0D1A bài giảng tự luận mệnh đề đáp án chi tiết

Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA Định nghĩa: Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q ” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu P  Q Khi mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo P  Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “ P Q ” gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q hai mệnh đề P  Q Q  P Chú ý: “Tương đương gọi thuật ngữ khác “điều kiện cần đủ”, “khi khi”, “nếu nếu” Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề P  n : n Câu: “ chia hết cho ” với n số tự nhiên P  x; y  : x  y 5 “ ” với x, y số thực Các kí hiệu ,  mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ,  Kí hiệu  : đọc với mọi;  : đọc tồn Phủ định mệnh đề “ x  X , P( x) ” mệnh đề “ x  X , P( x) ” Phủ định mệnh đề “ x  X , P ( x) ” mệnh đề “ x  X , P ( x) ” B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Phương pháp: Muốn xác định mệnh đề ta áp dụng định nghĩa sau: Mệnh đề: Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Lưu ý Câu Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? (1) Đi Picnic niềm u thích tơi! (2) Phương trình x  0 có nghiệm Trang -1- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN (3) 16 số chẵn (4) Số  có phải số ngun hay khơng? (5) Ấn độ nước đông dân giới (6) Tam giác ABC vng có góc vuông o (7) Một tứ giác nội tiếp đường trịn tổng hai góc đối 90 Lời giải tham khảo Câu (1) (4) không mệnh đề (vì câu cảm thán, câu hỏi) Câu (2) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (3) mệnh đề Vì khẳng định có tính sai Câu (5) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (6) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (7) mệnh đề Vì khẳng định có tính sai Câu Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề chứa biến? a) a  b c) x  x  0 b)   3.12 d) x  0 2n  chia hết cho (với n  N ) f) e) 15 số phương Lời giải tham khảo Câu (a) mệnh đề Câu (b) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (c) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề x 1, x 2 mệnh đề sai x x 1, x 2 Câu (d) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề x .là mệnh đề sai Câu (e) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (f) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề n 4, mệnh đề sai x 0,1, 2,3 1.1 Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu 1.2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề chứa biến? mệnh đề? a) Không lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư e) 2018 không số nguyên tố f) số vơ tỉ g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều hai điểm chung Trang -2- a) Số 11 số chẵn b) Huế thành phố Việt Nam c) x  số nguyên dương d)   e)  x 3 f) Phương trình x  0 có nghiệm Lời giải tham khảo Câu (a) mệnh đề mệnh đề chứa biến Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Câu (b) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (c) mệnh đề chứa biến Câu (d) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (e) mệnh đề chứa biến Câu (f) mệnh đề chứa biến DẠNG TOÁN 2: XÉT TÍNH ĐÚNG-SAI CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phương pháp: Một câu khẳng định mệnh đề đúng, câu khẳng định sai mệnh đề sai Lưu ý Câu Xét tính Đúng-Sai mệnh đề sau: Lời giải tham khảo Câu mệnh đề a), b) Câu d), f) mệnh đề Câu e) sai Câu g) a) Phương trình bậc ln ln có nghiệm b) Tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn c) d) A A  a   b  a.b     a    b  Lời giải tham khảo a) mệnh đề b) mệnh đề  A A 0 A  - A A  c) mệnh đề sai Vì d) mệnh đề 1.1 Xét tính Đúng-Sai mệnh đề sau: a)        b) Nếu tam giác có góc 60 tam giác c) Một tứ giác hình chữ nhật chúng có góc vng d) Nếu x  y t.x t y với t Lời giải tham khảo a) Sai Vì        b) Sai Vì Tam giác tam giác có góc 60 Trang -3- 1.2 Tìm giá trị x để mệnh đề mệnh đề P : “3 x  0” Lời giải tham khảo Mệnh đề x 1 Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN c) Đúng d) Đúng 1.3 Cho ba mệnh đề sau, với n số tự nhiên (1) n  số phương (2) Chữ số tận n (3) n  số phương Biết có hai mệnh đề mệnh đề sai Hãy xác định mệnh đề đúng, mệnh đề sai Lời giải tham khảo Ta có số phương có chữ số tận 0,1, 4,5, 6,9 Vì - Nhận thấy mệnh đề (1) (2) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n  có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy hai mệnh đề phải có mệnh đề mệnh đề sai - Tương tự, nhận thấy hai mệnh đề (2) (3) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n –1 có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy ba mệnh đề mệnh đề (1) (3) đúng, mệnh đề (2) sai DẠNG TOÁN 3: PHỦ ĐỊNH MỘT MỆNH ĐỀ Các phép tốn mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh lại với tạo mệnh đề Một số mệnh đề toán là: Mệnh đề phủ định (phép phủ định), mệnh đề kéo theo (phép kéo theo), mệnh đề ảo, mệnh đề tương đương (phép tương đương) Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P Kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P Các kí hiệu ,  mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ,  Kí hiệu  : đọc với mọi;  : đọc tồn Phủ định mệnh đề “ x  X , P( x) ” mệnh đề “ x  X , P( x) ” Phủ định mệnh đề “ x  X , P ( x) ” mệnh đề “ x  X , P ( x) ” Câu Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? Trang -4- Lời giải Ta có mệnh đề phủ định P : “Hai đường chéo hình thoi khơng vng góc với nhau”, mệnh đề sai Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN P: “Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau” Q: “6 số nguyên tố” R: “Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại” S: “5 > -3” K: “Phương trình x  x  0 có Q : “6 khơng phải số nguyên tố”, mệnh đề R : “Tổng hai cạnh tam giác nhỏ cạnh lại”, mệnh đề sai S : “5 ≤ -3”, mệnh đề sai K : “Phương trình x  x  0 vơ nghiệm”, mệnh đề nghiệm”  H: “  12  3 ” x  x  ( x  1)  0 H : “ Câu Xét tính (sai) mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) x  , x  x   b) x  , x  x  ( x  3x  1)( x  3x  1) c) x  , n  chia hết cho d) q  , 2q  0 e) n  , n(n  1) số phương  12  3 ”, mệnh đề sai Lời giải a) Mệnh đề x  , x  x   sai, chẳng hạn x = -1 ta có (-1)3 – (-1)2 + = -1 < Mệnh đề phủ định x  , x3  x  0 b) Mệnh đề x  , x  x  ( x  3x  1)( x  3x  1) x  x  ( x  1)  x ( x  x  1)( x  Mệnh đề phủ định x  , x  x  ( x  3x  1)( x  x  1) c) Mệnh đề x  , n  chia hết cho n =1   n2 + =  Mệnh đề phủ định “ x  , n  không chia hết cho 4” d) Mệnh đề q  , 2q  0 sai Mệnh đề phủ định q  , 2q  0 e) Mệnh đề “ n  , n(n  1) số phương” Mệnh đề phủ định “ n  , n(n  1) không số phương” Câu Dùng kí hiệu để viết câu sau viết mệnh đề phủ định a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Trang -5- Lời giải a) Ta có P: n   , n(n +1)(n + 2) 6, mệnh đề phủ định P : n   , n(n +1)(n + 2) 6 3x Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN b) Với số thực bình phương số số khơng âm c) Có số ngun mà bình phương nó d) Có số hữu tỉ mà nghịch đảo lớn b) Ta có Q: x  , x 0 , mệnh đề phủ định Q : x  , x  c) Ta có R: n  , n n , mệnh đề phủ định R : n  , n n q  ,  q q d) mệnh đề phủ định q  , Câu Xác định tính sai mệnh đề sau tìm phủ định nó: a) A: “ x  , x 0 ” b) B: “Tồn số tự nhiên số nguyên tố” c) C: “ x  , x chia hết cho x + 1” d) D: “ n  , n  n  hợp số” e) E: “Tồn hình thang hình vng” f) F: “Tồn số thực a cho a 1  2 a 1 ” q q Lời giải a) Mệnh đề A A : x  , x  b) Mệnh đề B B : “Với số tự nhiên số nguyên tố” c) Mệnh đề C sai C : “ x  , x ( x  1) ” d) Mệnh đề D sai với n = ta có n  n  13 hợp số Mệnh đề phủ định D :” n  , n  n  số nguyên tố” e) Mệnh đề E E : “Với hình thang khơng hình vng” f) Mệnh đề F mệnh đề phủ định F : “Với số thực a a 1  Câu 2 a 1 ” a) Cho mệnh đề P: “Với số thực x, x số hữu tỉ 2x số hữu tỉ” Lời giải a) Mệnh đề P: “ x  , x    x   Dùng kí hiệu P, P xác định tính –sai b) Phát biểu MĐ đảo P chứng tỏ MĐ Phát biểu mệnh đề dạng tưng đương ” MĐ P : “ x  , x    x   ” MĐ sai Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai: P: “Trong tam giác tống ba góc 1800” Lời giải Ta có mệnh đề phủ định là: Trang -6- b) MĐ đảo P “Với số thực x, x  Q 2x  Q” Hay “ x  , x    x   ” P : “Trong tam giác tống ba góc khơng 1800”, mệnh đề sai Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Q: “ (  27) số nguyên” R: “Việt Nam vô địch Worldcup năm 2020”  2 ” S: “ K: “Bất phương trình x2013 > 2030 vơ nghiệm” “ (  27) nguyên”, mệnh đề sai Q: số R : “Việt Nam không vô địch Worldcup năm 2020”, mệnh đề không xác định hay sai S:“   2 ”, mệnh đề K : “Bất phương trình x2013 > 2030 có nghiệm”, mệnh đề DẠNG TOÁN 4: MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO, MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu P  Q Khi mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo P  Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q hai mệnh đề P  Q Q  P Chú ý: “Tương đương gọi thuật ngữ khác “điều kiện cần đủ”, “khi khi”, “nếu nếu” Lời giải Câu Phát biểu mệnh đề P  Q phát biểu  a) Mệnh đề P Q “Nếu tứ giác ABCD mệnh đề đảo, xét tính sai hình thoi AC BD cắt a) P: “Tứ giác ABCD hình thoi” Q: trung điểm đường”, mệnh đề “Tứ giác ABCD, AC BD cắt trung điểm đường” Mệnh đề đảo Q  P “Nếu tứ giác ABCD b) P: “2 > 9” Q: “4 < 3” có AC BD cắt trung điểm c) P: “Tam giác ABC vuông cân A” đường ABCD hình thoi”, mệnh Q: “Tam giác ABC có Aˆ 2 Bˆ ” đề sai d) P: “Ngày tháng ngày Quốc b) Mệnh đề P  Q “Nếu > < 3”, Khánh nước Việt Nam” Q: “Ngày mệnh đề mệnh đề P sai 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ” Mệnh đề đảo Q  P “Nếu < < 9”, mệnh đề mệnh đề Q sai c) Mệnh đề P  Q “Nếu tam giác ABC vuông cân A Aˆ 2 Bˆ ”, mệnh đề Mệnh đề đảo Q  P “Nếu tam giác ABC có Aˆ 2 Bˆ vng cân A”, mệnh đề sai d) Mệnh đề P  Q “Nếu ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam Trang -7- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ” Mệnh đề đảo Q  P “Nếu ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam” Hai mệnh đề mệnh đề P, Q Câu Phát biểu mệnh đề P  Q hai cách xét tính sai a) P: “Tứ giác ABCD hình thoi” Q: “Tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” b) P: “Bất phương trình x  3x  ” có nghiệm Q: “ ( 1)  3.( 1)  ” Lời giải a) Ta có mệnh đề P  Q mệnh đề P  Q, Q  P phát biểu theo hai cách sau: “Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” “Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” b) Ta có mệnh đề P  Q mệnh đề P, Q (do mệnh đề P  Q, Q  P đúng) phát biểu theo hai cách sau: “Bất phương trình x  3x  có nghiệm ( 1)  3.( 1)  ” x  3x  có Và “Bất phương trình ( 1)  3.( 1)  nghiệm ” Câu Phát biểu mệnh đề P  Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật” Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với nhau” b) P: “  ” Q: “ (  3)  (  2) ” ˆ ˆ ˆ c) P: “Hai tam giác ABC có A B  C ” Q: “Tam giác ABC có BC = AB2 + AC2” d) P: “Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam” Q: “Évariste Galois Trang -8- Lời giải a) P  Q: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với nhau”, mệnh đề sai Q  P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với tứ giác ABCD hình chữ nhật”, mệnh đề sai b) P  Q: “Nếu    (  3)3  (  2)3 ”, mệnh đề Q  P: “Nếu (  3)3  (  2)3 Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN nhà Thơ lỗi lạc giới” Câu Phát biểu mệnh đề P  Q hai cách xét tính sai a) Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD hình vng” Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” b) P: “Bất phương trình x  x   có nghiệm” Q: “Bất phương trình x  x  0 vô nghiệm”    ”, mệnh đề sai c) P  Q: “Nếu hai tam giác ABC có Aˆ Bˆ  Cˆ tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2” Q  P: “Nếu tam giác ABC có BC = AB2 ˆ ˆ ˆ + AC2 hai tam giác ABC có A B  C ” Hai mệnh đề d) P  Q: “Nếu Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc giới”, Q  P: “Nếu Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc giới Tố Hữu nhà Tốn học lớn Việt Nam” Hai mệnh đề Lời giải a) Ta có mệnh đề P  Q mệnh đề P  Q, Q  P phát biểu hai cách sau: “Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” “Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với b) Ta có mệnh đề P  Q sai mệnh đề P cịn Q sai Phát biểu mệnh đề P  Q hai cách “Bất phương trình x  x   có nghiệm Bất phương trình x  x  0 vô nghiệm” “Bất phương trình x  x  0 vô nghiệm Bất phương trình x  x   có nghiệm” Câu 10 Cho hai mệnh đề: A: “Nếu ΔABC có cạnh a, a ”; đường cao h B: “Tứ giác có bốn cạnh hình vng”; h Trang -9- Lời giải Ta có A D mệnh đề đúng, B C mệnh đề sai Do đó: a) Mệnh đề A  B sai A đúng, B sai Mệnh đề A  D A D Mệnh đề B  C B sai b) Mệnh đề A  B sai mệnh đề A  B Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN C: “15 số nguyên tố” D: “ 125 số nguyên” a) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai: A  B, A  D, B  C b) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai: A  B, B  C, B  D Câu 11 Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P  Q, Q  P xét tính sai mệnh đề a) Cho tứ giác ABCD hai mệnh đề: P: “Tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800” Q: “Tứ giác nội tiếp đường tròn” b) P: ( 2 “ 2   1” Q: “ 3)  ( 1)2 ” sai (Hoặc A B sai), Mệnh đề B  C hai mệnh đề B C sai Mệnh đề A  D hai mệnh đề A D Lời giải  a) P Q: “Nếu tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn” Q  P: “Nếu tứ giác khơng nội tiếp đường trịn tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800” Mệnh đề P  Q đúng, mệnh đề Q  P sai b) P ( 2 Q  P:  Q: “Nếu 2   3)  (  1) ” ( 2 “Nếu 3) ( 1) 2   1” Mệnh đề P  Q sai P đúng, Q sai, mệnh đề Q  P P Q Câu 12 Cho số tự nhiên n, xét hai mệnh đề chưa biến: A(n): “n số chẵn” B(n): “n2 số chẵn” a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n)  B (n) Cho biết mệnh đề hay sai? b) Hãy phát biểu mệnh đề “ n  , B (n)  A(n) ” c) Hãy phát biểu mệnh đề “ n  , A(n)  B (n) ” Lời giải a) A(n)  B( n) : “Nếu n số chẵn n2 số chẵn” Đây mệnh đề n 2k (k  )  n 4k số chẵn b) “ n  , B (n)  A(n) ”: Với số tự nhiên n, n2 số chẵn n số chẵn c) “ n  , A(n)  B(n) ”: Với số tự nhiên n, n số chẵn n2 số chẵn DẠNG TOÁN 5: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lí chứng minh định lí: Trang -10- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN  Trong Tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: " x  X , P ( x)  Q ( x)" , P(x), Q(x) mệnh đề chứa biến  Có cách để chứng minh định lí dạng Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x  X mà P(x) - Chứng minh Q(x) suy luận kiến thức Toán học biết Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau: - Giả sử tồn x0  X cho P(x ) Q(x ) sai 0 - Dùng suy luận kiến thức tốn học để đến mâu thuẫn Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ:  Cho định lí dạng " x  X , P( x)  Q( x)" (1) Khi P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần đề có P(x)  Mệnh đề " x  X , Q( x)  P( x)" gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lí thuận gộp lại thành định lí " x  X , Q ( x)  P ( x )" , ta gọi P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) Ngồi cịn nói “P(x) Q(x)”, “P(x) Q(x)” B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 5.1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Lời giải Câu 13 Chứng minh với số tự nhiên n, n Giả sử n khơng chia hết cho n chia hết cho n chia hết cho = 3k + n = 3k + 2, k   Với n = 3k + ta có n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + không chia hết cho (mâu thuẫn) Với n = 3k + ta có n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không chia hết cho (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho Câu 14 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a 0 Chứng minh tồn số thực  cho a.f(  ) ≤ phương trình f(x) = ln có nghiệm Lời giải Ta có b    f ( x) a  x    ,  b  4ac 2a  4a  Giả sử phương trình cho vơ nghiệm, nghĩa Δ < Khi t có b    af ( x) a  x     0, x   2a   Suy không tồn  cho a.f(  ) ≤ 0, trái với giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, hay Trang -11- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN phương trình cho ln có nghiệm Câu 15 Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phản từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác không cân A Không tính tổng quát xem AC  AB Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH   Khi AB = AD, BAL LAD AL chung nên ΔABL = ΔADL Do AL = LD hay L trung điểm BD Suy LH đường trung bình ΔCBD  LH//DC điều mâu thuẫn LH, DC cắt A Vậy tam giác ABC cân A Câu 16 Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai: ax  bx  c 0 vơ nghiệm a c dấu Câu 17 Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số ngun dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho Trang -12- Lời giải Giả sử phương trình vơ nghiệm a, c trái dấu Với điều kiện a, c trái dấu ta có a.c < suy Δ = b2 – 4ac = b2 + 4(-ac) > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều mâu thuẫn với giả thiết phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm a, c phải dấu Lời giải Giả sử hai số ngun dương a b có số không chia hết cho 3, chẳng hạn a khơng chia hết cho Thế a có dạng a = 3k + a = Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN 3k + Lúc a2 = 3m + 2, nên b chia hết cho b không chia hết cho a2 + b2 có dạng 3n + 3n + 2, tức a2 + b2 không chia hết cho 3, trái giả thiết Vậy a + b2 chia hết cho a b chia hết cho Câu 18 Chứng minh rằng: Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a + b2 > 5c2 c dộ dài cạnh nhỏ tam giác Lời giải Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Không tính tổng quát, giả sử a ≤ c  a2 ≤ c2 (1) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có, b < a + c  b2 < (a +c)2 (2) Do a ≤ c  ( a +c)2 ≤ 4c2 (3) Từ (2) (3) suy b2 ≤ 4c2 (4) Cộng vế với vế (1) (4) ta có a + b2 ≤ 5c2 mâu thuẫn với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Câu 19 Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh ba bất đẳng thức sau sai Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức Khi đó, nhân vế theo vế bất đẳng thức ta được: a (1  b)  1 b(1  c)  c (1  a )  4, 4, 1 a (1  b).b(1  c ).c(1  a )      hay a (1  a).b(1  b).c(1  c)  64 (*) Mặt khác a (1  a )  a  a   1  a   2    a (1  a )  Do < a < 1   b(1  b)  4, Tương tự theo   c(1  c)  Nhân vế vế ta 64 (**) Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn với (*) a (1  a ).b(1  b).c(1  c)  Trang -13- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Vậy có ba bất đẳng thức cho sai (đpcm) Câu 20 Nếu a1a1≥2(b1+b2) hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Lời giải Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi D1 = a12 – 4b1 < 0, D2 = a22 – 4b2  a12 – 4b1 + a22 – 4b2 <  a12 + a22 < 4(b1 + b2) (1)  a1  a2  Mà a12  a22 2a1a2 0  (2) Từ (1) (2) suy 2a1a2   b1  b2  a a   b1  b2  hay trái giả thiết Vậy phải có hai sô 1 ,  lớn phương trình x  a1 x  b1 0, x  a2 x  b2 0 có nghiệm số vô tỉ Câu 21 Chứng minh Lời giải Dễ dàng chứng minh n2 số chẵn n số chẵn m 2 n Giả sử số hữu tỉ, tức , m, n   * , (m, n) = m 2 n  m2 = 2n2  m2 số Từ chẵn  m số chẵn  m = 2k, k   * Từ m2 = 2n2  4k2 = 2n2  n2 = 2k2  n2 số chẵn  n số chẵn Do m chẵn, n chẵn mâu thuẫn với (m, n) = Vậy Câu 22 Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện:  a  b  c  0(1)  ab  bc  ca  0(2)  abc  0(3)  Trang -14- số vô tỉ Lời giải Giả sử ba số a, b, c không đồng thời số dương Vậy có số khơng dương Do a, b, c có vai trị bình đẳng nên ta Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Chứng minh ba số a, b, c dương Câu 23 Chứng minh phản chứng định lí sau: “Nếu tam giác ABC có đường phân giác BE, CF tam giác ABC cân” giả sử a: ≤ + Nếu a = mâu thuẫn với (3) + Nếu a < từ (3) suy bc < Ta có (2)  a(b +c) > -bc  a(b +c) >0  b + c <  a + b + c < mâu thuẫn (1) Vậy ba số a, b, c dương Lời giải ˆ ˆ Nếu B  C ta dựng hình bình hành BEDF hình vẽ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có B  C  B2  C2  D1  C2 (1) Ngoài ra, BE = CF  DF = CE ˆ ˆ ˆ ˆ  D1  D2 C2  C3 (2) Từ (1) (2) suy  C   EC  ED  EC  FB D Xét tam giác BCE CBF, ta thấy: BC chung, BE = CF, BF > CE nên  B  C  B  C 1 Mâu thuẫn   Trường hợp C  B , chứng minh hoàn toàn tương tự   Do B C Vậy tam giác ABC cân A Câu 24 Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác Lời giải Trước hết xếp đoạn cho theo thứ tự tăng dần độ dài a1 , a2 ,, a7 chứng minh dãy xếp ln tìm đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu hớn đoạn cuối (vì điều kiện để đoạn ghép thành tam giác Trang -15- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN tổng hai đoạn lớn đoạn thứ 3) Giả sử điều kiện cần chứng minh không xảy ra, nghĩa đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a1  a2 a3 ; a2  a3 a4 ; …; a5  a6 a7 Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn 10, ta nhận a3  20 Từ a2  10 a3  20 ta nhận a4  30, a5  50, a6  80 a7  130 Điều a7  130 mâu thuẫn với giả thiết độ dài nhỏ 100 Có mâu thuẫn giả sử điều cần chứng minh không xảy Vậy, tồn đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu hớn đoạn cuối Hay nói cách khác đoạn ghép thành tam giác DẠNG TỐN 5.2: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Lời giải Câu 25 Cho định lí: “Cho số tự nhiên n, n chia n số tự nhiên, n5 chia a) P: “ hết cho n chia hết cho 5” Định lí hết cho ”, Q : “ n chia hết cho viết theo dạng P  Q ” a) Hãy xác định mệnh đề P Q b) Với n số tự nhiên, n chia hết b) Phát biểu định lí cách dung thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dung thuật ngữ “điều kiện đủ” d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dung thuật ngữ “điều kiện cần đủ” để gộp hai định lí thuận đảo cho điều kiện cần đề n chia hết cho ; phát biểu khác: Với n số tự nhiên, điều kiện cần đề n5 chia hết cho n chia hết cho 5 c) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho d) Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n chia hết cho 5” e) Thật n 5k n5 55.k : số chia hết cho Trang -16- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n chia hết cho Câu 26 Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ” a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu số ngun dương chia hết cho chia hết cho c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vuông A AH đường cao AB BC AH Lời giải a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo d) Tam giác ABC vuông A AH đường cao điều kiện đủ để AB BC AH Tam giác ABC có AB BC AH điều kiện cần để vng A AH đường cao Câu 27 Phát biểu định lí sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện cần” “Điều kiện đủ” a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu số nguyên dương có chữ số tận chia hết cho c) Nếu tứ giác hình thoi hai đường chéo vng góc với d) Nếu hai tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho Trang -17- Lời giải a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện cần để hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ b) Số nguyên dương có chữ số tận là điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để có chữ số tận c) Tứ giác hình thoi điều kiện đủ để hai đường chéo vng góc với Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Tứ giác có hai đường chéo vng góc với điều kiện cần để hình thoi d) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có góc tương ứng Hai tam giác có góc tương ứng điều kiện cần để chúng e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương a chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho 24 Câu 28 Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu thuật ngữ sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường 3 c) x  y  x  y d) Tứ giác MNPQ hình bình hành   MN PQ Câu 29 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng, sao? b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng, sao? Trang -18- Lời giải a) Một tam giác tam giác cân điều kiện cần đủ để có hai góc b) Tứ giác hình bình hành điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x  y điều kiện cần đủ để x 3 y d) Điều kiện cần đủ để tứ giác MNPQ hình bình hành   MN PQ Lời giải a) Một tứ giác hình vng điều kiện đủ để có cạnh Một tứ giác có cạnh điều kiện cần để hình vng Khơng có định lí đảo tứ giác có cạnh hình thoi b) Một tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có hai đường chéo vng góc Một tứ giác có hai đường chéo vng góc điều kiện cần để hình thoi Khơng có định lí đảo tứ giác Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN có hai đường chéo vng góc hình vng đa giác có hai đường chéo vng góc Trang -19-