BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I – LÝ THÚT A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) g( x) f ( x) = g( x) ( 1) f x gx biểu thức x Ta gọi ( ) vế trái, ( ) vế phải phương trình ( ) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 ) = g( x0 ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình ( ) Giải phương trình ( ) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình f x gx Khi giải phương trình ( ) , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để ( ) ( ) có nghĩa (tức phép tốn thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x2 - 2xy + 8, 2 4x - xy + 2z = 3z + 2xz + y ( 2) ( 3) Phương trình ( ) phương trình hai ẩn ( x y ), ( ) phương trình ba ẩn ( x, y z ) Khi x = 2, y = hai vế phương trình ( ) có giá trị nhau, ta nói cặp ( x; y) = ( 2;1) nghiệm phương trình ( ) Tương tự, ba số ( x; y; z) = ( - 1;1;2) nghiệm phương trình ( 3) Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f ( x) = g( x) nghiệm phương trình f1 ( x) = g1 ( x) phương trình f1 ( x) = g1 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x) = g( x) Ta viết f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm II – DẠNG TOÁN DẠNG 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải -Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) f ( x ) , g( x ) - Điều kiện để biểu thức Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN f ( x) f ( x) xác định xác định f ( x) ³ f ( x) ¹ f ( x) xác định f ( x) > Câu Tìm điều kiện chọ phương trình sau: x x x Lưu ý Lời giải tham khảo x 0 x x 2 Điều kiện xác định: x 0 \ 2;2 Vậy TXĐ: x 2 x x x ( x 2) 1.1 x 0 x x 0 x 2 x 0 x 0 Điều kiện xác định: Vậy TXĐ: \ 2;0; 2 2x 5x x x 3x 1.2 x 3 x 3 x 0 2 x 0 x 3 x 0 Điều kiện xác định: 1 2 \ ;3; 2 3 Vậy TXĐ: Câu Tìm điều kiện cho phương trình sau: x x 1 Lưu ý Lời giải tham khảo x 3 x 0 x 4 x ; 3 Điều kiện xác định: 4 x 0 2.1 x 1 x x Điều kiện xác định: x 0 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 5 x 2.2 x x Điều kiện xác định: x 4 D ; 5 Vậy TXĐ: (luôn đúng) Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN x+ = 3- 2x x 2x +1 =0 x2 + 3x 2x + 2.3 Điều kiện xác định : ïìï 2x + > ïï í 3- 2x ³ ùù ùùợ x 2.4 iu kin xỏc định : ìï x >- ïï ï 3 Û x Ỵ (- 2; ]\ {0} íï x ³ ùù 2 ùù x ùợ Vy xác định D = (- 2; ]\ {0} x 1 x 3x 2.5 Điều kiện xác định phương trình x 2 x 0 x 3x 0 x 1 x x 0 x 2 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 0 x 2 2x ìï ïï x ³ - ïï ïìï 2x +1³ ï Û í x ¹ Û x ẻ [ - ;+Ơ )\ {0} ùợù x + 3x ¹ ïï ïï x ¹ - ùù ùợ D = [ - ;+Ơ )\ {0} Vậy tập xác định x 2.6 x x 7x 5 x 2x x 3 x 1 x x 0 x 2 x 0 x 7 x Điều kiện xác định: 7 x 2; \ 3 2 7 D 2; \ 3 2 Vậy TXĐ: DẠNG 2:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯỜNG ĐƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Lưu ý Khi thực cộng trừ 3x + x - = x2 + x - Û 3x = x2 hai vế phương trình Giải thích phép biến đổi tương đương sai, muốn có biến đổi với biểu thức ta cần lưu ý đặt điều kiện cho tương đương ta phải làm gì? phương trình Lời giải tham khảo Câu Một học sinh biến đổi phương trình sau Phép biến đổi sai điều kiện phương trình bị thay đổi Để phép biến đổi ta cần bổ sung điều kiện x ³ cho phương trình đầu trước biến đổi 2x - 1.2 Một học sinh biến đổi = x - Û 2x - = ( x - 1) phương trình sau: x 1.1 3x + x - = x2 Û 3x = x2 - x - Giải thích phép biến đổi tương đương sai, muốn có biến đổi Hỏi phép biến đổi có phải tương đương ta phải làm gì? phép biến đổi tương đương Lý luận câu không? Trả lời: Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Phép biến đổi phép biến đổi tương đương Lưu ý Câu Cho hai phương trình: Đặt điều kiện cho mẫu khác x( x - 2) trước thực phép qui = ( 2) x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) x - Hỏi hai phương trình bên có đồng bỏ mẫu tương đương với khơng ? Lời giải tham khảo Hai phương trình khơng tương đương điều kiện phương trình bị thay đổi 2.1 Cho phép biến đổi phương trình: x - = 9- 2x Þ 3x - 12 = Hỏi phép biến đổi hay sai Trả lời: Đúng, bình phương hai vế mà khơng đặt điều kiện cho phương trình tra thu phương trình hệ 2.2 x + = 2x x + = 4x Hai phương trình có tương đương với khơng? Trả lời: Hai phương trình khơng tương đương chúng khơng có tập nghiệm DẠNG 3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ PHƯƠNG TRÌNH Lưu ý Khi dùng phép biến đổi hệ sin nghiệm ngoại lai ta cần thử lại nghiệm phương trình để lại bỏ nghiệm ngoại lai Câu Giải phương trình 2x + = x - Lời giải tham khảo Ta dùng phép biến đổi hệ 2x + = x - Þ ( 2x + 1) = ( x - 1) Þ 4x2 + 4x + = x2 - 2x + Û 3x2 + 6x = éx = Þ ê êx = - ê ë Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm 1.1 3x - = - 2x 2 pt Þ (3x - 2) = (3 - 2x) 1.2 x + = 2x éx = Þ x + = x2 Þ x2 - x - = Þ ê êx = - ë Þ 4x2 - 12x + = Þ Û 5x2 = Û x = ±1 Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x = Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x = ± Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN DẠNG 4: NGHIỆM, TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải Phương trình x( x2 - 1) x - = Lưu ý Lời giải tham khảo Đk phương trình: x ³ éx = ê Û ê êx - 1= Û Û ê ê ë x- = éx = 0(L ) ê êx = ê êx = - 1(L ) ë Pt Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là: x = 1.2 ( Đk: x ³ x2 - 3x + 2) x - = 1.1 x + x - = 1- x Đk: ïìï x ³ Û x =1 í ïïỵ x £ éx2 - 3x + = Û ê Û êx = ë Thử lại ta thấy x = không nghiệm phương trình, phương trình cho vơ nghiệm Pt Kết luận: phương trình có nghiệm x = 2x - = x- x- kiện: x ¹ 1.4 2x + x - = 2- x + Điều kiện: x = Thay x = vào ta thấy x =2 nghiệm phương trình Vậy pt có nghiệm x = x+ 1.3 Điều éx = 1(L ) ê êx = 2(L ) ê êx = ë éx = x(x - 1) +1= 2x - Û x2 - 3x + = Û ê êx = 1(L ) Û ë Pt Vậy phương trình có nghiệm x = 1.5 x2 x x x2 x x 0 x x 0 x x 0 Điều kiện xác định: x 0 x 2 Thay x 0 x 2 vào phương trình thỏa mãn.Vậy tập nghiệm: T ; 2 x x 1.6 x x 0 x 0 x 0 Điều kiện xác định: Vậy tập nghiệm: T hệ vô nghiệm III – BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm điều kiện phương trình: a) c) x- + x2 + 7- x =0 = x +3 x - b) x - 1+ x - = x - d) x+ 2x + = 3- 2x x Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Bài 2: Giải phương trình sau : 2 a) x - 2x = 2x - x ( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - + b) c) x + x - = 1- x d) x - 4x + 5x - + x = 2- x e) ( x2 - 3x + 2) x - = Bài 3: Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x2 + mx - = ( 1) 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - = ( 2) IV - HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài a) Phương trình xác định ïìï x - ³ Û í ïïỵ 7- x > ìï x - 1³ ïï ïí x - ³ Û ïï b) Phương trình xác định ïỵï x - ³ c) Phương trình xác định d) Phương trình xác định ïìï x ³ Û £ x < í ïïỵ x < ìï x ³ ïï ïí x ³ Û x ³ ïï ïỵï x ³ ïìï x2 - ùợù x + ùớùỡ x ùợù x - ïìï 2x + > ïïí 3- 2x ùù ùùợ x ỡù x >- ïï ïï í x£ ïï ïï x ùợ Bi ỡù x2 - 2x ³ ìï x2 - 2x ³ ïí Û ïí Û x2 - 2x = Û ïï 2x - x2 ³ ïï x2 - 2x £ ỵ a) Điều kiện: ỵ éx = ê ê ëx = Thử lại ta thấy x = x = thỏa mãn phương trình ìï ( x - 3) ( 5- 3x) ³ ï í ï b) Điều kiện: ïỵ 3x - 5³ ( *) Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện ( *) Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Nếu x ¹ ìï ï x£ ïìï 5- 3x ³ ïïï Û í ( *) Û í ïïỵ 3x - ³ ïï ïï x ³ ïỵ 5 Û x= 3 Do điều kiện xác định phương trình x = Thay x = x= x= vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm c) Điều kiện ìïï x - 1³ Û í ïỵï 1- x ³ ìïï x ³ Û x =1 í ïỵï x £ Thử lại x = phương trình khơng thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho vơ nghiệm ìï x3 - 4x2 + 5x - ³ ìïï ( x - 1) ( x - 2) ³ éx = ïí Û í Û ê ê ïïỵ 2- x ³ ïï x £ ëx = ỵ d) Điều kiện: Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm e) Điều kiện: x ³ Ta có x = nghiệm Nếu x > x- > Do phương trình tuong đương ( x2 - 3x + 2) x - = Û x2 - 3x + = Û x = x = Đối chiếu điều kiện ta phương trình có nghiệm x = Bài éx = - Ta có ( 2) Û ( x + 2) ( 2x2 + mx - 2) = Û ê ê ë2x + mx - = Do hai phương trình tương đương nên x =- nghiệm phương trình ( 1) 2 - + m( - 2) - = Û m= Thay x =- vào ( 1) , ta ( ) Với m= , ta có Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN x= 2 · ( 1) trở thành 2x + 3x - = Û x =- · ( 2) x= 2x3 + 7x2 + 4x - = Û ( x + 2) ( 2x +1) = Û x = - 2 trở thành Suy hai phương trình tương đương Vậy m= thỏa mãn Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com