Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N.. Chứng minh rằng: DM = EN.. Chứng
UBND HUYỆN HÀ TRUNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HỐ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Số báo danh Môn: TOÁN ……………… Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu I:(4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 15 + + 19 − 20 + 34 21 34 15 45.94 − 2.69 b) B = 10 8 + 20 3− + 1−1+1 c) C = 11 13 + 5− + 5−5+5 11 13 d) D = −1 + −1 + −1 + −1 + −1 91 247 475 775 1147 Câu II:(4,0 điểm) Tìm x biết: a, : 2x −1 = 21 22 b, x − + x − = x − + x −1 2019 2020 2021 2022 Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a + b − c = b + c − a = c + a − b c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức B = 1 + 1 + 1 + a c b Câu III:(4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: + = x y5 2) Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = 3) Với n số tự nhiên, chứng minh rằng: n2 + 2022 khơng phải số phương Câu IV:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N a Chứng minh rằng: DM = EN b MN cắt BC I Chứng minh I trung điểm MN c Chứng minh đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu V:(1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HỐ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có 05 trang Câu Nội dung Điểm Câu I (4điểm) a) A = 15 + + 19 − 20 + 0,25 0,25 34 21 34 15 0,25 0,25 15 19 20 = + + − + 0,5 0,5 34 34 21 15 0,5 1 4 0,5 = 1+ − + 0,25 0,25 3 3 0,25 0,25 = + (−1) + =0+ = 77 45.94 − 2.69 b) B = 10 8 + 20 210.38 − 2.29.39 210.38 − 210.39 = 10 8 = 10 8 10 + + 210.38 (1 − 3) − −1 = 10 == (1+ 5) 3− + 1−1+1 c) C = 11 13 + 5− + 5−5+5 11 13 1 1 1 3. − + −+ = 11 13 + 234 1 1 1 1 5. − + − + 11 13 = 3+ =1 55 d) D = −1 + −1 + −1 + −1 + −1 91 247 475 775 1147 = −1 + −1 + −1 + −1 + −1 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 6 = − + + + + 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 = − − + − + − + − + − 13 13 19 19 25 25 31 31 37 1 = − − = − 37 259 Câu II a) : 2x −1 = 21 (4điểm) 22 : 2x −1 = 21 22 2x −1 = : 21 = 11 0,5 22 0,5 2x −1 = 11 x = 0,25 2x −1 = − 11 x = − 3 0,25 0,25 Vậy x = x = − 0,25 0.25đ 0.25đ b) x − + x − = x − + x −1 0.25đ 0.25đ 2019 2020 2021 2022 0.25đ x − x −3 x − x −1 0.25đ −1 + −1 = −1 + 0.25đ 2019 2020 2021 2022 0.25đ x − 23 + x − 23 = x − 23 + x − 23 2019 2020 2021 2022 1 1 (x − 2023). + − − = 2019 2020 2021 2022 1 x − 2023 = Vì + −− 0 2019 2020 2021 2022 x = 2023 Vậy: x = 2023 a) +Nếu a+b+c Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a+b−c = b+c−a = c+a−b= a+b−c+b+c−a+c+a−b = c a b a+b+c mà a + b − c +1 = b + c − a +1 = c + a − b +1 = c a b => a + b = b + c = c + a =2 cab Vậy a+b+c b a c b+a c+a b+c Thì B = 1+ 1+ 1+ = ( )( )( ) =8 a c b a c b +Nếu a+b+c = Thì: a + b = -c, b + c = -a, a + c = -b b a c b + a c + a b + c −c −b −a Hay: B = 1+ 1+ 1+ = ( )( )( ) = = -1 a c b a c b a c b Vậy: a+b+c = Thì B = - (1.5 điểm) Câu III 1+1 =1 0,25 (4.0 xy5 điểm) 5x + 5y = xy ( Vì x ; y ) xy − 5x − 5y = 0,25 x - 5; y -5 0,25 x(y − 5) − 5(y − 5) = 25 (x − 5)(y − 5) = 25 Ư(25)= 1; 5; 25 Ta có bảng sau: 0,25 x - -1 -5 25 -25 y - 25 -25 -5 -1 x 10 30 -20 0,25 y 30 -20 10 Vì x, y số nguyên dương nên ta có ( x; y)(6;30);(10;10);(30;6) 0,25 (1,5 điểm) Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z 0.5 x = y = z = 4x = 3y = 5z = 4x − 3y + 5z = = 12 1 1 1 − + 0.5 12 15 4 12 x = 12 = ; y = 12 = 1; z = 12 = 82 12 15 (1,0 điểm) Vì n số tự nhiên nên n2 số phương n2 có dạng 4k 4k+1 ( k N ) 0,25 Nếu n2 = 4k n2 + 2022 = 4k + 2022 = 4.(k + 505) + n2 + 2022 số phương 0,25 Nếu n2 = 4k+1 n2 + 2022 = 4k +1+ 2022 = 4k + 2023 = 4.(k + 505) + 0,25 n2 + 2022 khơng phải số phương KL: Vậy với số tự nhiên n n2 + 2022 khơng phải số 0,25 phương A Câu IV (6.0 điểm) M I C E H B D O N a) (2 điểm) Xét BDM CEN có: 0,5 MDB = NEC = 900 (do MD ⊥ BC; NE ⊥ BC) 0,25 BD = CE (gt) 0,75 MBD = NCE ( = ACB ) 0,25 BDM = CEN ( g c g) DM = EN ( hai cạnh tương ứng) 0.25 b) (2.0 điểm) Xét MDI NEI có: 0,25 MDI = NEI = 900 (do MD ⊥ BC; NE ⊥ BC) DM = EN (ý a) 0,5 DMI = ENI ( So le MD // NE) 0,25 MDI = NEI ( g c g) 0,5 IM = IN ( hai cạnh tương ứng) 0,25 Vậy I trung điểm MN 0,25 c) (2,0 điểm) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I Cần chứng minh O điểm cố định 0,25 Nối O với B, C Vì đường thẳng OA cố định nên cần chứng minh OC 0,25 cố định hay OC ⊥ AC Chứng minh: AHB = AHC ( ch – gn) 0,25 BAH = CAH ( hai góc tương ứng) 0,25 Chứng minh OAB = OAC (c.g.c) OBA = OCA (1) 0,25 Chứng minh OBM = OCN ( c.c.c) OBA = OCN (2) 0,25 Từ (1) (2) OCA = OCN mà OCA + OCN = 1800 0,25 OCA = OCN = 900 OC ⊥ AC Câu V Vì AC cố định mà OC ⊥ AC O điểm cố định (1.0 Vậy D di chuyển cạnh BC đường thẳng vng góc với MN 0,25 điểm) I qua điểm cố định Ta có: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 = ( x − 2021 + 2023 − x )+ x − 2022 0,25 Do x − 2021 + 2023 − x x − 2021+ 2023 − x = = với x (1) x − 2022 với x (2) Từ (1) (2) suy ra: A = ( x − 2021 + 2023 − x )+ x − 2022 0,25 Dấu “=” xảy khi: (x − 2021)(2023 − x) 2021 x 2023 0,25 x = 2022 x − 2022 = x = 2022 Vậy Min A = x = 2022 0,25 Lưu ý: -Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Trong hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm HẾT -