65 bài giảng tự luận đường elip (đáp án chi tiết)

ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c ( c > ) số a > c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1 , F2 tiêu điểm (E) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E) MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu y 2) Phương trình tắc elip: B2 F c ;0 , F c ;0 ( ) ( ) Với tọa độ tiêu điểm : M A2 A1 x2 y F2 x F1 O M ( x; y ) Ỵ ( E ) Û + = ( 1) a b2 B1 2 b =a - c Hình 3.3 (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 ) + Các đỉnh : A1 ( - a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0;- b ) , B2 ( 0; b ) + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b , nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a, y = ±b gọi hình chữ nhật sở c + Tâm sai : e = b > ) + Chuyển Elip dạng: a b2 xác định a,b từ suy c = a - b2 + Xác định yếu tố (E) ĐƯỜNG ELIP - Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bé: 2b -Tiêu cự 2c -Tọa độ đỉnh A1 ( - a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; - b ) , B2 ( 0; b ) c -Tâm sai e = b > a b2 Từ yếu tố biết thiết lập phương trình chứa a b tìm a b   Thay vào phương trình ta phương trình tắc elip Cần lưu ý hệ thức: a = c2 + b2 Khoảng cách hai đường chuẩn 2a c Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có Độ dài trục lớn 14 độ dài trục bé 10? b) (E) có độ dài trục lớn 10 tiêu cự 6? Lưu ý ĐƯỜNG ELIP Lời giải tham khảo: x2 y + = với a > b > a) Phương trình tắc (E) : a b2 Độ dài trục lớn 2a = 14 Þ a = 7, Độ dài trục bé 2b = 10 Þ b = 5, 2 Vậy phương trình tắc ( E ) :x + y = 49 25 b) Độ dài trục lớn 2a = 10 Þ a = 5, Tiêu cự 2c = Þ c = 3, b2 = a - c = 25 - = 16 Þ b = 2 Vậy phương trình tắc ( E ) : x + y = 25 16 4.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E) có Độ dài trục lớn 18 độ dài trục bé 12? 4.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: E) có độ dài trục lớn 30 tiêu cự 24? Lời giải Độ dài trục lớn 2a = 30 Þ a = 15, Lời giải Độ dài trục lớn 2a = 18 Þ a = 9, Tiêu cự 2c = 24 Þ c = 12, b2 = a - c = 225 - 144 = 81 Þ b = Độ dài trục bé 2b = 12 Þ b = 6, 2 Vậy phương trình tắc ( E ) :x + y = 81 36 Vậy phương trình tắc x2 y (E) : + =1 225 Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có độ dài trục lớn tâm sai e = b) Có tâm sai e = 5 nhận F (4;0) tiêu điểm Lời giải tham khảo a)Độ dài trục lớn 2a = Þ a = 3, 81 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP tâm sai e = c 2 Û = Þ c = 2, b = a - c = - = Þ b = a 3 2 Vậy phương trình tắc ( E ) : x + y = 5 b) Vì F (4;0) Þ c = ; e = Û c = Þ a = 5, b2 = a - c = 20 - 16 = Þ b = a 2 Vậy phương trình tắc ( E ) : x + y = 20 5.1: Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Elip (E) biết: Có tâm sai e = (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = F (2;0) Þ c = ; e = c = Þ a= , a 25 b2 = a - c = , - = , Þ b = , 4 Û c = Þ c = 3, b2 = a - c = 16 - = a Þ b= Û Vậy phương trình tắc ( E ) : x2 + Vậy phương trình tắc y2 (E) : =1 Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) Tiêu cự qua điểm M ( 15; - 1) b )Độ dài trục nhỏ qua điểm M (2 15; 2) c) Đi qua hai điểm M (1;0) N( nhận F (2;0) tiêu điểm Lời giải Lời giải Độ dài trục lớn 2a = Þ a = 4, tâm sai e = 5.2 Lập phương trình tắc ;1) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 25 + y2 =1 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP x2 y + = 1( a > b > ) a b2 a) Tiêu cự 2c = Þ c = 4, qua điểm M ( 15; - 1) nên 15 16 + b2 + b2 = 1( a > b > ) Û b4 = 16 Û b = với b = Þ a = 5, 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 20 b) Độ dài trục nhỏ 2b = Þ b = 3, qua điểm M (2 15; 2) nên 60 + = 1( a > b > ) Û a = 108 Û a = 108 a 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 108 c)Đi qua hai điểm M (3;0) N(2; ìï ïï ï í ïï ïï ỵ =1 a2 Û 40 + =1 a 9b 40 ) ta có hệ phương trình ïì a = íï ïïỵ b = 2 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 6.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Tiêu cự qua điểm M (1; ) 6.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Độ dài trục nhỏ 10 qua điểm M ( Lời giải Tiêu cự 2c = Þ c = 3, qua điểm M (1; ) nên Lời giải Độ dài trục nhỏ 2b = 10 Þ b = 5, = 1( a > b > ) 25b Û 25b - 184b2 - 3456 = + b2 + 384 Û b = 16 24 ;3) qua điểm M ( 24 ;3) nên 576 + = 1( a > b > ) 25 25a Û a = 36 Û a = ĐƯỜNG ELIP với b = Þ a =,5 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 25 16 Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 36 25 6.3 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Đi qua hai điểm M (4;0) N(- 3; 70 ) Đi qua hai điểm M (4;0) N(- 3; 70 ) ta có hệ phương trình ìï 16 ïï = ïa Û í ïï 70 =1 ïï + 16b ỵa ïì a = íï ïïỵ b = 10 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 16 10 Câu Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) (E)có tọa độ đỉnh ( 0; ) v i qua im ổ4 10 Mỗ ;ỗ ỗ è 1÷ ÷ ÷ ø b) (E) có tiêu điểm thứ ( - 3;0 ) qua điểm M (1; 33 ) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y + = 1( a > b > ) a b2 a) (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; ) nằm trục tung nên b = phương trình tắc (E) có dạng: x2 y + = 1( a > ) a2 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP ỉ4 10 1÷ ÷ ÷nên ø Mt khỏc (E) i qua im M ỗỗỗ ; è 160 + = Þ a2 = 25a Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 b) (E) có tiêu điểm F1 (- 3;0) nên c = suy a = b2 + c = b + (1) Mặt khác M (1; 33 528 ) ẻ (E) ị + = (2) a 25b Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b - 478b2 - 1584 = b + 25b 2 Û b = 22 Þ a = 25 Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 25 22 7.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E)có tọa độ đỉnh ( 0; ) qua điểm æ2 Mỗ ;ỗ ỗ ố 1ữ ữ ữ ø Lời giải (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; ) nằm trục tung nên b = phương trình tắc x2 y (E) có dạng: + = 1( a > ) a æ2 ( - 2;0 ) qua điểm M ( ;1) Lời giải (E) có tiêu điểm (- 2;0) nên c = suy a = b2 + c = b + (1) Mặt khác M( Mặt khác (E) qua điểm M ỗỗỗ ; ố 1ữ ữnờn ữ ứ 24 + = Þ a2 = 9a Vậy phương trình tắc (E) 7.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết:(E) có tiêu điểm thứ 75 ;1) Ỵ ( E ) Þ + = (2) 2 4a b Thế (1) vào (2) ta 75 + = Û 4b - 63b2 - 16 = 4(b + 4) b Û b = 16 Þ a = 20 2 x y + =1 Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 25 22 ĐƯỜNG ELIP Câu8 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y + = có diện tích 48 b) (E) có tâm sai Lưu ý hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lời giải tham khảo a) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y + = suy b = Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b = 48 Þ a = Vậy phương trình tắc (E) b) (E) có tâm sai suy x2 y + =1 36 a - b2 hay = a 4a = 9b (3) Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy ( a + b ) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a = 3, b = Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 Câu8.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Câu8.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng x - = có diện tích 24 (E) có tâm sai hình chữ Lời giải nhật sở (E) có chu vi 36 (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm Lời giải đường thẳng x - = suy a = Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 24 nên (E) có tâm sai suy 2a.2b = 24 Þ b = x2 y Vậy phương trình tắc (E) + = a2 - b2 hay a = 4b (3) = a Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy ( a + b ) = 36 (4) ĐƯỜNG ELIP Từ (3) (4) suy a = 6, b = Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 36 Dạng 3: Tìm điểm (E), toán tương giao Phương pháp giải: Bài toán tìm điểm : Khi làm ý kiến thức sau : +Bán kính qua tiêu điểm điểm M ( xM ; yM ) thuộc (E) là: c c MF1 = a + exM = a + xM , MF2 = a - exM = a - xM a a 2 + Định lí hàm số cosin: F1F2 = MF1 + MF2 - 2MF1.MF2cosF1MF2 ìï ïï ïï 2 x y + Nếu M ( x; y ) Ỵ ( E ) Û + = Þ ïíï a b ùù ùù ùợ x2 Ê1 a2 ị y2 £1 b2 ïíìï - a £ x £ a (a > b > 0) ïïỵ - b £ x £ b 2 Câu : Cho ( E ) có phương trình x + y = a) Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB b) Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 2MF2 Lời giải tham khảo: a) Từ phương trình (E) ta có a = 9, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = F1 (- 5;0), F2 ( 5;0) Đường thẳng qua F1 song song với y cắt elip A, B có hồnh độ x= Lưu ý ĐƯỜNG ELIP Thế vào y2 16 (E) : + =1 Û y2 = Û y = ± 9 4 A( 5; ), B( 5; - ) Vậy độ dài đoạn AB = 3 b) Ta có: MF = + x , MF = - x M M Theo giả thiết MF1 = 2MF2 Û + Do M Ỵ ( E ) : x = 2(3 M 45 y2 16 + M = Û yM2 = Û yM = ± 225 5 Vậy có điểm M ( 5 5 ; ), M '( ;) thỏa mãn yêu cầu toán 5 5 9.1 Cho ( E ) có phương trình x2 y + =1 25 5 xM ) Û xM = 2 9.2 Cho ( E ) có phương trình x + y = 100 36 Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 5MF2 Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB Lời giải Từ phương trình (E) ta có a = 25, b2 = Þ c2 = a - b2 = 16 Lời giải Từ phương trình (E) ta có a = 100, b2 = 64, c2 = a2 - b2 = 36 Þ a = 10, b = 8, c = F1 (- 4;0), F2 (4;0) Ta có: MF = 10 + x , MF = 10 - x M M Đường thẳng qua F2 song song với y cắt elip A, B có hồnh độ x = Theogiảthiết Thế vào (E) : y2 16 81 + =1 Û y2 = Û y = ± 25 25 9 18 A(4; ), B(4; - ) Vậy độ dài đoạn AB = 5 3 MF1 = 5MF2 Û 10 + xM = 5(10 - xM ) 5 Û x M = 100 y2 y2 M Ỵ (E) : + = + M = Û yM2 = 32 Dođó 36 36 Û yM = ±4 100 100 ; 2), M '( ; - 2) thỏa 9 Vậy có điểm M ( mãn yêu cầu tốn ĐƯỜNG ELIP Câu 10 : Tìm tọa độ điểm M elip: x2 16 + y2 =1 cho M nhìn F1F2 góc 600 Lời giải tham khảo: a) Ta có: a = 16, b2 = Þ c2 = a - b2 = 12 Þ a = 4, b = 2, c = 3 MF1 = + xM , MF2 = x 2 M Áp dụng định lý cơsin tam giác F1F2 M ta có: F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cos600 (4 + xM )2 + (4 3 xM )2 - 2(4 + xM )(4 2 xM ) = 48 2 ìï ïï xM = ± 128 xM2 = Þ yM2 = Û ïí ïï 9 ïï yM = ± î Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M1 ( 2 2 2 2 ; ), M (; ), M ( ; - ), M (;- ) 3 3 3 3 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP 10.1 Cho elip x2 + 25 y = 225 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1 F2 góc vng Lời giải Ta có x2 + 25 y = 225 Û x2 y + =1 25 suy a = 5; b = Þ c = a - b = 10.2 Cho elip x2 +16 y = 19 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1 F2 góc 120° Lời giải Từ phương trình (E) ta có Ta có x2 +16 y = 19 Û a) Gọi M ( x; y ) điểm cần tìm, ta có : ìïï M Ỵ ( E ) Û í ) ïỵï F1MF2 = 90° ìï 2 ïíï x + 25 y = 225 ïï 2 ïỵ x + y = 16 ïìï ï Û ïí ïï ïï ỵ 175 ïìï ïï x = ± í ïï ïï y = ± ỵ 175 16 Û 81 y = 16 x2 = a= 175 ; );(4 175 175 ; );( ; - ), (4 4 19 19 57 ;b= Þ c = a - b2 = 4 Áp dụng định lý côsin tam giác F1F2 M ta có: F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2 cos1200 Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện là: ( x2 y + =1 19 19 suy 16 c2 c2 2 2 Û 4c = 2(a + x ) + (a x ) a2 a2 19 Û x2 = Û x = Û y = ± 175 19 ; - Vậy ) có điểm (0; ), (0; 4 19 ) thỏa mãn yêu cầu toán toán tương giao: Cho đường thẳng d có phương trình : Ax + By + C = Và elip ( E ) : x + y = 1( a > b > ) 2 a b từ phương trình đường thẳng rút x theo y y theo x vào phương trình elip ta phương trình bậc hai Số nghiệm phương trình số điểm chung (d) elip Câu 11 : Tìm tọa độ giao điểm Đường thẳng d : 3x + y - 12 = cắt 2 16 elip ( E ) : x + y = Lời giải tham khảo: Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( E ) nghiệm Lưu ý ĐƯỜNG ELIP hệ ìï ïï ïìï 3x + y - 12 = ïï ï 2 Û í x íï y ïï ïï + =1 ïï ỵï 16 ïï ỵ ìï ïï ï Û ïí ïï ïï ïỵ 3x y = 3éx = ê êx = ë y = 3- 3x ổ 3x ữ ỗ x2 ỗ ố ø 4÷ + =1 16 ìï 3x ïï y = Û í ïï ïỵ x - x = ìï M ( 0;3 ) Vậy tọa độ giao điểm ïíï ïỵ N ( 4;0 ) 11.1 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y (E) : + =1 Tìm m để: d cắt ( E ) hai điểm phân biệt Lời giải Tọa độ giao điểm d ( E ) nghiệm hệ: 11.2 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y (E) : + =1 Tìm m để d ( E ) có điểm chung ìïï 2x-y + m = 0(1) í ïïỵ x + y - 20 = 0(2) Lời giải d ( E ) có điểm chung Từ ( 1) Þ y = 2x + m , vào  2 : d cắt ( E ) hai điểm phân phương biệt phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt trình (*) có nghiệm kép: điều kiện : D ' > Û 20m2 < 480 Û - < m < Vậy - < m < D ' = Û 20m = 480 Û m = ±2