BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I – LÝ THÚT A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng trình ( ) f ( x) f ( x) = g( x) ( 1) gx f x gx ( ) biểu thức x Ta gọi ( ) vế trái, ( ) vế phải phương Nếu có số thực x0 cho f ( x0 ) = g( x0 ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình ( ) Giải phương trình ( ) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình f x gx Khi giải phương trình ( ) , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để ( ) ( ) có nghĩa (tức phép toán thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x2 - 2xy + 8, 2 4x - xy + 2z = 3z + 2xz + y ( 2) ( 3) Phương trình ( ) phương trình hai ẩn ( x y ), ( ) phương trình ba ẩn ( x, y z ) Khi x = 2, y = hai vế phương trình ( ) có giá trị nhau, ta nói cặp ( x; y) = ( 2;1) nghiệm phương trình ( ) Tương tự, ba số ( x; y; z) = ( - 1;1;2) nghiệm phương trình ( 3) Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f ( x) = g( x) nghiệm phương trình f1 ( x) = g1 ( x) phương trình f1 ( x) = g1 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x) = g( x) Ta viết f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương Trong nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm II – DẠNG TOÁN DẠNG 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải -Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) f ( x ) , g( x ) xác - Điều kiện để biểu thức Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN f ( x) f ( x) xác định xác định f ( x) ³ f ( x) ¹ f ( x) xác định f ( x) > Lưu ý Câu Tìm điều kiện chọ phương trình sau: x 2 x x Lời giải tham khảo x 0 x x 2 Điều kiện xác định: x 0 \ 2;2 Vậy TXĐ: x 2 x x x( x 2) 1.1 2x 5x x x 3x x 0 x x 0 x 2 x 0 x 0 Điều kiện xác định: Vậy TXĐ: \ 2;0; 2 1.2 x 3 x 3 x 0 2 x 0 x 3 x 0 Điều kiện xác định: 1 \ ;3; 2 3 Vậy TXĐ: Câu Tìm điều kiện cho phương trình sau: x x 1 Lưu ý Lời giải tham khảo x 3 x 0 x 4 Điều kiện xác định: 4 x 0 4 x ; 3 2.1 x 1 x x x 1 x 5 x 2.2 x Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN Điều kiện xác định: x+ = x 0 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 2 3- 2x x 2x +1 =0 x + 3x 2.4 Điều kiện xác định : ìï x >- ïï ïï 3 Û x Ỵ (- 2; ]\ {0} x ùù 2 ùù x ùợ Vậy tập xác định D = (- 2; ]\ {0} x 1 x 3x 2.5 Điều kiện xác định phương trình x 2 x 0 x 3x 0 x 1 x x 0 x 2 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 1 x 0 2x Điều kiện xác định: x 4 D ; 5 Vậy TXĐ: (luôn đúng) 2x + 2.3 Điều kiện xác định : ïìï 2x + > ïïí 3- 2x ùù ùùợ x x ìï ïï x ³ - ïï ïìï 2x +1³ ï Û í x x ẻ [ - ;+Ơ )\ {0} ùợù x + 3x ùù ùù x - ùù ùợ D = [ - ;+¥ )\ {0} Vậy tập xác định x x x 2.6 7x 5 x 2x x 3 x 1 x x 0 x 2 x x 7 x Điều kiện xác định: 7 x 2; \ 3 2 7 D 2; \ 3 2 Vậy TXĐ: DẠNG 2:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Lưu ý Câu Một học sinh biến đổi phương trình Khi thực cộng trừ hai vế phương sau trình với biểu thức ta cần lưu ý đặt điều 3x + x - = x2 + x - Û 3x = x2 kiện cho phương trình Giải thích phép biến đổi tương đương sai, muốn có biến đổi tương đương ta phải làm gì? Lời giải tham khảo Phép biến đổi sai điều kiện phương trình bị thay đổi Để phép biến đổi ta cần bổ sung điều kiện x ³ cho phương trình đầu trước biến đổi Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN 2x - 1.1 x- 1.2 Một học sinh biến đổi phương trình sau: = x - Û 2x - = ( x - 1) 3x + x - = x2 Û 3x = x2 - x - Hỏi phép biến đổi có phải phép biến đổi tương Giải thích phép biến đổi tương đương sai, đương khơng? muốn có biến đổi tương đương ta phải làm gì? Trả lời: Lý luận câu Phép biến đổi phép biến đổi tương đương Lưu ý Câu Cho hai phương trình: Đặt điều kiện cho mẫu khác trước thực x( x - 2) phép qui đồng bỏ mẫu = ( 2) x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) x - Hỏi hai phương trình bên có tương đương với khơng ? Lời giải tham khảo Hai phương trình khơng tương đương điều kiện phương trình bị thay đổi 2.1 Cho phép biến đổi phương trình: 2.2 x + = 2x x + = 4x x - = 9- 2x Þ 3x - 12 = Hai phương trình có tương đương với Hỏi phép biến đổi hay sai khơng? Trả lời: Đúng, bình phương hai vế mà khơng đặt Trả lời: Hai phương trình khơng tương đương điều kiện cho phương trình tra thu phương chúng khơng có tập nghiệm trình hệ DẠNG 3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải phương trình 2x + = x - Lời giải tham khảo Ta dùng phép biến đổi hệ 2x + = x - Þ ( 2x + 1) = ( x - 1) Lưu ý Khi dùng phép biến đổi hệ sin nghiệm ngoại lai ta cần thử lại nghiệm phương trình để lại bỏ nghiệm ngoại lai Þ 4x2 + 4x + = x2 - 2x + Û 3x2 + 6x = éx = Þ ê êx = - ê ë Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm 1.1 3x - = - 2x 2 pt Þ (3x - 2) = (3 - 2x) Þ 4x2 - 12x + = Þ Û 5x2 = Û x = ±1 Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x = ± 1.2 x + = 2x éx = Þ x + = x2 Þ x2 - x - = Þ ê êx = - ë Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x = Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN DẠNG 4: NGHIỆM, TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải Phương trình x( x2 - 1) x - = Lưu ý Lời giải tham khảo Đk phương trình: x ³ éx = ê Û ê êx - 1= Û Û ê ê ë x- = éx = 0(L ) ê êx = ê êx = - 1(L ) ë Pt Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là: x = 1.2 ( Đk: x ³ x2 - 3x + 2) x - = 1.1 x + x - = 1- x Đk: ìïï x ³ Û x =1 í ïïỵ x £ Thử lại ta thấy x = khơng nghiệm phương trình, phương trình cho vô nghiệm 2x - = x- x- kiện: x ¹ x+ 1.3 Điều éx = x(x - 1) +1= 2x - Û x2 - 3x + = Û ê êx = 1(L ) Û ë éx2 - 3x + = Û ê Û êx = ë éx = 1(L ) ê êx = 2(L ) ê êx = ë Pt Kết luận: phương trình có nghiệm x = 1.4 2x + x - = 2- x + Điều kiện: x = Thay x = vào ta thấy x =2 nghiệm phương trình Vậy pt có nghiệm x = Pt Vậy phương trình có nghiệm x = 1.5 x2 x x x2 x x 0 2 x x 0 x x 0 Điều kiện xác định: x 0 x 2 Thay x 0 x 2 vào phương trình thỏa mãn.Vậy tập nghiệm: T ; 2 x x 1.6 x x 0 x 0 x 0 Điều kiện xác định: Vậy tập nghiệm: T hệ vô nghiệm III – BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm điều kiện phương trình: Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN a) c) x- + x2 + 7- x =0 b) x - 1+ x - = x - = x+3 x - d) x+ 2x + = 3- 2x x Bài 2: Giải phương trình sau : 2 a) x - 2x = 2x - x ( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - + b) c) x + x - = 1- x d) x - 4x + 5x - + x = 2- x e) ( x2 - 3x + 2) x - = Bài 3: Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x2 + mx - = ( 1) 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - = ( 2) IV - HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài a) Phương trình xác định ìïï x - ³ Û í ïỵï 7- x > ïìï x - 1³ ïï í x- ³ Û ïï b) Phương trình xác định ïỵï x - ³ c) Phương trình xác định d) Phương trình xác định ìïï x ³ Û £ x < í ïỵï x < ïìï x ³ ïï í x ³ Û x ³ ïï ïỵï x ³ ìï x2 - ¹ ïí Û ùợù x + ùớùỡ x ïỵï x ³ - ïìï 2x + > ïï í 3- 2x ³ Û ïï ïïỵ x ¹ ìï x >- ïï ïï xÊ ùù ùù x ùợ Bài ìï x2 - 2x ³ ìï x2 - 2x ³ ïí Û ïí Û x2 - 2x = Û ïï 2x - x2 ³ ïï x2 - 2x £ ỵ a) Điều kiện: î éx = ê ê ëx = Thử lại ta thấy x = x = thỏa mãn phương trình Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN ìï ( x - 3) ( 5- 3x) ³ ï í ï b) Điều kiện: ïỵ 3x - ³ ( *) Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện ( *) Nếu x ¹ ìï ï ìïï 5- 3x ³ ïïï x £ * Û Û ( ) í í ïïỵ 3x - ³ ïï ïï x ³ ïỵ 5 Û x= 3 Do điều kiện xác định phương trình x = Thay x = x= x= vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm c) Điều kiện ìïï x - 1³ Û í ïỵï 1- x ³ ìïï x ³ Û x =1 í ïỵï x £ Thử lại x = phương trình khơng thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho vơ nghiệm ïìï x3 - 4x2 + 5x - ³ ìïï ( x - 1) ( x - 2) ³ éx = Û í Û ê í ê ïỵï 2- x ³ ïï x £ ëx = ỵ d) Điều kiện: Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm e) Điều kiện: x ³ Ta có x = nghiệm Nếu x > x- > Do phương trình tuong đương ( x2 - 3x + 2) x - = Û x2 - 3x + = Û x = x = Đối chiếu điều kiện ta phương trình có nghiệm x = Bài éx = - Ta có ( 2) Û ( x + 2) ( 2x2 + mx - 2) = Û ê ê ë2x + mx - = Do hai phương trình tương đương nên x =- nghiệm phương trình ( 1) Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com BÀI GIẢNG – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH – TỰ LUẬN 2 - + m( - 2) - = Û m= Thay x =- vào ( 1) , ta ( ) Với m= , ta có · ( 1) trở thành 2x + 3x - = Û x =- x= 2 x= · ( 2) trở thành 2x + 7x + 4x - = Û ( x + 2) ( 2x +1) = Û x = - Suy hai phương trình tương đương Vậy m= thỏa mãn Lã Duy Tiến – Gmail: laduytien85@gmail.com