Bài giảng tự luận đường elip (đáp án chi tiết)

ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c ( c > 0) số a>c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1, F2 tiêu điểm (E) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E) MF1, MF2 gọi bán kính qua tiêu y B2 2) Phương trình tắc elip: Với tọa độ tiêu điểm F1( - c;0) , F2( c;0) : M ( x;y ) Ỵ ( E ) Û M A1 x2 y2 + = ( 1) 2 a b F1 O F2 A2 x B1 2 b =a - c Hình 3.3 (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1( - c;0) , tiêu điểm phải F2( c;0) + Các đỉnh : A1( - a;0) , A2( a;0) , B1( 0;- b) , B2( 0;b) + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b , nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a,y = ±b gọi hình chữ nhật sở + Tâm sai : e = c b > ) + Chuyển Elip dạng: a2 b2 xác định a,b từ suy c2 = a2 - b2 ĐƯỜNG ELIP + Xác định yếu tố (E) - Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bé: 2b -Tiêu cự 2c -Tọa độ đỉnh A1( - a;0) , A2( a;0) , B1( 0;- b) , B2( 0;b) -Tâm sai e = c b > 2 a b Từ yếu tố biết thiết lập phương trình chứa a b tìm a b =0 12 ĐƯỜNG ELIP  Thay vào phương trình ta phương trình tắc elip Cần lưu ý hệ thức: a2 = c2 + b2 Khoảng cách hai đường chuẩn 2a2 c Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Lưu ý a)(E) có Độ dài trục lớn 14 độ dài trục bé 10? b) (E) có độ dài trục lớn 10 tiêu cự 6? Lời giải tham khảo: x2 y2 + = 1với a > b > a) Phương trình tắc (E) : a2 b2 Độ dài trục lớn 2a = 14 Þ a = 7, Độ dài trục bé 2b = 10 Þ b = 5, 2 Vậy phương trình tắc (E ) :x + y = 49 25 b) Độ dài trục lớn 2a = 10 Þ a = 5, 2 Tiêu cự 2c = Þ c = 3, b = a - c = 25 - = 16 Þ b = 2 Vậy phương trình tắc (E ) : x + y = 25 16 4.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E) có Độ dài trục lớn 18 độ dài trục bé 12? Lời giải Độ dài trục lớn 2a = 18 Þ a = 9, Độ dài trục bé 2b = 12 Þ b = 6, 4.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: E) có độ dài trục lớn 30 tiêu cự 24? Lời giải Độ dài trục lớn 2a = 30 Þ a = 15, Tiêu cự 2c = 24 Þ c = 12, b2 = a2 - c2 = 225 - 144 = 81 Þ b = ĐƯỜNG ELIP 2 Vậy phương trình tắc (E ) :x + y = 81 36 Vậy phương trình tắc x2 y2 (E ) : + =1 225 81 Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)(E) có độ dài trục lớn tâm sai e = Lưu ý b) Có tâm sai e = nhận F (4;0) tiêu điểm Lời giải tham khảo a)Độ dài trục lớn 2a = Þ a = 3, tâm sai e = c Û = Þ c = 2, b2 = a2 - c2 = - = Þ b = a 2 Vậy phương trình tắc (E ) : x + y = b) Vì F (4;0) Þ c = 4;e = 5 Û c = Þ a = 5, b2 = a2 - c2 = 20 - 16 = Þ b = a 2 Vậy phương trình tắc (E ) : x + y = 20 5.1: Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = Lời giải Độ dài trục lớn 2a = Þ a = 4, tâm sai e = c = Þ c = 3, b2 = a2 - c2 = 16 - = a Þ b= Û 5.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Có tâm sai e = nhận F (2;0) tiêu điểm Lời giải F (2;0) Þ c = 2;e = 5 c = Þ a= , a 25 2 b =a - c = ,- 4= ,Þ b= , 4 Û Vậy phương trình tắc ĐƯỜNG ELIP 2 Vậy phương trình tắc (E ) : x + y = (E ) : Câu : Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a) Tiêu cự qua điểm M ( 15;- 1) b )Độ dài trục nhỏ qua điểm M (2 15;2) c) Đi qua hai điểm M (1;0) N( 3;1) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 a) Tiêu cự 2c = Þ c = 4, qua điểm M ( 15;- 1) nên 15 16 + b2 + b2 = 1( a > b > 0) Û b4 = 16 Û b = với b = Þ a = 5, 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 20 b) Độ dài trục nhỏ 2b = Þ b = 3, qua điểm M (2 15;2) nên 60 + = 1( a > b > 0) Û a2 = 108 Û a = 108 a 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 108 c)Đi qua hai điểm M (3;0) N(2; 40) ta có hệ phương trình x2 25 + y2 =1 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP ìï ïï =1 ï a2 Û í ïï 40 ïï + = ỵa 9b ìï a = ï í ïï b = 2 ỵ 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 6.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Tiêu cự qua điểm M (1; ) 24 qua điểm M ( ;3) Lời giải Tiêu cự 2c = Þ c = 3, qua điểm M (1; ) 384 Lời giải Độ dài trục nhỏ 2b = 10 Þ b = 5, 24 = 1( a > b > 0) 25b2 Û 25b - 184b2 - 3456 = nên + b + 6.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Độ dài trục nhỏ 10 qua điểm M ( ;3) nên 576 + = 1( a > b > 0) 25 25a Û a2 = 36 Û a = Û b2 = 16 với b = Þ a =,5 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 25 16 Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 36 25 6.3 Lập phương trình tắc Elip (E) biết Đi qua hai điểm M (4;0) N(- 3; 70) Đi qua hai điểm M (4;0) N(- 3; 70) ta có hệ phương trình ìï 16 ïï =1 ï a2 Û í ïï 70 + = ïï ỵa 16b2 ìï a = ï í ïï b = 10 ỵ 2 Vậy phương trình tắc (E) x + y = 16 10 Câu Lập phương trình tắc Elip (E) Lưu ý ĐƯỜNG ELIP biết: a) (E)có tọa độ đỉnh ( 0; 5) qua điểm æ4 10 Mỗ ;ỗ ỗ ỗ ố ữ 1ữ ÷ ÷ ø b) (E) có tiêu điểm thứ ( - 3;0) qua điểm M (1; 33 ) Lời giải tham khảo Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 a) (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; 5) nằm trục tung nên b = phương trình tắc (E) có dạng: x2 y2 + =1 a> a2 ( ) æ4 10 ;Mt khỏc (E) i qua im M ỗỗỗỗ ố ö ÷ 1÷ ÷ ÷nên ø 160 + = Þ a2 = 25a Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 b) (E) có tiêu điểm F1(- 3;0) nên c = suy a2 = b2 + c2 = b2 + (1) Mặt khác M (1; 33) Î (E ) Þ 12 + 5282 = (2) a 25b Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b4 - 478b2 - 1584 = b + 25b2 Û b2 = 22 Þ a2 = 25 Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 25 22 ĐƯỜNG ELIP 7.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: (E)có tọa độ đỉnh ( 0; 3) i qua im ổ2 Mỗ ;ỗ ỗ ỗ è ÷ 1÷ ÷ ÷ ø 7.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết:(E) có tiêu điểm thứ (- 2;0) qua điểm M (5 ;1) Lời giải Lời giải (E) có đỉnh có tọa độ ( 0; 3) nằm trục (E) có tiêu điểm (- 2;0) nên c = suy a2 = b2 + c2 = b2 + (1) tung nên b = phương trình tắc Mặt khác (E) có dạng: x2 y2 + =1 a> a2 ( ) M( æ2 ;Mặt khác (E) qua im M ỗỗỗỗ ố ữ 1ữ ữ ữnờn ø 75 + = Û 4b4 - 63b2 - 16 = 4(b + 4) b Û b2 = 16 Þ a2 = 20 Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 Câu8 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: a)Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y + = có diện tích 48 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lời giải tham khảo a) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y + = suy b = Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b = 48 Þ a = x2 y2 + =1 Vậy phương trình tắc (E) 36 b) (E) có tâm sai Thế (1) vào (2) ta 24 + = Þ a2 = 9a b) (E) có tâm sai 75 ;1) Ỵ (E ) Þ + = 1(2) 2 4a b suy a2 - b2 hay = a 4a2 = 9b2 (3) Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 25 22 Lưu ý ĐƯỜNG ELIP 4( a + b) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a = 3, b = Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 Câu8.1 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Câu8.2 Lập phương trình tắc Elip (E) biết: Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng x - = có diện tích 24 (E) có tâm sai hình chữ Lời giải nhật sở (E) có chu vi 36 (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng x - = suy a = Lời giải Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 24 nên (E) có tâm sai suy 2a.2b = 24 Þ b = 2 Vậy phương trình tắc (E) a2 - b2 hay a2 = 4b2 (3) = a x2 y2 + =1 Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy 4( a + b) = 36 (4) Từ (3) (4) suy a = 6, b = Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 36 Dạng 3: Tìm điểm (E), toán tương giao Phương pháp giải: Bài toán tìm điểm : Khi làm ý kiến thức sau : +Bán kính qua tiêu điểm điểm M ( xM ;yM ) thuộc (E) là: c c MF1 = a + exM = a + xM , MF2 = a - exM = a - xM a a ĐƯỜNG ELIP + Định lí hàm số cosin: F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cosF1MF2 ìï x2 ïï ïï £ ìï - a £ x £ a x2 y2 Þ ïí (a > b > 0) + Nếu M ( x;y ) Ỵ ( E ) Û + = Þ íï a2 ïï - b £ x £ b a b ïï y ỵ ïï £ ïỵ b 2 Câu : Cho ( E ) có phương trình x + y = Lưu ý a) Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB b) Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 2MF2 Lời giải tham khảo: a) Từ phương trình (E) ta có a2 = 9, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = F1(- 5;0), F2( 5;0) Đường thẳng qua F1 song song với 0y cắt elip A, B có hồnh độ x= Thế vào (E ) : y2 16 + = Û y2 = Û y = ± 9 4 A( 5; ), B( 5;- ) Vậy độ dài đoạn AB = 3 b) Ta có: 5 MF1 = + xM , MF2 = 3x 3 M Theo giả thiết MF1 = 2MF2 Û + Do M Ỵ (E ) : x = 2(33 M 5 xM ) Û xM = y2 45 16 + M = Û yM2 = Û yM = ± 225 5 Vậy có điểm M ( 5 5 ; ), M '( ;) thỏa mãn yêu cầu toán 5 5 ĐƯỜNG ELIP 2 9.2 Cho ( E ) có phương trình x + y = 9.1 Cho ( E ) có phương trình x2 y2 + =1 25 100 36 Tìm điểm M ( E ) cho MF1 = 5MF2 Qua tiêu điểm ( E ) , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt ( E ) A B Tính độ dài đoạn AB Lời giải Lời giải Từ phương trình (E) ta có a2 = 100, b2 = 64,c2 = a2 - b2 = 36 Từ phương trình (E) ta có a2 = 25, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = 16 Þ a = 10,b = 8,c = F1(- 4;0), F2(4;0) Ta có: MF = 10 + 3x , MF = 10 - 3x M M Đường thẳng qua F2 song song với 0y cắt elip A, B có hoành độ x = Theogiảthiết Thế vào 16 y2 81 (E ) : + = Û y2 = Û y = ± 25 25 9 A(4; ), B(4;- ) Vậy độ dài đoạn 5 MF1 = 5MF2 Û 10 + xM = 5(10 - xM ) 5 100 Û x M = y2 y2 + = + M = Û yM2 = 32 Dođó 36 36 Û yM = ±4 M Ỵ (E ) : 100 100 ;4 2), M '( ;- 2) thỏa 9 Vậy có điểm M ( 18 AB = mãn yêu cầu toán Câu 10 : Tìm tọa độ điểm M elip: x2 16 + y2 =1 cho M nhìn F1F2 góc 600 Lời giải tham khảo: a) Ta có: a2 = 16, b2 = Þ c2 = a2 - b2 = 12 Þ a = 4,b = 2,c = 3 MF1 = + xM , MF2 = x 2 M Áp dụng định lý côsin tam giác F1F2M ta có: Lưu ý ĐƯỜNG ELIP F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cos600 x )2 + (4 M (4 + 3 xM )2 - 2(4 + xM )(4 2 xM ) = 48 2 ìï ïï x = ± M 128 xM2 = Þ yM2 = Û ïí ïï 9 ïï yM = ± ỵï Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M 1( 2 2 2 2 ; ), M 2(; ), M 3( ;- ), M 4(;- ) 3 3 3 3 10.1 Cho elip 9x2 + 25y2 = 225 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc vng Lời giải x2 y2 + =1 Ta có 9x2 + 25y2 = 225 Û 25 suy ìï 2 ïíï 9x + 25y = 225 ïï x2 + y2 = 16 ïỵ ìï ïï x = ± 175 íï ïï ïï y = ± ïỵ a= 19 16 suy 19 19 57 ;b= Þ c = a2 - b2 = 4 Áp dụng định lý cơsin tam giác F1F2M ta có: F1F22 = MF12 + MF22 - 2MF1.MF2cos1200 Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện là: 175 175 ; );( ;- ),(4 4 Từ phương trình (E) ta có Ta có 19 a) Gọi M ( x;y ) điểm cần tìm, ta có : 175 ( ; );(4 Lời giải x2 y2 4x2 + 16y2 = 19 Û + =1 a = 5; b = Þ c = a2 - b2 = ìï M Ỵ ( E ) ïí ) Û ïï F1MF2 = 90° ỵ ìï 175 ïï x = 16 Û Û ïí ïï 81 ïï y = ỵ 16 10.2 Cho elip 4x2 + 16y2 = 19 Tìm điểm M thuộc ( E ) cho M nhìn F1F2 góc 120° c2 c2 Û 4c2 = 2(a2 + x2) + (a2 x ) a2 a2 19 Û x2 = Û x = Û y = ± Vậy có điểm (0; 175 ;- ) 4 toán cầu 19 ),(0;4 19 ) thỏa mãn yêu ĐƯỜNG ELIP toán tương giao: Cho đường thẳng d có phương trình : Ax + By + C = Và elip ( E ) : x2 + y2 = 1( a > b > 0) 2 a b từ phương trình đường thẳng rút x theo y y theo x vào phương trình elip ta phương trình bậc hai Số nghiệm phương trình số điểm chung (d) elip Câu 11 : Tìm tọa độ giao điểm Đường thẳng d :3x + 4y- 12= cắt 2 16 Lưu ý elip ( E ) : x + y =1 Lời giải tham khảo: Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( E ) nghiệm hệ ìï ïï ïìï 3x + 4y- 12 = ïï ï ïï Û ïí í x2 y2 ïï ïï ïï 16 + =1 ïï ỵ ïï ïïỵ y = 3x2 + 16 3x ư2 ổ 3x ữ ỗ 3ữ ỗ ữ ỗ ứữ è Vậy tọa độ giao điểm ìï M ïï ï í ïï N ïï ỵ ïìï 3x ï y = 3ï Û Û í ïï ïïỵ x - 4x = =1 Tìm m để: d cắt (E ) hai điểm phân biệt Lời giải Tọa độ giao điểm d (E ) nghiệm hệ: ïìï 2x-y + m = 0(1) í ïï 4x + 5y2 - 20 = 0(2) î Từ ( 1) Þ y = 2x + m 3x ( 0;3) ( 4;0) 11.1 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y2 (E ) : + =1 ìï ïï y = 3ïï ïï ïí é ïï êx = ïï ê ïï ê x=4 ïïỵ ê ë , vào  2 : d cắt (E ) hai điểm 11.2 Cho đường thẳng d: 2x-y + m = elip x2 y2 (E ) : + =1 Tìm m để d (E ) có điểm chung Lời giải d (E ) có điểm chung phương trình ĐƯỜNG ELIP phân biệt phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt điều kiện : D ' > Û 20m2 < 480 Û - < m < Vậy - < m < (*) có nghiệm kép: D ' = Û 20m2 = 480 Û m = ±2