PHÒNG GIÁO DỤC THỌ XUÂN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM Năm học: 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu I: ( điểm) 1) Cho: A = B= 1 1 1 1 1 1 1 2 2019 2020 2021 1 2019 2020 Tính giá trị biểu thức M= A.B 2) Cho số x; y khác thỏa mãn : 3x- y = 3z 2x + y =7z Tính giá trị biểu thức: N = x xy x2 y2 Câu II: ( điểm) 1)Tìm x biết: a) 2x + 2x =2 b) 52x-1 = 52x-3 + 125 24 2) Chứng tỏ rằng: 91945 – 21930 chia hết cho Câu III: ( điểm) b c 1 a c a b a b c a b c a b c mãn: 2021 2020 2019 Chứng minh 1)Tìm ba số a,b,c biết rằng: 2) Cho số a,b,c thỏa 3) Cho hàm số f(x) xác định với x R Biết với x rằng: 4(a-b)(b-c) = (a-c)2 ta có Tính f(2) Câu IV: ( điểm) Cho ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M; tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Kẻ MH NK vng góc với BC (H;K BC) Gọi I giao điểm MN BC a) Chứng minh HBM = KCN I trung điểm MN b) Đường trung trực MN cắt tia phân giác Ax góc BAC P Chứng minh : < PMB = < PNC c) Chứng minh : Khi M di động AB N di động tia đối CA đồng thời thỏa mãn BM = CN P điểm cố định Câu V: ( điểm) Cho Chứng tỏ B số nguyên ************hết************** Câu Câu I HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Nội dung Điểm 1 1 1 1 1 1 1 2 2019 2020 2021 1)A = 2018 2019 2020 ( 2019 2020 2021 = 2021 1 B = 2019 2020 = 2020 2021 2019 2020 2021 = 2021 Suy ra: M= A.B = 2021 = = 2020 thừa số) ( 2019 thừa số) 0,75đ 0,25đ 0,25đ 2)Từ: 3x- y = 3z 2x + y =7z; suy ra: y = 3x - 3z y = 7z- 2x Suy ra: 3x – 3z = 7z - 2x hay x = 2z Suy ra: y = 3.2z – 3z = 3z Thay vào N ta có: N = Câu II 0,75đ (2 z ) 2.2 z.3 z z 2 13 (2 z ) (3 z ) 13z 0,5đ 0,5đ 1đ 1) a) Tìm số thực x biết: Ta có: 2x + 2x 2x 2 + 2x 2x = 2x 2 2x + 2x =2 =2 0,5đ 0,5đ Dấu “=” xảy khi: (2x+ )( - 2x) Giải được: x 4 b) 52x-1 = 52x-3 + 125 24 52x-3+2 – 52x-3 = 53.24 52x-3.52 - 52x-3 = 53.24 52x-3(52 -1) = 53.24 52x-3 = 53 hay 2x – = Vậy x = Câu 2) ta có: 91945 = 91444.9 = (92)972 = 81972 = ……1.9 = ……9 21930 = 21928.22 = (24)482 22 = 16482.4 = … 6.4= … Vậy: 91945 – 21930 = ….9 - ….4 = ….5 nên chia hết cho 1)Ta có: 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ III b c 1 a c a b a b c a b c b c a c a b 2(a b c) 2 = a b c a b c Suy ra: a b c 2 hay a+b+c = 0,5 0.75 Vậy: b +c = 0,5- a; a+ c = 0,5- b; a + b=0,5- c Ta có: (0,5 a ) 1 2 a = a (0,5 b) 2 b = b (0,5 c) 2 c = c a b c a b b c a c 2)Ta có: 2021 2020 2019 = 2021 2020 2020 2019 2021 2019 a b b c a c = 0.75 0,25 0,25 Suy ra: 2(a - b) = a –c; 2(b - c) = a – c Nhân vế với vế ta có: 4(a -b)(b -c) = (a - c)2 ( đpcm) 3)Cho hàm số f(x) xác định với x R Biết với x có 0,5 0,5 ta Tính f(2) 0,25đ Với x =2 ta có: Với (*) ta có: f(1/2) +2f(2) = (1/2)2 = ¼ => f(1/2) = ¼ - 2f(2) Thay (**) vào (*) Ta được: f(2) + 2( ¼ - 2f(2) = F(2) + ½ - 4f(2) = Hình vẽ => f(2) = -7/6 A M B C K H P I N (**) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1a) a)Xét tam giác vng: HBM KCN có: BM=CN (gt) HBM = KCN ( KCB) 0,5đ suy ra: HBM = KCN ( cạch huyền- góc nhọn) suy ra: MH = NK Xét tam giác vng: HMI KNI có: MH=NK ( Chứng minh trên) 0,5đ HIM = KIN ( đối đỉnh) suy ra: HMI = KNI ( Cạnh góc vng- góc nhọn) Suy MI=NI hay I trung điểm MN Theo CM I trung điểm MN nên PI trung trực MN suy ra: MP =NP Vì ABC cân A mà Ax phân giác nên AP trung trực 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Suy BP = CP Suy ra: BMP= CNP ( c-c-c) Suy PMB = PNC suy ( đpcm) 0,5đ Dễ dàng CM ABP = ACP ( c-c-c) suy ra: ABP = ACP hay MBP = ACP 1đ Lại có: MBP = NCP nên: NCP = ACP = 1800/2 = 900 0,5đ ( Hai góc kề bù nhau) vậy: MBP =900 suy ra: PB vng góc với AB hay P ln điểm cố định 0,5đ Câu V Ta có: ( Thêm bớt 49 đơn vị) 0,25đ 0,25đ = 49- M Trong 0,5đ 0,5đ Áp dụng tính chất 0,5đ Tacó: M< =1- M> >0 Từ suy 0