BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng[.]
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Mỗi đường thẳng mặt phẳng toạ độ tập hợp điểm có toạ độ thoả mãn phương trình đường thẳng Vì vậy, tốn tìm giao điểm hai đường thẳng quy tốn giải hệ gồm hai phương trình tương ứng Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 : a2 x b2 y c2 Khi đó, tọa độ giao điểm 1 nghiệm hệ phương trình: a1 x b1 y c1 (*) a2 x b2 y c2 1 cắt M x0 ; y0 hệ (*) có nghiệm x0 ; y0 1 song song với hệ (*) vô nghiệm 1 trùng hệ (*) có vơ số nghiệm Chú ý Dựa vào véc tơ phương u1 , u2 véc tơ pháp tuyến n1 , n2 1 , , ta có: - 1 song song trùng u1 u2 phương n1 n2 phương - 1 cắt u1 u2 không phương n1 n2 không phương Nhận xét Giả sử hai đường thẳng 1 , có hai véc tơ phương u1 , u2 (hay hai véc tơ pháp tuyến n1 , n2 ) phương Khi đó: - Nếu 1 có điểm chung 1 trùng - Nếu tồn điểm thuộc 1 khơng thuộc 1 song song với Ví dụ Xét vị trí tương đối đường thẳng : x y đường thẳng sau: 1 : x y 12 : x y Lời giải x 2y 3( x y 3) x y 12 Vậy 1 một, tức chúng trùng Hai đường thẳng có hai véc tơ pháp tuyến n(1; 2) n2 ( 2; 2) phương Do đó, chúng song song trùng Mặt khác, điểm O (0; 0) thuộc đường thẳng không thuộc đường thẳng , nên hai đường thẳng không trùng Vậy song song với GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Hai đường thẳng cắt tạo thành bốn góc, số đo góc khơng tù gọi số đo góc (hay đơn giản góc) hai đường thẳng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Góc hai đường thẳng song song trùng quy ước 0 Cho hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 : a2 x b2 y c2 0, với véc tơ pháp tuyến n1 a1; b1 n2 a2 ; b2 tương ứng Khi đó, góc hai đường thẳng xác định thông qua công thức n1 n2 a1a2 b1b2 cos cos n1 , n2 n1 n2 a12 b12 a22 b22 Chú ý - 1 n1 n2 a1a2 b1b2 - Nếu 1 , có véc tơ phương u1 , u2 góc 1 xác định thông qua công thức cos cos u1 , u2 Ví dụ Tính góc hai đường thẳng 1 : 3x y : x y Véc tơ pháp tuyến 1 n1 ( Gọi góc hai đường thẳng n1 n2 cos cos n1 , n2 n1 n2 ( Lời giải 3; 1) , n2 (1; 3) 1 Ta có | 1 (1) ( 3) | 2 3) (1) ( 3) Do đó, góc 1 30 x t Ví dụ Tính góc hai đường thẳng 1 : x : y 3 t Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Đường thẳng 1 có phương trình x nên có véc tơ pháp tuyến n1 (1; 0) Đường thẳng có véc tơ phương u2 (1;1) nên có véc tơ pháp tuyến n2 (1;1) Gọi góc hai đường thẳng 1 Ta có n1 n2 |1 1 1| cos cos n1 , n2 n1 n2 12 12 12 Do đó, góc 1 45 KHOẢNG CÁC TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho điểm M x0 ; y0 đường thẳng : ax by c Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , kí hiệu d ( M , ) , tính cơng thức ax by0 c d ( M , ) a b2 Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm M (2; 4) đến đường thẳng : x y 12 Lời giải Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , ta có | 12 | 10 d ( M , ) 32 Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp: a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 , 2 có vectơ phương u1 , u2 Khi - 1 cắt 2 u1 , u2 không phương - 1 song song với 2 u1 , u2 phương có điểm thuộc đường thẳng mà khơng thuộc đường thẳng cịn lại - 1 trùng với 2 u1 , u2 phương có điểm thuộc hai đường thẳng Chú ý: 1 vng góc với u1 , u2 vng góc với b) Cho hai đường thẳng 1 2 có phương trình là: a1 x b1 y c1 0; a2 x b2 y c2 a1 x b1 y c1 Xét hệ phương trình: a2 x b2 y c2 Khi Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ - 1 song song với 2 hệ (I) vô nghiệm - 1 trùng với hệ (I) có vơ số nghiệm BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 : x y : x y x 2t b) : x y : y 2t Lời giải a) Đường thẳng 1 có vectơ phương u1 (1; 2) , đường thẳng có vectơ phương u2 (2; 1) Do nên u1 , u2 không phương, suy 1 cắt 2 1 b) Đường thẳng , có vectơ phương u3 (1;1), u4 (2; 2) Suy u4 2u3 Chọn t , ta có điểm M (1;3) Do nên M (1;3) 3 Vậy song song với Ta xét vị trí tương đối hai đường thẳng dựa vào số giao điểm chúng Nhận xét: Cho hai đường thẳng 1 có phương trình a1 x b1 y c1 ; a2 x b2 y c2 Xét hệ phương trình: a1 x b1 y c1 (I) a2 x b2 y c2 Khi a) 1 cắt hệ (I) có nghiệm b) 1 song song với hệ (I) vô nghiệm c) 1 trùng với hệ (I) có vơ số nghiệm Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d : x y k : x y ; x t x t b) d : k : y 2t y 2t ; x 6t c) d : k : x y y 2t Lời giải 1 a) Do nên hai đường thẳng d k cắt b) Từ giả thiết ta có ud (1; 2), uk (1;2) Khi ud uk , hai vectơ phương hai đường thẳng phương Mặt khác, từ phương trình tham số d ta nhận thấy d qua điểm M (3; 4) Thay toạ độ điểm M vào phương trình đường thẳng k ta có 3 t t t 4 2t t Vậy k qua M Từ suy hai đường thẳng trùng Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 c) Từ giả thiết ta có ud (6; 2), nk (1; 3) Khi vectơ pháp tuyến đường thẳng d nd (2; 6) , nd 2nk Vậy hai vectơ pháp tuyến hai đường thẳng phương Mặt khác, từ phương trình tham số d ta nhận thấy d qua điểm N (0; 2) Thay toạ độ điểm N vào phương trình đường thẳng k ta có Do N khơng thuộc đường thẳng k Vậy hai đường thẳng song song với Câu Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x y ; : x y Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng 1 đường thẳng nghiệm hệ phương trình: x y 1 2 x y Hệ có vơ số nghiệm Như vậy, 1 có vơ số điểm chung, tức 1 trùng với Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a d1 : 3x y d2 : x y b d3 : x y d4 : 2 x y 10 1 x t c d5 : x y d : y 2t Lời giải d : x y a Tọa độ giao điểm d2 : x y nghiệm hệ phương trình: 3 x y x x 4y y y 7 Vậy d1 d có điểm chung, hay d1 cắt d Hệ có nghiệm nhất: x b Tọa độ giao điểm d3 : x y d4 : 2 x y 10 nghiệm hệ phương trình: x 2y 2 x y 10 2 2 10 Hệ phương trình vơ nghiệm Vậy d3 d khơng có điểm chung hay d3 / / d4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 x t c Đường thẳng d5 : x y d : có vecto phương u1 (2; 4) y 2t 1 u2 (1; 2) Suy u1 2u2 Chọn t , ta có điểm M ; d6 Do 2 1 1 nên M ; d5 2 2 Vậy d5 / / d6 Câu Với giá trị tham số m hai đường thẳng sau vng góc? 1 : mx y 2 : x y Lời giải 1 m ( 1) ( 1) m Câu 1 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d1 : 3x y d2 : x y ; b) d3 : x y d4 : 2 x y 10 ; x t c) d5 : x y d : y 2t Lời giải Cách 1: 2 a) d1 có vectơ phương u1 (2;3), d2 có vectơ phương u2 (4;1) Do nên u1 , u2 không phương, suy d1 cắt d 1 b) d3 có vectơ phương u3 (2;1) , d có vectơ phương u4 (4; 2) Suy u3 u4 Chọn điểm M (1;1) d3 Do M (1;1) d4 suy d3 song song với d c) d5 có vectơ phương u5 (2;4), d6 có vectơ phương u6 (1; 2) Suy u5 2u6 5 5 Chọn điểm N ; d Do N ; d5 suy d5 trùng với d6 2 2 Cách 2: a) Toạ độ giao điểm hai đường thẳng d1 d nghiệm hệ phương trình: 3 x y x x 4y y Hệ có nghiệm Như vậy, d1 d cắt Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 b) Toạ độ giao điểm hai đường thẳng d3 d nghiệm hệ phương trình: x 2y 2 x y 10 Hệ vô nghiệm Như vậy, d3 song song với d c) Toạ độ giao điểm hai đường thẳng d5 d6 tương ứng với t thoả mãn phương trình: 5 t 2t 0t 2 Phương trình có nghiệm với t Như vậy, d5 d6 có vơ số điểm chung, tức d5 trùng với d6 Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d1 : x y d2 : x y ; x 1 3t b) d3 : d4 : x y y 3 t x 2 2t x 2t c) d5 : d : y 1 t y 1 t Lời giải a) d1 cắt d b) d3 song song với d c) d5 trùng với d6 Câu Cho hai đường thẳng 1 : mx y : x y Với giá trị tham số m thì: a) 1 / / ? b) 1 2 ? Lời giải u (2; m ) u (2;1) Ta có vectơ phương 1 2 m a) 1 / / u1 u2 phương, tức m b) 1 2 u1 u2 , tức u1 u2 2.2 m.1 m 4 Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng 1 trường hợp sau: a) 1 : x y : x ; b) 1 : x y : x y c) 1 : x y : x y x 3t d) 1 : x y : y 6t x t x 2t ' e) 1 : : y 2t y t ' Lời giải a) 1 có vectơ pháp tuyến n1 (2;1) n2 (1;0) Ta có: a1b2 a2b1 2.0 1.1 1 , suy n1 n2 hai vectơ không phương Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy 1 cắt điểm M Giải hệ phương trình: 2 x y ta M (2; 2) x b) 1 có vectơ pháp tuyến n1 (2;1) n2 (1; 1) Ta có: , suy n1 n2 hai vectơ không phương 1 Vậy 1 cắt điểm M Giải hệ phương trình: 2 x y ta M (1;0) x y 1 c) 1 có vectơ pháp tuyến n1 (2;1) n2 (4; 2) Ta có , suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy 1 song song trùng Lấy điểm M (1;0) thuộc 1 , thay toạ độ M vào phương trình , ta , suy M không thuộc Vậy 1 / / d) 1 có vectơ pháp tuyến n1 (2;1) n2 (6;3) Ta có , suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy 1 song song trùng Lấy điểm P(0; 2) thuộc , thay toạ độ P vào phương trình 1 , ta , suy P thuộc Vậy 1 e) 1 có phương trinh tổng quát x y x y , có vectơ pháp tuyến n1 (2;1) n2 (1; 2) Ta có n1 n2 1 (2) nên n1 n2 hai vectơ vng góc, suy 1 Vậy 1 vng góc cắt M (1;0) Câu 10 Xét vị trí tương đối cặp dường thẳng d1 d sau đây: a d1 : x y d : x y x 2t b d1 : d : x y y 5t x 2t c d1 : d : x y 11 y 3t Lời giải a Ta có d1 d có vectơ pháp tuyến n1 (1; 1) n2 (1;1) Ta có: n1 n2 1.1 1.(1) n1 n2 Do đó, d1 d Tọa độ M giao điểm d1 d nghiệm hệ phương trình: x 3 x y y 1 x y Vậy d1 vng góc với d cắt M ( 3; 1) b Ta có u1 (2;5) vectơ phương d1 n1 (5; 2) vectơ pháp tuyến d1 n2 (5; 2) vectơ pháp tuyến d Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Ta có: n1 n2 nên n1 n2 hai vectơ phương Do đó, d1 d song song trùng Lấy điểm M (1;3) d1 , thay tọa độ M vào phương trình d , ta được: 5.1 - M d2 Vậy d1 / / d c u1 (1;3) vectơ phương d1 n1 (3;1) vectơ pháp tuyến d1 Phương trình tổng quát d qua điểm A(2;5) nhận n1 (3;1) vectơ pháp tuyến là: 3( x 2) 1( y 5) x y 11 Ta có: n2 (3;1) vectơ pháp tuyến d Ta có: n1 n2 nên n1 n2 hai vectơ phương Do đó, d1 d song song trùng Lấy điểm N (2;5) d1 , thay tọa độ N vào phương trình d , ta được: 3.2 11 N d2 Vậy d1 d x 2t Câu 11 Cho đường thẳng d có phương trình tham số Tìm giao điểm d với hai trục tọa độ y 3t Lời giải Giao điểm A d trục Ox nghiệm hệ phương trình: t x 2t 11 A ;0 0 3t x 11 3 Giao điểm B d trục Oy nghiệm hệ phương trình: t2 2t B (0;11) y 3t y 11 11 Vậy d cắt hai trục tọa độ điểm A ;0 B (0;11) 3 Câu 12 Cho đường thẳng d có phương trình x y Xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: x t a) 1 : x y b) : x y c) : y 2t Lời giải a) d 1 có vectơ pháp tuyến n1 (4; 2) n2 (1; 2) Ta có: a1b2 a2b1 (2) 1 10 , suy n1 n2 hai vectơ không phương Vậy d 1 cắt điểm M 4 x y 3 Giải hệ phương trình ta M 1; 2 x 2y b) d có vectơ pháp tuyến n1 (4; 2) n2 (2;1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy d song song trùng 1 1 Lấy điểm N 0; thuộc d , thay toạ độ N vào phương trình , ta 2.0 , 2 suy N không thuộc Vậy d / / Ta có x t c) Ta có : y 2t Suy ra: phương trình tổng quát 3 : x y 0 d có vectơ pháp tuyến n1 (4; 2) n2 (2;1) Ta có suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy d song song trùng Lấy điểm P ;0 thuộc d , thay toạ độ P vào phương trình tổng quát , ta 1 , suy N thuộc Vậy d 3 4 Câu 13 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d1 d sau đây: a) d1 : x y d : x y ; x t b) d1 : d : x y 10 y 2t x 1 t c) d1 : d : x y y 5t Lời giải a) d1 d cắt nhau.b) d1 d song song.c) d1 d trùng x 1 t Câu 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số: y 2t Tìm giao điểm d với đường thẳng : x y Lời giải Thay x t y 2t vào phương trình ta t 2t Suy t 2 4 Vậy giao điểm d với đường thẳng M ; 3 3 Câu 15 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a 1 : x y : x y b d1 : x y d : x y c m1 : x y m2 : x y a 1 có vecto pháp tuyến: n1 (3 2; 2) có vecto pháp tuyến: n2 (6; 2) Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... ta có | 12 | 10 d ( M , ) 32 Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp: a) Trong mặt phẳng toạ độ,... song với 2 hệ (I) vô nghiệm - 1 trùng với hệ (I) có vơ số nghiệm BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 : x y : x y x ... Ta có n1 n2 1 (2) nên n1 n2 hai vectơ vng góc, suy 1 Vậy 1 vng góc cắt M (1;0) Câu 10 Xét vị trí tương đối cặp dường thẳng d1 d sau đây: a d1 : x y d : x y