Chuyên đề hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi toán

CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài Xét hình chóp n – giác S A1 A2 An   ( n số tự nhiên tùy ý lớn ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: A A A a/ Đáy n có tất cạnh b/ � A  SA � A   SA � A  60 SA 2 n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đường cao SH hình chóp nêu Hướng dẫn giải S A1 A2 An   Chứng minh hình chóp tồn hình chóp đều: Chứng minh cạnh bên Đặt : SA1 = x1 ; SA2 = x2 ; ; SAn = xn Dùng định lý cosin tam giác SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta có: x22 = + x12 - x1 cos 600 = + x12 - x1 x32 = + x22 - x2 cos600 = + x22 - x2 xn2 = + xn2- - xn- 1cos600 = + xn2- - xn- x12 = + xn2 - xn cos600 = + xn2 - xn �x22 = f ( x1 ) � � � x32 = f ( x2 ) � � � � � � � �3 � � xn2 = f ( xn- ) � � � � � 2 x , x , , x � ; +� � n � f ( x) = x - x +1 = ( x - ) + � � � x = f ( x ) � � n Đặt , ta có hệ: � với �3 � � ; �� � �f  x  đồng biến Trên � Do đó: x1 �x2 Thật vậy: vơ lý x1  x2 � f  x1   f  x2  � x 22  x 32 � x  x � � x n  x1 Ta có x1  x1 ( vô lý) Tương tự x1  x suy điều vô lý: x1  x1 Vậy x1  x2 Trang Do x1  x2 2 x  x2   xn  ta x1  x1  x1  � x1  Từ ta được: SA1  SA2   SAn  đa giác Từ suy hình vng góc H S lên đáy cách đỉnh đáy Đa giác A1 A2 An có cạnh nội tiếp đường tròn nên Chứng minh đáy A1 A2 An đa giác a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ b) Chứng minh n  Ta có mặt bên hònh chóp tam giác cạnh 0 Ngoài ra: 60  A1SA2  A1 HA2 ; 60  A2 SA3  A2 HA3 ; ; 60  An SA1  An HA1 Do đó:  n.600  3600 � n   n  2 Tính SH tìm giá trị lớn nhất, nhỏ SH : SA12  HA12 SA1  1; HA1  Xét tam giác vuông SHA1 : SH  SH   2sin  n 1� � 1� �  1 �  cot g � �  cot g � , SH=  cot g  4� 4� 4� 4� 4sin n  3; 4;5 n n  : SH  ; n  : SH  ; n  : SH  1  2 1   Do giá trị lớn SH , giá trị nhỏ SH 2 Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G , K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vuông góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn giải D’ C’ E G A’ H I M B’ E1 E1 A M H1 D I1 C G1 N1 B H1 D A C I1 N1 G1 B Trang Xác định đoạn MN  ABCD  Gọi E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng KH  NN1 KH  MN1 AH1  MN1 I Do KH  MN (gt) K suy , suy Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy II1 // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải MN1 trung điểm Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Đặt   DAH1 � H1 AN1  E1 N1M   1 AE1  a � AN  cos 2 Xét tam giác vng DAH , ta có: sin   � tg  � cos2  5 a a a  � MN1  AIN1 IN  AN1 sin   6 Xét tam giác vng , ta có: a (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1  ) E1 N1 a 5 14 a 14  � MN  NN12  MN12  a  a  a � MN  cos  9 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ khơng gian MN1  Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a  12, 54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc   72 Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải Chiều cao hình chóp: SH  a tg720 �27,29018628 V  a2h �1430,475152 cm3   Thể tích hình chóp: Trung đoạn hình chóp a2 d  SH  �28,00119939 Sxq  4a.d �702,2700807 cm2 Diện tích xung quanh hình chóp:   Trang Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a  12, 54 (cm) , a  12, 54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc   72 Bài a) Tính thể tích hình cầu  S1  nội tiếp hình chóp S ABCD b) Tính diện tích hình tròn thiết diện hình cầu cầu  S2   S1  cắt mặt phẳng qua tiếp điểm mặt với mặt bên hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải SH  27.29018628; IH  SH MH  4.992806526  R MH  MS (bán kính mặt cầu nội tiếp) S  V Thể tích hình chóp : S   R �521.342129 (cm ) SM �28, 00119939 K MH  6, 27; IK  IH Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng qua tiếp điểm của hình chóp: d  EI  720  S1  I A D H B M với mặt bên C S IH  4.866027997 SH  IH 2 Bán kính đường tròn giao tuyến: r  EK  R  d �1,117984141 Diện tích hình tròn giao tuyến: S �74,38733486 (cm ) E K I M H 12, 24  cm  Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) đựng nước 4,56  cm  cao lên so với mặt đáy Một viên bi hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi (nghĩa mặt nước tiếp diện mặt cầu) Hãy tính bán kính viên bi Hướng dẫn giải  R h   x   R 2 x � x  R x  3R h  (0  x  R ) Ta có phương trình : Bài Với R, x, h bán kính đáy hình trụ, hình cầu chiều cao ban đầu cột nước Bấm máy giải phương trình: x  224, 7264 x  512,376192  (0  x �6,12) Trang x1 �2,588826692; x2 �5,857864771 Ta có: ( AB) : x  y   0; ( AC ) : x  y  42  0; ( BC ) : x  y    T  có cạnh a B Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện  T  này, xác định mặt phẳng    cho thiết diện mặt phẳng cạnh lại b Với tứ diện  tứ diện T Điều kiện độ dài hình vng a, b V  Tính diện tích hình vng V  theo a b :  T  tồn Gọi AB cạnh a , cạnh AC , AD, BC , BD, CD b + Giả sử tứ diện Gọi I trung điểm cạnh CD Tam giác AIB tam giác cân: AB  a; AI  BI  +Ngược lại với: b Từ AB  AI  BI 0ab Suy ra:  a  b Dựng tam giác BCD cạnh b với chiều cao BI AB  a , nằm mặt phẳng chứa BI vng góc với mặt phẳng  BCD  Ta Dựng tam giác cân AIB có  BCD  Tứ diện ABCD thỏa điều kiện tốn có: A  mp A a Q M P B D I N C Xác định mặt phẳng  : Trang + Giả sử thiết diện MNPQ hình vng Các mặt tứ diện  T  chứa đoạn giao tuyến MN , NP, PQ, QM gọi tên mặt  I  , mặt  II  , mặt  III  , mặt  IV  Do MN // PQ; MQ // NP nên cạnh chung mặt  I  mặt  III  ; cạnh chung mặt  II  mặt  IV  nằm hai đường thẳng song song với mp  Ngoài hai đường thẳng vng góc với nhau, + Do MN vng góc MQ a khác b nên tứ diện  T  có cặp cạnh đối vng góc , AB CD Vì mặt phẳng  phải song song với AB CD  + Gọi giao điểm mp Ta có: MN  MA với AC , BC , BD, AD , M , N , P, Q Đặt: k  MC a kb a MQ  k MN  MQ 1 k ;  k Từ b ta có : ab ( ) MNPQ : a  b + Diện tích hình vng Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp điểm N MG NG Q  NG MG Đặt 1/ Tìm tất vị trí điểm M cho Q đạt giá trị nhỏ Bài 2/ Tìm giá trị lớn Q Hướng dẫn giải Trang s N C' D' N' H G D A O C M B 1/ Q + MG NG MG NG  �2  1 NG MG Dấu NG MG  ABCD  tâm O hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm SG Từ K dựng + SG cắt mp mặt phẳng song song với mp phẳng song song với mp  ABCD   ABCD  A, B, C , D cắt SA, SB, SC , SD 1 1 Từ N dựng mặt cắt SG N ' NG N ' G NG  ; 1 � N ' trùng K � N thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 OG MG Ta có : MG Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 P , ta có : PM // SG + Từ Q  M thuộc cạnh hình bình hành A1' B1' C1' D1' A1' B1' C1' D1' hình chiếu song song hình bình hành A1 B1C1 D1 lên mp  ABCD  theo phương SG 2/ + Miền hình bình hành ABCD hợp miền tam giác OAB, OBC , OCD, ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc bốn miền tam giác Chẳng hạn M thuộc miền OAB M �A  N �C ' ; M �B  N �D ' ; M �O  N �S Trang Do N thuộc miền SC ' D ' N ' thuộc đoạn SH , với C ', D ' H trung điểm SC , SD SO HG N ' G SG NG � Do đó: HG �N ' G �SG Vì vậy: OG  OG  OG hay MG �2 NG +Đặt : x  MG Ta có : Q � � �� ; �  � x x với x � �1 � �� ; �� x  Q '  vàø x �2 � � �1 � � MaxQ  Max � Q� � ; Q   ; Q  1 � � �2 � Q : Đạt M trùng với O đỉnh A, B, C , D +Giá trị lớn S S Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ADB ADC b c Mặt phẳng phân giác  ADB   ADC  cắt BC M  góc hai mặt  ADB   ADC  nhị diện tạo hai mặt Chứng minh: Bài MB Sb  MC Sc a/ b/ Diện tích S m tam giác ADM là: Sm  2Sb Sc cos Sb  Sc  Hướng dẫn giải Câu a: + Do M mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng  ADB  ,  ADC  kí hiệu d + Do đó: MB dt(DBM) VADBM Sb d Sb     MC dt(DCM) VADCM Sc d Sc Câu b: Trang + Tính cơng thức thể tích tứ diện: 1 sin 2Sb Sc sin  VABCD  Sc BH  Sc BK.sin   Sc BK.AD  3 AD 3AD + VABCD  VADBM  VADCM A , áp dụng cơng thức tính thể tích ta suy ra:   2Sb Sc sin  2Sb Sm sin 2Sc Sm sin   3AD 3AD 3AD Rút gọn, được: Sm  2Sb Sc cos Sb  Sc K  C D M S d  MN , PQ   MN , PQ  lần Với hai đường thẳng MN , PQ chéo khơng gian, kí hiệu lượt khoảng cách góc hai đường thẳng MN , PQ Bài d  AB, CD   d  AC , BD   d  AD, BC  a/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: ba số: cotg  AB, CD  ; cotg  AC , BD  ; cotg  AD, BC  có số tổng hai số lại d  AB, CD   d  AC , BD   d  AD, BC  b/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện:  AB, CD    AC , BD    AD, BC  hình chóp tam giác Hướng dẫn giải a/ C D B1   Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện AC1 BD1 B1 DA1C d  AB, CD   d  AC , BD   d  AD, BC  Giả thiết suy mặt hình hộp diện tích S a  AB, a1  CD, AC  b, BC  b1 , AD  c , Đặt BC  c1 , AD1  z, AC1  y , AB1  x  Từ hình bình hành AC1 BD1 A1 D1 A C1 ta có: Trang a a12   y2 4 a  a12   y  z  ; cos  AB, CD   a.a1 cos  AB, CD    Chú ý: y2  z2 b/     a.a1 S  dtAC1 BD1  a1a sin  AB, CD  Tương tự:   B cot g  AC, BD   z2  x 2S ;  Do đó: x  y2 cot g  AB, CD   y2  z2 2S 2S cotg  AB, CD   cotg  AC , BD   cotg  AD, BC   cotg  AD, BD  Nếu x �y �z Các trường hợp khác có kết  AB, CD    AC , BD    AD, BC  Từ kết câu a/ thêm cotg  AB, CD   cotg  AC , BD   cotg  AD, BC   Suy cặp cạnh đối tứ diện ABCD vng góc đơi � a  a12  b2  b12  c  c12 (Do x = y = z) � a.a1  b.b1  c.c1 � Lúc ta có:  a, a1   b, b1   c, c1 Vì phải có mặt tứ diện ABCD tam giác Suy Từ ABCD hình chóp tam giác Trong khơng gian cho ba tia Ox, Oy , Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm O ) a  a 0 Ox, Oy, Oz Dãy số (an) n cấp số cộng có công sai d  Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An , Bn , Cn cho Bài OA  an OAn ; OB  an 1.OBn ; OB  an  OCn Chứng minh mặt phẳng  An , Bn , Cn  luôn qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải + Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X , Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: Trang 10 S Q P 2a C B M b x N D A a b) * Tính diện tích thiết diện MNPQ MQ  NP  Sử dụng định lý Talets ta suy Từ tính Áp dụng cơng thức QK  b x x ab  ax a PQ  2a, MN  b b b ; ba  ax b S MNPQ  3a MN  PQ QK     b  x   b  3x  4b N P Q H K M S *Tìm x để MNPQ đạt giá trị lớn S MNPQ 3a 3a �3b  x  b  3x � 3a  b  x b  x �      � � 12b 12b � � 12 Dấu "=" xảy x b Trang 56 Bài 85 [THPT Quảng Xương THANH HOÁ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a đường cao SO  a  ABCD   SCD  a) Tính góc tạo hai mặt phẳng mp  SCD  b) Gọi I trọng tâm tam giác ABO , xác định hình chiếu H I lên tính độ dài IH theo a Hướng dẫn giải  ABCD   SCD  góc SMO , a) Gọi M trung điểm CD suy góc Tam giác SMO vuông O , SO  a , OM  a suy tan SMO  hay SMO  63, 4� mp  SCD  b) Kẻ OK đường cao tam giác SOM suy OK vng góc , từ I kẻ đường thẳng song mp  SOM  song với OK cắt SM H H điểm cần tìm 5 a a IH  OK   3 Ta có Bài 86 Cho tứ diện ABCD có đường cao AA ', BB ', CC ', DD ' đồng qui điểm thuộc miền tứ diện Các đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ AA ' BB ' CC ' DD '    � A , B , C , D AA BB CC DD 1 1 1 1 tự Chứng minh: Trang 57 Bài 87 a Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh BD lấy điểm K  IJK  Chứng minh cho BK  KD Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mặt phẳng DE  DC b Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M N thay đổi BM NC   x,  x  0, x �1 đoạn thẳng SB, AC cho MS NA , Gọi G trọng tâm tam giác SCD Chứng NG / / minh MN song song với mặt phẳng cố định x thay đổi tìm x để  SAD  Bài 88 [ƠN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp S ABC cạnh a , cạnh bên a  P  mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với mặt phẳng  SBC  Gọi I Gọi trung điểm BC  P a) Xác định thiết diện hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến  P b) Tính sin  với  góc AB Bài 89 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB  a , AC  2a, AA’  2a góc BAC  120O Gọi M trung điểm CC ' a) CMR: MB   MA '  A’BM  b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC A, B , C đơi vng góc với O Gọi 1 thứ tự trung điểm cạnh BC , CA, AB a) Chứng minh tam giác A1B1C1 tam giác nhọn Bài 90 b) Biết số đo góc tam giác ABC A, B, C Gọi  số đo góc nhị diện  C1 , OA1 , B1  , tìm cos  theo B C c) Gọi d độ dài lớn độ dài cạnh OA, OB, OC gọi h độ dài lớn độ dài h �d  h đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: Bài 91 [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a  SAB  mp  ABC  a) Ta coi hình chóp cho tứ diện SABC có trọng tâm O , gọi  góc mp Hãy tính cos  để O cách tất mặt SABC Trang 58 �  P  thay đổi qua A , cho mp  P  cắt đoạn thẳng SB, SC thứ b) Biết ASB  30� Xét mặt phẳng tự B ', C ' Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác AB ' C ' theo a Bài 92 [HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện S ABC Gọi  P  mặt phẳng qua đường cao SO tứ diện; mặt phẳng  P  cắt mặt phẳng  SBC  ,  SCA  SAB  theo giao tuyến SM , SN , SP Các giao tuyến tạo với  ABC  góc  ,  ,  Chứng minh: tan   tan   tan   12 mặt phẳng � [NGHỆ AN 2015-2016] Cho hình thoi ABCD có góc BAD  60 , AB  2a Gọi H trung  ABCD  H lấy điểm S thay đổi khác H điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng BM  BC Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho Bài 93 a) Khi SH  a , chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD   SAD  có số đo lớn b) Tính SH theo a để góc SC Bài 94 [TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BÌNH ĐỊNH] Trong khơng gian cho khối đa diện có số cạnh qua đỉnh số chẵn Một thiết diện tạo mặt phẳng không qua đỉnh khối đa diện với khối đa diện Chứng minh số cạnh thiết diện số chẵn Hướng dẫn giải Giả sử số đỉnh thiết diện m ;Ta xét tron 2k Tổng cạnh qua m đỉnh 3m 2k  3m �Z � m Vậy số cạnh khối đa diện số chẵn Bài 95 [VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a 2, BC  a SA  SB  SC  SD  2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính độ dài HK theo a b) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK , CD Chứng minh đoạn thẳng BM MN vng góc với [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện S ABC đều, gọi I , K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P, Q cho PQ / / BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài Bài 96 Hướng dẫn giải Trang 59 Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI  SBI    kẻ KE / / BI , CE cắt SA P Trong mặt phẳng Qua A kẻ A F / / BI ( F thuộc BC ) , CK cắt SF Q Vậy PQ / / BI Ta có I , E trung điểm AC SI � SP  SA PQ SP 1   � PQ  AF Mà AF SA Ta có AF  BI  Vậy PQ  3 [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng SA  SB  SC  SD Mặt phẳng  P  thay đổi cắt cạnh SA, SB, SC , SD A� , B� , C� , D� ( A� , B� , C� , D� không trùng với đầu mút đoạn thẳng SB�  SD� SB� SD�  SA, SB, SC , SD Chứng minh rằng: SA�  SC � SA� SC � Hướng dẫn giải Bài 97 Gọi O phẳng tâm đáy  SAC  S , O, O� ABCD O�  A�� C �B�� D , Ta có thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt  SBD  ) Trang 60 � � C , ta có: Đặt ASC  BSD  2 Trong tam giác SA�� S SA�� C  S SA�� O  S SC �� O � 1 SA� SC � sin 2  SA� SO� sin   SO � SC � sin  2 SA�  SC � cos   (1) SA� SC � SO� SB�  SD� cos   (2) D ta SB� SD� SO � Tương tự với tam giác SB�� SB�  SD� SA�  SC � SB�  SD� SB� SD�  �  SD� SA� SC � SA�  SC � SA� SC �Ta có ĐPCM Từ (1) (2) ta suy SB� � SA� SC � cos   SO�  SA� SC � � [THPT QUỲNH LƯU – HỒNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD nửa lục giác với BC  2a , AB  AD  DC  a  a   Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Cho biết SD vng góc với AC a) Tính SD Bài 98 b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OB ( M không trùng với B ), song song với SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện theo a x biết BM  x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Hướng dẫn giải a) Tính SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); AC  BD  a OA AD 2a   � OC  AC  3 Ta có: OC BC Trang 61 2a � SI  BS  � OI BI BO � 3    �� SD BS BD � SD  OI � +) Mặt khác: +) Áp dụng định lý cosin tam giác SIC , tính IC  28a +) Do SD  AC OI / / SD nên OI  AC Trong tam giác vng OIC , tính OI  4a � SD  OI  2a ( ) b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng +) Xác định thiết diện tam giác NPQ (với N, P, Q nằm cạnh BA, BC, BS) �MQ / / SD, NP / / AC � NP  MQ � SD  AC � +) Ta có: � Diện tích thiết diện: +) Trong tam giác S NPQ  NP.MQ SBD , tính MQ  x +) Trong tam giác BAC , tính +) Diện tích thiết diện: S NPQ  NP  x 3 3x 2 +) Vì M thuộc đoạn BO ( M � B ) nên  x �BO  2a 2a �0 x� 3 3 �2a � 2a 2a S NPQ � � � S NPQ  �3 � Vậy, Do đó, AB AC  3 Bài 99 Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho AI AJ Chứng minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải Trang 62 uuu r r uuur r AB  b; AC  c Gọi M trung điểm BC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Gỉa sử Đặt uur r r uuu r uur r r AB AC 3k  uuu k r uu k r AI  kb �  � 3  � AJ  c � IJ  AJ  AI  c  kb AI k AJ k k 3k  3k  r r uur uur uur uuu r r r r 3k  r r uuur b c GI  GA  AI   AG  kb   AM  kb    kb  b  c 3 3 Ta thấy Ta có: uur 3k  r r  3k � k r r r �  3k uu GI  b c c  kb � IJ 3 3k � 3k  � � 3k Vậy G, I, J thẳng hàng Hay IJ qua điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định SG Bài 100 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đơi Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC rằng:  ,  ,  góc tạo OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh cos 2 cos  cos 2   sin A sin B sin 2C Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) � H trực tâm tam giác ABC � � � � OAH   ; OBH   ; OCH   AH AH AH cos     OA2 AH AK AK Gọi AK đường cao tam giác ABC Ta có:  1 AB  AC  BC 2OA2 cos A   0 AB AC AB AC Mặt khác: Tương tự: cos B,cos C  nên tam giác ABC nhọn - Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BC BC �  R ; sin A  sin BHC �  2R � sin A � R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam sin BHC giác BHC Trang 63 � - Trong tam giác ABH: AH  R.sin ABH  R.cos A Nên: sin A  2sin A.cos A  BC AH BC AH  2R 2R R2  2 cos A R2  sin A SABC Từ (1) (2) ta có: cos2 B R2 cos 2C R2  ;  sin B SABC sin 2C S ABC Chứng minh tương tự ta có: Vậy ta có ĐPCM Bài 101 Cho tam giác ABC vuông A có AB=c, AC=b.Gọi (P) mặt phẳng qua BC vng góc với mặt phẳng (ABC) ; S điểm di động (P) cho S.ABC hình chóp có hai mặt bên SAB,   SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo  Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC a Chứng minh SH  HI HJ b Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị  Hướng dẫn giải Bài 102 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM, điểm G trọng tâm tam giác BCD a) Chứng minh MG song song với mp(SBC) b) Gọi (  ) mặt phẳng chứa MG song với CD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp với mp(  ) c) Xác định điểm P thuộc MA điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a Hướng dẫn giải Trang 64 Gọi I trung điểm BC DG DM   � MG / / SI DS Ta có DI Mà SI �( SBC ) nên MG //(SBC) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD BC E F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H Thiết diện hình chóp với mp(  ) tứ giác EFHM Ta có HM//EF song song với CD MD  HC  2a a , DE  CF  , �MDE  �HCF  600 3 nên tam giác DME tam giác CHF suy ME = HF EFHM hình thang cân 4a a 2a a a EM  DM  DE  2DM DE cos60   2  9 3 Ta có: 2 a MH  ,EF = a a2 a2 a �EF  HM � h  EM  �   � � � Gọi h độ dài đường cao hình thang ta có Trang 65 1 a 4a 2a 2 S EFHM  h.(EF  HM )   2 3 Diện tích thiết diện Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện toán MN DM AQ  AB  � AQ    AN SC DS , QN DN Ta có PQ AQ   , MN AN PQ  PQ PQ MN 2    SC MN SC 5 2a Suy Bài 103 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB B’C’ Dựng tính đoạn vng góc chung AN DM D’ Gọi I trung điểm BC NI  A’ B’ N mp(ABCD) � NI  DM (1đ) K D C H A M C’ B I Trang 66 Chứng minh được: AI  DM � DM  mp ( AIN ) Gọi H giao điểm AI DM, từ H hạ HK  AN ,HK đoạn vng góc chung AN DM, AH  Tính a a 3a AN  AI  AKH đồng dạng AIN KH AH  IN AN KH  a a 2a  3a 2a Vậy khoảng cách AN DM là: 15 Bài 104 Cho tứ diện ABCD, Chứng minh mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy điểm SC   ABC  tam giác ABC vuông B Biết AB  a; AC  a 13 sin   19 Tính độ dài SC theo a góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC)  với Hướng dẫn giải Bài 105 Cho hình chóp SABC có Trang 67 Xét hai trường hợp: +) B C khơng tù Khi A 2 � sin C  , cos C  5 BB ' BC   cos �CBB ' B’ cos �CBB '  Suy sin B  CC '  , cos B  BC 5 C’ H C B � sin A  sin B cos C  sin C cos B  BB ' 5 � AB   � S  AB.CC '  sin A 2 +) B C tù Do BB '  CC ' nên B  C C tù � sin C  , cos C   5 25 25 � sin A  , AB  sin B  , cos B  S Suy 5 5 (giống trường hợp 1) Còn Bài 106 Cho tứ diện ABCD , O điểm nằm miền tam giác BCD Từ O kẻ đường  ACD  ,  ABD  ,  ABC  tai M , N , P thẳng song song với AB, AC , AD cắt mặt phẳng OM ON OP   Chứng minh rằng: AB AC AD khơng đổi Bài 107 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất mặt hình vuông cạnh a  A’BD  đường thẳng A’C qua trọng tâm a) Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng tam giác A’BD b) Hãy xác định điểm M , N nằm cạnh A’D, CD’ cho MN vuông góc với  CB’D’ Tính độ dài đoạn MN theo a mặt phẳng Bài 108 Cho hình chóp S ABCD Tứ giác đáy có AB CD cắt E AD BC cắt F AC BD cắt G  P  mặt phẳng cắt SA, SB, SC A’, B’, C’  P a) Tìm giao điểm D’ SD  P  A’B’C’D’ hình bình hành b) Với điều kiện Bài 109 Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng (  ) song song với hai đường thẳng AD BC Gọi M , N , P, Q tương ứng giao điểm (  ) với đường thẳng AB, AC , CD, DB Xác định tất vị trí (  ) để: a) Tứ giác MNPQ hình thoi Trang 68 b) Diện tích thiết diện (  ) tứ diện ABCD lớn  P  mặt phẳng qua BC Bài 110 Cho tam giác ABC vng A có AB  c, AC  b Gọi  ABC  ; S điểm di động  P  cho S ABC hình chóp có hai mặt vng góc với mặt phẳng   bên SAB , SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo  Gọi H , I , J hình chiếu vng góc S BC , AB, AC a) Chứng minh SH  HI HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị  Bài 111 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ, cắt đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng (P) cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng SAB tam giác đều, mặt phẳng qua ba điểm A, B, C vng góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB Gọi M điểm di động đoạn AB P hình chiếu vng góc S lên CM a) Tìm quỹ tích điểm P M di động b) Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm đoạn SC đạt giá trị lớn Bài 113 Gọi O điểm cạnh AB tứ diện ABCD (O không trùng với A B) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt cạnh BC BD tứ diện ABCD M N (M �C, N �D) Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt cạnh AC AD tứ diện ABCD P Q (P �C, Q �D) Chứng minh tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP Bài 114 Cho P điểm cố định nằm bên hình cầu cho trước Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đơi vng góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm mặt cầu Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Tính PG theo PA, PB, PC b) Tìm quỹ tích điểm G A, B, C thay đổi Bài 115 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiều cao h Gọi C1 (O; r ) hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD)  h2  h a) Chứng minh rằng: b) Tính giá trị h, từ suy thể tích hình chóp Bài 116 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có cạnh a Xét đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N nằm đoạn thẳng BC’, CA’ song song với mặt phẳng(ABB’A’) Tìm theo a độ dài đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng Khi MN ngắn hỏi MN có vng góc với BC’ CA’ hay khơng? Chứng minh Bài 117 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H chân vng góc hạ từ O đến (ABC) a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC abc a.S HBC  b.S HAC  c.S HAB � b) Chứng minh r Trang 69 Bài 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=2CD=2AD, SA vng góc với đáy A Gọi M trung điểm SC, K điểm di động AB Tìm tập hợp hình chiếu H M lên CK Bài 119 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Tìm điểm M cho tổng: MA MB MC MD    GB.GC.GD GA.GC GD GA.GB.GD GA.GB.GC đạt giá trị bé Trang 70 ... Diện tích hình vng Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp điểm... Chiều cao hình chóp: SH  a tg720 �27,29018628 V  a2h �1430,475152 cm3   Thể tích hình chóp: Trung đoạn hình chóp a2 d  SH  �28,00119939 Sxq  4a.d �702,2700807 cm2 Diện tích xung quanh hình. .. thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 OG MG Ta có : MG Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 P , ta có : PM // SG + Từ Q  M thuộc cạnh hình bình hành A1' B1' C1' D1' A1' B1' C1' D1' hình chiếu