Bài giảng tự luận đường elip( in cho học sinh)

ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c ( c > 0) số a>c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a F,F MF1, MF2 Các điểm tiêu điểm (E) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E) gọi bán kính qua tiêu y 2) Phương trình tắc elip: B2 F ( - c;0) , F2( c;0) M A2 A1 Với tọa độ tiêu điểm : F2 x F1 O x2 y2 M ( x;y ) Ỵ ( E ) Û + = ( 1) 2 a b B1 2 b =a - c Hình 3.3 (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng F ( - c;0) F ( c;0) + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải A ( - a;0) , A2( a;0) , B1( 0;- b) , B2( 0;b) + Các đỉnh : A A = 2a B B = 2b + Trục lớn : , nằm trục Ox; trục nhỏ : , nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng + Tâm sai : e= x = ±a,y = ±b gọi hình chữ nhật sở c b > ) ĐƯỜNG ELIP xác định a,b từ suy c2 = a2 - b2 + Xác định yếu tố (E) - Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bé: 2b -Tiêu cự 2c A ( - a;0) , A2( a;0) , B1( 0;- b) , B2( 0;b) -Tọa độ đỉnh -Tâm sai e= c b > Từ yếu tố biết thiết lập phương trình chứa a b tìm a b   Thay vào phương trình ta phương trình tắc elip Cần lưu ý hệ thức: a2 = c2 + b2 2a2 Khoảng cách hai đường chuẩn c Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có Độ dài trục lớn 14 độ dài trục bé 10? b) (E) có độ dài trục lớn 10 tiêu cự 6? Lời giải tham khảo: Lưu ý ĐƯỜNG ELIP x2 y2 + =1 b2 a) Phương trình tắc (E) : a với a > b > Độ dài trục lớn 2a = 14 Þ a = 7, Độ dài trục bé 2b = 10 Þ b = 5, x2 Vậy phương trình tắc b) Độ dài trục lớn Tiêu cự (E ) : 49 + y2 25 =1 2a = 10 Þ a = 5, 2c = Þ c = 3, b2 = a2 - c2 = 25 - = 16 Þ b = Vậy phương trình tắc (E ) : x2 25 + y2 16 =1 4.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E) có Độ dài trục lớn 18 độ dài trục bé 12? 4.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: E) có độ dài trục lớn 30 tiêu cự 24? Lời giải Lời giải Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có độ dài trục lớn tâm sai b) Có tâm sai e= 5 e= nhận F (4;0) tiêu điểm Lưu ý ĐƯỜNG ELIP a)Độ dài trục lớn tâm sai e= Lời giải tham khảo 2a = Þ a = 3, c Û = Þ c = 2, b2 = a2 - c2 = - = Þ b = a Vậy phương trình tắc (E ) : x2 + y2 =1 e = b) Vì F (4;0) Þ c = 4; Û c = Þ a = 5, b2 = a2 - c2 = 20 - 16 = Þ b = a Vậy phương trình tắc (E ) : x2 20 + y2 =1 5.1: Lập phương trình tắc Elip (E) biết: e= (E) có độ dài trục lớn tâm sai Lời giải Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) Tiêu cự qua điểm M ( 15;- 1) b )Độ dài trục nhỏ qua điểm M (2 15;2) 5.2 Lập phương trình tắc e= Elip (E) biết: Có tâm sai nhận F (2;0) tiêu điểm Lời giải Lưu ý ĐƯỜNG ELIP c) Đi qua hai điểm M (1;0) N( ;1) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 a) Tiêu cự 15 16 + b2 với + 2c = Þ c = 4, b2 qua điểm M ( 15;- 1) nên = 1( a > b > 0) Û b4 = 16 Û b = b = Þ a = 5, x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) 20 b) Độ dài trục nhỏ 2b = Þ b = 3, qua điểm M (2 15;2) nên 60 + = 1( a > b > 0) Û a2 = 108 Û a = 108 a x2 Vậy phương trình tắc (E) 108 c)Đi qua hai điểm M (3;0) ìï ïï =1 ï a2 Û í ïï 40 ïï + = ỵa 9b N(2; + y2 =1 40 ) ta có hệ phương trình ïìï a = í ïï b = 2 ỵ x2 Vậy phương trình tắc (E) + y2 =1 6.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: 6.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Độ dài trục nhỏ 10 ĐƯỜNG ELIP Tiêu cự qua điểm M (1; ) Lời giải 6.3 qua điểm Lời giải Lập phương trình tắc Elip (E) biết Đi qua hai điểm M (4;0) N(- 3; 70 ) Câu Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) (E)có tọa mt nh l ổ4 10 Mỗ ỗ ;ỗ ỗ è ( 0; 5) ÷ 1÷ ÷ ÷ ø b) (E) có tiêu điểm thứ M (1; qua điểm (- ) 3;0 qua điểm 33 ) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: Lưu ý M( 24 ;3) ĐƯỜNG ELIP x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 a) (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; 5) nằm trục tung nên b = phương trình tắc x2 y2 + =1 a> (E) có dạng: a ( ) ổ4 10 Mỗ ỗ ;ỗ ỗ ố Mt khỏc (E) qua điểm ÷ 1÷ ÷ ÷ ø nên 160 + = Þ a2 = 25a2 x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) b) (E) có tiêu điểm F1(- 3;0) nên c = suy a2 = b2 + c2 = b2 + (1) Mặt khác M (1; 33 528 ) Ỵ (E ) Þ + =1 a 25b2 (2) Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b4 - 478b2 - 1584 = b + 25b2 Û b2 = 22 Þ a2 = 25 x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) 25 22 7.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E)có tọa độ đỉnh ỉ2 Mỗ ỗ ;ỗ ỗ ố Li gii ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ( 0; 3) 7.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết:(E) có tiêu điểm thứ qua điểm (- 2;0) qua điểm Lời giải M( ;1) ĐƯỜNG ELIP Câu8 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm Lưu ý đường thẳng y + = có diện tích 48 b) (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lời giải tham khảo a) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y + = suy b = Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b = 48 Þ a = x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) 36 b) (E) có tâm sai suy a2 - b2 = a hay 4a2 = 9b2 (3) Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy 4( a + b) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a = 3, b = x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) Câu8.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Câu8.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng x - = có diện tích 24 Lời giải (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 36 ĐƯỜNG ELIP Lời giải Dạng 3: Tìm điểm (E), toán tương giao Phương pháp giải: Bài toán tìm điểm : Khi làm ý kiến thức sau : +Bán kính qua tiêu điểm điểm M ( xM ;yM ) thuộc (E) là: c c MF1 = a + exM = a + xM , MF2 = a - exM = a - xM a a F F = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cosF1MF2 + Định lí hàm số cosin: ìï x2 ïï 2 ïï £ ïì - a £ x £ a x y M ( x;y ) Ỵ ( E ) Û + = Þ í a2 Þ ïí (a > b > 0) 2 ï a b ïï y £ ïïỵ - b £ x £ b ïï ïỵ b +Nếu x2 Câu : Cho ( E ) có phương trình + y2 Lưu ý =1 a) Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB b) Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 2MF2 Lời giải tham khảo: a) Từ phương trình (E) ta có F1(- a2 = 9, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = 5;0), F2( 5;0) Đường thẳng qua F1 song song với 0y cắt elip A, B có hồnh độ ĐƯỜNG ELIP x= Thế vào (E ) : y2 16 + = Û y2 = Û y = ± 9 4 A( 5; ), B ( 5;- ) AB = 3 Vậy độ dài đoạn 5 MF1 = + xM , MF2 = 3x 3 M b) Ta có: Theo giả thiết 5 MF1 = 2MF2 Û + xM = 2(3 x ) Û xM = 3 M yM2 45 16 M Ỵ (E ) : + = Û yM2 = Û yM = ± 225 5 Do Vậy có điểm 9.1 x2 25 M( 5 5 ; ), M '( ;) 5 5 thỏa mãn yêu cầu tốn Cho ( E ) có phương trình + y2 =1 Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB Lời giải x2 9.2 Cho ( E ) có phương trình 100 + y2 36 =1 Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 5MF2 Lời giải ĐƯỜNG ELIP x2 Câu 10 : Tìm tọa độ điểm M elip: 16 + y2 =1 FF cho M nhìn góc 600 Lời giải tham khảo: a) Ta có: a2 = 16, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = 12 Þ a = 4,b = 2,c = 3 MF1 = + xM , MF2 = x 2 M FF M Áp dụng định lý côsin tam giác ta có: F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cos600 (4 + xM )2 + (4 3 xM )2 - 2(4 + xM )(4 2 xM ) = 48 2 ìï ïï x = ± M 128 2 xM = Þ yM = Û ïí ïï 9 ïï yM = ± ïỵ Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M 1( 2 2 2 2 ; ), M 2(; ), M 3( ;- ), M 4(;- ) 3 3 3 3 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP 2 10.1 Cho elip 9x + 25y = 225 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc vng Lời giải 2 10.2 Cho elip 4x + 16y = 19 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc 120° Lời giải yêu cầu toán toán tương giao: Ax + By + C = Cho đường thẳng d có phương trình : Và elip x2 y2 ( E ) : a2 + b2 = 1( a > b > 0) từ phương trình đường thẳng rút x theo y y theo x vào phương trình elip ta phương trình bậc hai Số nghiệm phương trình số điểm chung (d) elip Câu 11 : Tìm tọa độ giao điểm Đường thẳng Lưu ý ĐƯỜNG ELIP d :3x + 4y- 12 = cắt elip ( E) : x2 y2 + =1 16 Lời giải tham khảo: Tọa độ giao điểm đường thẳng nghiệm hệ ìï ïï ïìï 3x + 4y- 12 = ïï ï ïï Û ïí í x2 y2 ïï ïï ïï 16 + = ïï ỵ ïï ïïỵ Û ìï ïï y = 3ïï ïï ïí é ïï êx = ïï ê ïï ê x=4 ïïỵ ê ë 3x y = 3x2 + 16 3x æ 3x ữ ử2 ỗ ữ ỗ ữ ỗ 4ữ è ø =1 d ( E ) ïìï 3x ï y = 3ï Ûí ïï ïïỵ x - 4x = Vậy tọa độ giao điểm ìï M ïï ï í ïï N ïï ỵ ( 0;3) ( 4;0) 11.1 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y2 (E ) : + =1 11.2 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = x2 y2 (E ) : + =1 elip Tìm m để: d cắt (E ) hai điểm phân biệt Tìm m để d (E ) có điểm chung Lời giải Lời giải ĐƯỜNG ELIP