Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I – LÝ THÚT A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) f ( x) = g( x) ( 1) gx f x gx ( ) biểu thức x Ta gọi ( ) vế trái, ( ) vế phải phương trình ( ) f x = g( x0 ) Nếu có số thực x0 cho ( ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình ( ) Giải phương trình ( ) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình f x gx Khi giải phương trình ( ) , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để ( ) ( ) có nghĩa (tức phép toán thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x2 - 2xy + 8, 2 4x - xy + 2z = 3z + 2xz + y ( 2) ( 3) Phương trình ( ) phương trình hai ẩn ( x y ), ( ) phương trình ba ẩn ( x, y z ) x; y = 2;1 Khi x = 2, y = hai vế phương trình ( ) có giá trị nhau, ta nói cặp ( ) ( ) nghiệm phương trình ( ) x; y; z) = ( - 1;1;2) Tương tự, ba số ( nghiệm phương trình ( ) Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ f x = g( x) f x =g x Nếu nghiệm phương trình ( ) nghiệm phương trình ( ) ( ) phương trình f1 ( x) = g1 ( x) f x = g( x) gọi phương trình hệ phương trình ( ) f x = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) Ta viết ( ) Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm II – DẠNG TOÁN DẠNG 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải -Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) f ( x ) , g( x ) xác định - Điều kiện để biểu thức f ( x) xác định f ( x) ³ f ( x) xác định f ( x) ¹ f ( x) xác định f ( x) > Câu Tìm điều kiện chọ phương trình sau: x x x Lưu ý Lời giải tham khảo x 0 x x 2 Điều kiện xác định: x 0 \ 2;2 Vậy TXĐ: x 2 1.1 x x x ( x 2) Câu Tìm điều kiện cho phương trình sau: 2x 5x x x 3x 1.2 x x 1 Lưu ý Lời giải tham khảo x 3 x 0 x 4 x ; 3 Điều kiện xác định: 4 x 0 x 1 2.1 x x x x 5 x 2.2 x 2.3 x+ 2x + = 3- 2x x 2x +1 =0 x 2.4 + 3x 2.5 2x x 1 x 3x x x x 2.6 7x 5 x 2x DẠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Câu Một học sinh biến đổi phương trình sau 3x + x - = x2 + x - Û 3x = x2 Giải thích phép biến đổi tương đương sai, muốn có biến đổi tương đương ta phải làm gì? Lời giải tham khảo Lưu ý Khi thực cộng trừ hai vế phương trình với biểu thức ta cần lưu ý đặt điều kiện cho phương trình Phép biến đổi sai điều kiện phương trình bị thay đổi Để phép biến đổi ta cần bổ sung điều kiện x ³ cho phương trình đầu trước biến đổi 2x - 1.1 x- 1.2 Một học sinh biến đổi phương trình sau: = x - Û 2x - = ( x - 1) Giải thích phép biến đổi tương đương sai, muốn có biến đổi tương đương ta phải làm gì? Câu Cho hai phương trình: x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) x( x - 2) x - tương đương với không ? = ( 2) Hỏi hai phương trình bên có 3x + x - = x2 Û 3x = x2 - x - Hỏi phép biến đổi có phải phép biến đổi tương đương không? Lưu ý Đặt điều kiện cho mẫu khác trước thực phép qui đồng bỏ mẫu Lời giải tham khảo Hai phương trình khơng tương đương điều kiện phương trình bị thay đổi 2.1 Cho phép biến đổi phương trình: x - = 9- 2x Þ 3x - 12 = Hỏi phép biến đổi hay sai 2.2 x + = 2x x + = 4x Hai phương trình có tương đương với khơng? Câu Tìm m để hai phương trình sau tương đương: mx2 - 2( m - 1) x + m - = (1) 2 ( m - 2) x - 3x + m - 15 = (2) Lưu ý Hai phương trình tương đương chúng có tập nghiệm Lời giải tham khảo Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương é x =1 ( 1) Û ( x - 1) ( mx - m + 2) = Û êêmx - m + = ê ë Ta có Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta ém = ( m - 2) - + m2 - 15 = Û m2 + m - 20 = Û êêm = - ê ë Với m = - : Phương trình (1) trở thành éx = ê - 5x + 12x - = Û ê êx = ê ë é x =1 ê - 7x - 3x + 10 = Û ê êx = - 10 ê ë Phương trình (2) trở thành Suy hai phương trình khơng tương đương Với m = : Phương trình (1) trở thành é êx = 4x - 6x + = Û ê êx = ê ë éx = ê 2x - 3x + = Û ê êx = ê ë Phương trình (2) trở thành Suy hai phương trình tương đương Vậy m = 4thì hai phương trình tương đương 2x3 + ( m + 4) x2 + 2( m - 1) x - = 3.1 2x + mx - = (3) (4) DẠNG 3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ PHƯƠNG TRÌNH Lưu ý Khi dùng phép biến đổi hệ sinh nghiệm ngoại lai ta cần thử lại nghiệm phương trình để loại bỏ nghiệm ngoại lai Câu Giải phương trình 2x + = x - Lời giải tham khảo Ta dùng phép biến đổi hệ ( 2x + 1) 2x + = x - Þ = ( x - 1) Þ 4x2 + 4x + = x2 - 2x + Û 3x2 + 6x = éx = Þ ê êx = - ê ë Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm 1.1 3x - = - 2x 1.2 x + = 2x DẠNG 4: NGHIỆM, TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải Phương trình x( x2 - 1) x - = Lưu ý Lời giải tham khảo Đk phương trình: x ³ éx = ê Û ê êx - 1= Û Û ê ê ë x- = éx = 0(L ) ê êx = 1( TM ) ê êx = - 1(L ) ê ë Pt Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là: x = 1.1 x + x - = 1- x 1.2 ( x2 - 3x + 2) x - = x+ 1.3 2x - = x- x- 1.4 2x + x - = 2- x + x x x 1.6 x2 x x x2 1.5 III – BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm điều kiện phương trình: a) c) x- + x2 + 7- x =0 b) x - 1+ x - = x - = x +3 x - d) x+ 2x + = 3- 2x x Bài 2: Giải phương trình sau : 2 a) x - 2x = 2x - x ( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - + b) c) x + x - = 1- x d) x - 4x + 5x - + x = 2- x e) ( x2 - 3x + 2) x - = Bài 3: Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x2 + mx - = ( 1) 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - = ( 2)