65 bài giảng tự luận đường elip( in cho học sinh)

ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c ( c > ) số a > c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1 , F2 tiêu điểm (E) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E) MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu y 2) Phương trình tắc elip: B2 F ( - c;0 ) , F2 ( c;0 ) M Với tọa độ tiêu điểm : A2 A1 F2 x F1 O x2 y M ( x; y ) Ỵ ( E ) Û + = ( 1) a b2 B1 b2 = a - c Hình 3.3 (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng F ( - c;0 ) F ( c;0 ) + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải A ( - a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0;- b ) , B2 ( 0; b ) + Các đỉnh : A A = 2a B B = 2b + Trục lớn : , nằm trục Ox; trục nhỏ : , nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a, y = ±b gọi hình chữ nhật sở c e = b > 0) 2 xác định a,b từ suy c = a - b ĐƯỜNG ELIP + Xác định yếu tố (E) - Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bé: 2b -Tiêu cự 2c A ( - a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0;- b ) , B2 ( 0; b ) -Tọa độ đỉnh c e = b > Từ yếu tố biết thiết lập phương trình chứa a b tìm a b   Thay vào phương trình ta phương trình tắc elip Cần lưu ý hệ thức: a = c + b2 2a Khoảng cách hai đường chuẩn c Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có Độ dài trục lớn 14 độ dài trục bé 10? b) (E) có độ dài trục lớn 10 tiêu cự 6? Lời giải tham khảo: Lưu ý ĐƯỜNG ELIP x2 y + =1 b2 a a) Phương trình tắc (E) : với a > b > Độ dài trục lớn 2a = 14 Þ a = 7, Độ dài trục bé 2b = 10 Þ b = 5, x2 Vậy phương trình tắc (E) : 49 + y2 25 =1 b) Độ dài trục lớn 2a = 10 Þ a = 5, 2 Tiêu cự 2c = Þ c = 3, b = a - c = 25 - = 16 Þ b = Vậy phương trình tắc (E) : x2 25 + y2 16 =1 4.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: 4.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: E) có độ dài trục lớn 30 (E) có Độ dài trục lớn 18 độ dài trục bé tiêu cự 24? 12? Lời giải ………………………………………… Lời giải ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Lưu ý a)(E) có độ dài trục lớn tâm sai b) Có tâm sai e= 5 e= nhận F (4;0) tiêu điểm Lời giải tham khảo ĐƯỜNG ELIP a)Độ dài trục lớn 2a = Þ a = 3, tâm sai e= c 2 Û = Þ c = 2, b = a - c = - = Þ b = a Vậy phương trình tắc ( E) : x2 + y2 =1 e = b) Vì F (4;0) Þ c = ; Û c = Þ a = 5, b2 = a - c = 20 - 16 = Þ b = a Vậy phương trình tắc ( E) : x2 20 + 5.1: Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E) có độ dài trục lớn tâm sai e= y2 =1 5.2 Lập phương trình tắc Elip e= nhận F (2;0) (E) biết: Có tâm sai tiêu điểm Lời giải ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Lời giải ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Lưu ý a) Tiêu cự qua điểm M ( 15; - 1) b )Độ dài trục nhỏ qua điểm M (2 15; 2) N( ;1) M (1;0) c) Đi qua hai điểm Lời giải tham khảo ĐƯỜNG ELIP Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y + = 1( a > b > ) a b2 a) Tiêu cự 2c = Þ c = 4, qua điểm M ( 15; - 1) nên 15 16 + b2 + b2 = 1( a > b > ) Û b4 = 16 Û b = với b = Þ a = 5, x2 y + =1 Vậy phương trình tắc (E) 20 b) Độ dài trục nhỏ 2b = Þ b = 3, qua điểm M (2 15; 2) nên 60 + = 1( a > b > ) Û a = 108 Û a = 108 a x2 Vậy phương trình tắc (E) 108 + y2 =1 40 N(2; ) M (3;0) ta có hệ phương trình c)Đi qua hai điểm ìï ïï ï í ïï ïï ỵ =1 a2 Û 40 + =1 a 9b ìï a = íï ïïỵ b = 2 x2 Vậy phương trình tắc (E) + y2 =1 6.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Tiêu cự qua điểm M (1; ) 6.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Độ dài trục nhỏ 10 M( 24 ;3) Lời giải ………………………………………………… qua điểm Lời giải ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ĐƯỜNG ELIP ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… 6.3 Lập phương trình tắc Elip (E) biết 70 N(- 3; ) M (4; 0) Đi qua hai điểm ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… Câu Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) (E)có tọa độ đỉnh ( 0; ) v i qua im ổ4 10 Mỗ ;ỗ ỗ è 1÷ ÷ ÷ ø b) (E) có tiêu điểm thứ ( - 3;0 ) qua điểm M (1; 33 ) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y + = 1( a > b > ) a b2 a) (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; ) nằm trục tung nên b = phương trình tắc x2 y + = 1( a > ) (E) có dạng: a Lu ý NG ELIP ổ4 10 Mỗ ;ỗ ỗ è Mặt khác (E) qua điểm 1÷ ÷ ÷ ø nên 160 + = Þ a2 = 25a x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) b) (E) có tiêu điểm F1 (- 3;0) nên c = suy a = b + c = b + (1) Mặt khác M (1; 33 528 ) ẻ (E) ị + =1 a 25b (2) Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b - 478b - 1584 = b + 25b 2 Û b = 22 Þ a = 25 x2 y + =1 Vậy phương trình tắc (E) 25 22 7.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: 7.2 Lập phương trình tắc Elip (E)có tọa độ đỉnh ( 0; (E) biết:(E) có tiêu điểm thứ nht ( - 2; ) ổ2 Mỗ ;ỗ ç è 3) qua điểm 1÷ ÷ ÷ ø Lời giải ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… qua điểm M( ;1) Lời giải ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ĐƯỜNG ELIP ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… Câu8 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y + = có diện tích 48 b) (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lời giải tham khảo a) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y + = suy b = Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b = 48 Þ a = x2 y + =1 Vậy phương trình tắc (E) 36 b) (E) có tâm sai suy 2 hay 4a = 9b (3) a - b2 = a ………………………………………… ………………………………………… Lưu ý ĐƯỜNG ELIP Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy ( a + b ) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a = 3, b = x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) Câu8.1 Lập phương trình tắc Elip (E) Câu8.2 Lập phương trình tắc biết: Elip (E) biết: Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm x = 24 đường thẳng có diện tích (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 36 Lời giải ………………………………………………… Lời giải ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… Dạng 3: Tìm điểm (E), toán tương giao Phương pháp giải: Bài toán tìm điểm : Khi làm ý kiến thức sau : +Bán kính qua tiêu điểm điểm M ( xM ; yM ) thuộc (E) là: c c MF1 = a + exM = a + xM , MF2 = a - exM = a - xM a a F F = MF12 + MF22 - MF1.MF2 cosF1MF2 + Định lí hàm số cosin: ìï ïï ïï 2 x y M ( x; y ) Ỵ ( E ) Û + = Þ ïí ïï 2 a b ùù ùù ợ +Nu x2 Ê1 a2 ị y2 £1 b ïì - a £ x £ a (a > b > 0) í ïïỵ - b £ x £ b ĐƯỜNG ELIP x2 Câu : Cho ( E ) có phương trình + y2 Lưu ý =1 a) Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB b) Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 2MF2 Lời giải tham khảo: 2 2 a) Từ phương trình (E) ta có a = 9, b = Þ c = a - b = F1 (- 5; 0), F2 ( 5; 0) Đường thẳng qua F1 song song với y cắt elip A, B có hồnh độ x= 5 y2 16 ( E) : + =1 Û y2 = Û y = ± 9 Thế vào 4 A( 5; ), B( 5; - ) AB = 3 Vậy độ dài đoạn 5 MF1 = + xM , MF2 = x 3 M b) Ta có: 5 MF = 2MF2 Û + xM = 2(3 x ) Û xM = 3 M Theo giả thiết Do M Ỵ (E) : Vậy có điểm 9.1 x2 25 45 y2 16 + M = Û yM2 = Û yM = ± 225 5 M( 5 5 ; ), M '( ;) 5 5 thỏa mãn yêu cầu toán Cho ( E ) có phương trình + y2 =1 Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường x2 9.2 Cho ( E ) có phương trình 100 + y2 36 =1 Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 5MF2 Lời giải ĐƯỜNG ELIP thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB Lời giải ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… x2 Câu 10 : Tìm tọa độ điểm M elip: 16 + y2 =1 FF cho M nhìn góc 60 Lời giải tham khảo: 2 2 a) Ta có: a = 16, b = Þ c = a - b = 12 Þ a = 4, b = 2, c = 3 MF1 = + xM , MF2 = x 2 M FF M Áp dụng định lý côsin tam giác ta có: F1F22 = MF12 + MF22 - MF1.MF2 cos600 (4 + xM )2 + (4 3 xM )2 - 2(4 + xM )(4 2 ìï ïï xM = ± 128 xM2 = Þ yM2 = Û ïí ïï 9 ïï yM = ± ỵ Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán xM ) = 48 2 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP M1 ( 2 2 2 2 ; ), M (; ), M ( ; - ), M (;- ) 3 3 3 3 2 10.1 Cho elip x + 25 y = 225 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc vng Lời giải ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 2 10.2 Cho elip x +16 y = 19 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc 120° Lời giải ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… toán tương giao: Ax + By + C = Cho đường thẳng d có phương trình : Và elip x2 y ( E ) : a + b = 1( a > b > ) ĐƯỜNG ELIP từ phương trình đường thẳng rút x theo y y theo x vào phương trình elip ta phương trình bậc hai Số nghiệm phương trình số điểm chung (d) elip Câu 11 : Tìm tọa độ giao điểm Đường thẳng d : 3x + y - 12 = cắt elip ( E) : Lưu ý x2 y2 + =1 16 Lời giải tham khảo: Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( E ) nghiệm hệ ìï ï ïìï 3x + y - 12 = ïïï ï Û íï í x y2 ïï ïï + =1 ïï ỵï 16 ïï ỵ ìï ïï ï Û ïí ïï ïï ïỵ 3x y = 3éx = ê êx = ë y = 3- 3x ỉ 3x ÷ ỗ x2 ỗ ố ứ 4ữ + =1 16 ïìï y = - x Û íï ïï ïỵ x - x = ìïï M ( 0;3 ) í ï Vậy tọa độ giao điểm ïỵ N ( 4;0 ) 11.1 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y (E) : + =1 11.2 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = x2 y (E) : + =1 elip Tìm m để: d cắt ( E ) hai điểm phân biệt Tìm m để d ( E ) có điểm chung Lời giải ………………………………………… ………………………………………… Lời giải ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ĐƯỜNG ELIP ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………