Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N.. Chứng minh rằng: DM = EN.. Chứng
Trang 1UBND HUYỆN HÀ TRUNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023
Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, 01 trang
Câu I:(4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
7
3 15
20 34
19 21
7 34
15
+
− + +
=
A
b)
20 6 3 2
6 2 9 4
8 8 10
9 4
5
+
−
=
B
c)
8
5 6
5 4 5
4
1 3
1 2 1
13
5 11
5 4
5
13
3 11
3 4
3
+
−
+
− + +
−
+
−
=
C
d)
1147
1 775
1 475
1 247
1 91
+
− +
− +
− +
−
=
D
Câu II:(4,0 điểm)
1 Tìm x biết:
a,
22
21 1 2 : 2
1
3 x− =
b,
2022
1 2021
2 2020
3 2019
4 + − = − + −
x
2 Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:
b
b a c a
a c b c
c b
+
+
+
=
b
c c
a a
b
Câu III:(4,0 điểm)
1) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:
2) Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
3) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng: 2
2022
n + không phải là số chính phương
Câu IV:(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N
a Chứng minh rằng: DM = EN
b MN cắt BC tại I Chứng minh I là trung điểm của MN
c Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Câu V:(1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x− 2021 + x− 2022 + x− 2023
HẾT
x + = y 5
Số báo danh
………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Hướng dẫn chấm này có 05 trang
Câu I
3 15
20 34
19 21
7 34
15 + + − +
=
A
7
3 15
20 21
7 34
19 34
15
+
− +
+
=
7
3 3
4 3
1
− +
=
7
3 7
3 0
7
3 ) 1 ( 1
= +
=
+
− +
=
0,25 0,25 0,25 0,25
b)
20 6 3 2
6 2 9 4
8 8 10
9 4 5
+
−
=
B
5 2 3 2 3 2
3 2 2 3 2
2 8 8 8 10
9 9 8 10
+
−
=
5 2 3 3 2
3 2 3 2
10 8 8 10
9 10 8 10
+
−
=
3
1 6
2 ) 5 1 ( 3 2
) 3 1 ( 3 2 8 10
8
10 = − = − +
−
=
0,5
0,5
c)
8
5 6
5 4 5
4
1 3
1 2 1
13
5 11
5 4 5
13
3 11
3 4 3
+
−
+
− + +
−
+
−
=
C
− +
+
− +
=
4
1 3
1 2
1 2 5
4
1 3
1 2 1
13
1 11
1 4
1 5
13
1 11
1 4
1 3
5
2 5
3 + =
=
0,5
0,5
d)
1147
1 775
1 475
1 247
1 91
1+ − + − + − + −
−
=
D
37 31
1 31 25
1 25 19
1 19 13
1 13 7
1 + − + − + − + −
−
=
−
=
37 31
6 31 25
6 25 19
6 19 13
6 13 7
6 6 1
−
=
37
1 31
1 31
1 25
1 25
1 19
1 19
1 13
1 13
1 7
1 6
1
259
5 37
1 7
1 6
1
−
=
−
−
=
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 3Câu II
21 1 2 : 2
1
3 x− =
22
21 1 2 : 2
7 x− =
3
11 22
21 : 2
7 1
2x− = =
−
=
=
−
=
−
=
−
3 4 3 7
3
11 1 2
3
11 1 2
x
x x
x
Vậy
3
7
=
x hoặc
3
4
−
=
x
0,5
0,5
b)
2022
1 2021
2 2020
3 2019
4+ − = − + −
x
− +
− −
=
− − +
− −
2022
1 1
2021
2 1
2020
3 1
2019
x
2022
23 2021
23 2020
23 2019
23+ − = − + −
x
2022
1 2021
1 2020
1 2019
1
−
x
=
−
2022
1 2021
1 2020
1 2019
1 0
2023 Vì x
x = 2023 Vậy: x= 2023
0,25
0,25
0,25
0,25 a)
+Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
b
b a c a
a c b c
c b
a+ − = + − = + − = a b c b c a c a b
a b c
+ − + + − + + −
+ + = 1
mà a b c 1 b c a 1 c a b 1
+ − + = + − + = + − + = 2
=> a b b c c a
+ = + = + =2
Vậy a+b+c 0 Thì B = 1 b 1 a 1 c (b a c)( a b c)( )
+ + + =
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ
+Nếu a+b+c = 0 Thì: a + b = -c, b + c = -a, a + c = -b Hay: B = 1 b 1 a 1 c (b a c)( a b c)( )
+ + + =
− − −
= -1 Vậy: a+b+c = 0
Thì B = - 1
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ
1 (1.5 điểm)
Trang 4Câu III
(4.0
1 1 1
=
+
y
) 0 y
; 0 x Vì ( 5
0 5
5 − =
−
xy x y
25 ) 5 ( 5 ) 5 ( − − − =
25 ) 5 )(
5 ( − − =
x y x - 5 ; y - 5 Ư(25)= 1; 5; 25
Ta có bảng sau:
Vì x, y là các số nguyên dương nên ta có
( ) (x y ; 6;30 ; 10;10 ; 30;6) ( ) ( )
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
2 (1,5 điểm) Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z
8 12 15 2 4 3
= = = = = = 4 3 5 7 12
1 1 1 7
2 4 3 12
x− y+ z = =
− +
x = 12.1
8= 3
2 ; y = 12 1
12 = 1; z = 12 1 4
15 = 5
0.5 0.5
0 5
3 (1,0 điểm) Vì n là số tự nhiên nên n2 là số chính phương do đó
2
n có dạng 4 k hoặc 4 + k 1 ( k N )
n2+ 2022 không phải là số chính phương Nếu n2 = k4 +1 thì
2
n2 + 2022 không phải là số chính phương KL: Vậy với mọi số tự nhiên n thì n +2 2022 không phải là số chính phương
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu IV
(6.0
điểm)
O
I
N
M
H B
C A
D
E
Trang 5a) (2 điểm) Xét BDM và CENcó:
)
; (
900 do MD BC NE BC NEC
BD = CE(gt) MBD= NCE ( = ACB) BDM = CEN (g.c.g) DM = EN ( hai cạnh tương ứng) b) (2.0 điểm) Xét MDIvà NEI có:
MDI = NEI = 900 (do MD⊥BC; NE ⊥BC)
DM = EN (ý a) DMI = ENI ( So le trong và MD // NE) MDI= NEI (g.c.g)
IM = IN ( hai cạnh tương ứng)
Vậy I là trung điểm của MN
c) (2,0 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là
giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I
Cần chứng minh O là điểm cố định
Nối O với B, C Vì đường thẳng OA cố định nên cần chứng minh OC
cố định hay OC ⊥ AC
Chứng minh: AHB= AHC( ch – gn)
CAH BAH=
( hai góc tương ứng)
Chứng minh OAB= OAC (c.g.c) OBA= OCA (1) Chứng minh OBM = OCN ( c.c.c) OBA= OCN (2)
Từ (1) và (2) OCA= OCN mà 0
180
=
+
OCA OCN
0
90
=
=
OCA OCN OC ⊥ AC
Vì AC cố định mà OC⊥AC O là điểm cố định
Vậy khi D di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng vuông góc với MN tại
I luôn đi qua một điểm cố định
0,5 0,25 0,75 0,25 0.25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
Câu V
(1.0
điểm)
Ta có: A= x− 2021 + x− 2022 + x− 2023 =(x− 2021 + 2023 −x)+ x− 2022
Do x− 2021 + 2023 −x x− 2021 + 2023 −x = 2 = 2 với mọi x (1)
và x− 2022 0 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A=(x− 2021 + 2023 −x)+ x− 2022 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2022 2022
2023 2021
0 2022
0 2023
2021
=
=
=
−
−
−
x x
x x
x x
Vậy Min A = 2 x= 2022
0,25
0,25 0,25
0,25
Lưu ý: -Học sinh nếu làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không được chấm điểm
- HẾT -