || b | a b a, b cung huong + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành A D o C B AB DC , BC AD ,… (hoặc viết ngược lại) a + Nếu b, b c a c Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E , F trung điểm BC , CA, AB EF CD Chứng minh: Lưu ý Lời giải tham khảo A E F B D C Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF //CD , EF BC CD EF CD EF CD (1) EF hướng CD (2) Từ (1),(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành EF BC CD EF //CD EFDC hình bình hành EF CD Bài 3.2: Chứng minh hai vectơ Bài 3.1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có N trung điểm BC AD Điểm I chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN AM NC , DK NI Chứng minh: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng uuuu r uuu r MN = QP minh Bài 3.4: Bài 3.3: Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O Chứng minh: AH B ' C Bài 3.5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B ' cho uuur uuur B ' B = AG Chứng minh: uu r uur BI = IC a) b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh uu r uur BJ = IG Bài 3.7: Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N trung điểm DC , AB ; P AM , DB Q giao điểm giao điểm uuu r uuu r uuu r CN , DB Chứng minh: DP = PQ = QB Bài 3.9: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B điểm đối xứng B qua O Chứng minh: uuur uuur AH = B ' C Bài 3.6: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN Gọi P giao điểm AM , DB Q uuu r uuu r CN , DB DB = QB giao điểm Chứng minh thẳng Bài 3.8: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB uu r uuur CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh: uur uur DI = CB a) uur uu r uuur b) AI = IB = DC Dạng toán Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: Trung điểm đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k, hình bình hành, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, … a A Bài 4.Cho điểm vectơ Dựng điểm M cho: a) AM = a ; b) AM phương a có độ dài | a | Lời giải a Giả sử giá Vẽ đường thẳng d qua A d // M (nếu A thuộc d trùng ) Khi có hai điểm M thuộc d cho: AM AM a Khi ta có: Lưu ý AM = a AM AM a b) = phương với a) M , N , P Bài 4.2:Cho trước hai điểm A , B phân Bài 4.1:Cho tam giác ABC Gọi biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn BC , CA , AB trung điểm uuur uuur uuu r MA = MB Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B