PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn Toán Năm học 2022 2023 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 5 câu, gồm 01 trang Câu 1 (4,0 điểm) 1 Rút gọn biểu[.]
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn: Tốn - Năm học 2022 - 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có câu, gồm 01 trang Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: x 1 x 1 1 x 1 x x x x P= x Cho a, b số hữu tỉ, p số nguyên tố thoả mãn a b p Tính giá trị biểu thức: A = (a b)( a b p ) Câu ( 4,0 điểm) Giải phương trình: 3x x 1 x 11 ỡù ổ y ữ ùù ỗ ữ ỗ 2+ ÷ ï 9( x - 1) y = y ç ÷ ç x ÷ ç í è ø ïï ï y + xy - 5x + = Giải hệ phương trình ïỵï Câu ( 2,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn: x 3x 3x y 1945 2 2) Cho p ; x ; y số tự nhiên thỏa mãn px x p 1 y y Chứng minh px py số phương Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn tâm đường trịn (O; R) Điểm A nằm bên ngồi đường tròn tâm O Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Gọi M , N trung điểm AB , AC ; H giao điểm AO với BC Lấy điểm E đường trịn ( E khác B C ) Qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O , tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K a) Chứng minh rằng: MN AH HO ; b) Chứng minh rằng: KA KE c) Tam giác XYZ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi X , Y1 , Z1 giao điểm đường thẳng XO với YZ , YO với XZ , ZO với XY Chứng minh rằng: XX YY1 ZZ1 9R Câu (2,0 điểm) Cho a, b,c dương thỏa mãn ab bc ca 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a P 1a b 1 b c 1 c a 28b 28c Hết -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Câu Nội dung I 0.25 1) ĐK : -1 < x < Đặt x a , (a>0)ta có: 1 a 1 a 1 a2 a 1 a 1 a a a P= 0.5 1 a 1 a 1 a a = 1 a 1 a 1 a 1 a = = 0.5 a a a2 a 1 a 1 a 1 a 1 a (1 a ) (1 a ) a2 a2 a2 1 a2 a 2a a a2 = 0.5 Vậy -1 < x < A=-1 0.25 2) Giả sử p số hữu tỉ m, n Khi tồn m, n tự nhiên cho p p m n 0.25 m2 m p.n 2 n Mà p nguyên tố nên m chia hết cho p (1) Đặt m p.k (k nguyên) 0.5 2 2 Ta có: p k p.n p.k n Suy n2 chia hết cho Suy n chia hết cho p (2) Từ (1) (2) ta thấy m, n có ước chung p ngun tố (Vơ lý Do m, n 1 p số vô tỉ 0.5 ) 0.5 - Nếu b 0 p a b số hữu tỉ Mâu thuẫn - Do b Suy a Khi a+b =0 Nên A = Vậy A = (a b)( a b p ) (a b)( a b p ) =0 =0 (2 điểm) Điều kiện: Phương trình tương đương với 0.25 x 3x (3x 4) ( x 7) x 0 9( x 11x 24) ( x 11x 24) 0 x (3x 4) ( x 7) x 0.5 9 x 11x 24 0 3x (3 x 4) ( x 7) x x 11x 24 0 9 0 x (3 x 4) ( x 7) x A - Xét 0.5 9 3x (3x 4) ( x 7) x 0.5 Ta chứng minh A < 0, tức là: 9 0 3x (3x 4) ( x 7) x 1 x (3 x 4) x x 3x 3x 25 275 x 45 x 4 0.25 275 3x x 45 x 2 Điều hiển nhiên - Giải phương trình x2 – 11x + 24 = ( x 3)( x 8) 0 x 3 x 8 ( thoả mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3; x = ỉ ïìï y ỗ ùù 9( x - 1) y = y ç 2+ ç ç xí è ïï ï y + xy - 5x + = Giải hệ phng trỡnh ùùợ ữ ữ ữ ( 1) ữ 1ø ÷ ( 2) 0.25 0.5 ìï 9( x - 1) y ³ ïï í y ïï ³ ï x ï ỵ Điều kiện: Khi từ phương trình phương trình (1) ta có TH1: Nếu y = x= y ³ 0, x > thỏa mãn hệ 0.5 æ y ( 1) x - = y ỗỗỗỗ2 + ỗ xè TH2: Nếu y > Û 4( x - 1) = ( x - 1) + x - y + ( ) y ÷ ÷ ÷ ÷Û 3( x - 1) = y x - + y 1÷ ø ( Với ) ( Û x- = é2 x - = x - + y é x- 1= y ê ê Û ê Û ê ê2 x - = - x - - y ê3 x - + y = ë ë Với ( x - 1+ y ) ) 0.5 0.25 x - = y Û x = y + thay vào (2) ta y2 - 2y + = Û y = Þ x = x - + y = Û x = 1, y = Vậy tất nghiệm hệ cho không thỏa mãn điều kiện ổ ữ ỗ ữ ;0 ỗ ữ,( 2;1) ỗ ố5 ữ ứ Ta cú: x 3+ x +3 x+ 2=( y +1945 )2 ⟺ ( x +1 )3 +1= [3 ( y +368 ) +1 ] Đặt a=x+ 1, b=3 y +368, phương trình trở thành: 0.25 a 3+1=( b+1 ) ⟺ ( b+ ) =( a+1 ) ( a 2−a+1 ) (1) Vì x , y ∈ N ⟹ a , b ∈ N , a ≥1 , b ≥ 368 - Nếu a=1 (1) trở thành: ( b+1 )2=2 Phương trình vơ nghiệm , ( b+1 ) số phương, cịn 0.5 khơng phải số phương - Nếu a ≥ a+ 1≥ 3, a2−a+ 1=a ( a−1 ) +1 ≥3 Đặt d=ƯCLN ( a+ 1,a 2−a+1 ) (d ≥1) ⟹ 0.5 ¿ a+ 1⋮ d ⟹ ¿ a2 +a ⋮ d ⟹ ¿ a+ 1⋮ d ¿ a−1⋮ d ¿ a2−a+1⋮ d ¿ a2 −a+1 ⋮ d { { { ⟹ ( a+1 )−( a−1 )=3 ⋮ d ⟹ d ∈ {1 ; } Do ( b+1 ) nên từ (1) ⟹ d ≠ ⟹ d = Các số nguyên dương a+ a2−a+1 ngun tố có tích số phương nên số số phương Nhưng ( a−1 )2