Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ∆ABM và ∆ACN.. Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.. Gọi D là giao điểm của MN và AH.. - Điểm của toàn bài là tổng điểm thành
UBND HUYỆN BÁ THƯỚC KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP CỤM NĂM HỌC 2022-2023 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THỊ TRẤN CÀNH NÀNG Đề thi mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29 tháng 01 năm 2023 Bài (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: −2 2 −2 −2 0 a) A = 3. − 2. + 4. 3 3 3 b) B =42.53 + 47.156 − 47.114 c) C = − 21 + 49 13 15 12 39 91 15 Bài (4 điểm) Tìm x, y, z biết a) (x − 2034).5 = −105 b) x − 0, 25 + =1, 25 35 c) x − = 48 d) ( + + + ) x = 2013 + 2012 + + + 23 2014 2012 2013 Bài (4 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + = b − + b - b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức C= 22 − 3x có giá trị lớn 4− x Bài (6 điểm) Cho ∆ ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ tam giác ABC tam giác vuông cân A ∆ ABM ∆ ACN a) Chứng minh rằng: MC = BN b) Chứng minh rằng: BN ⊥ CM c) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN Bài (2 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 1! + 2! +3! +…+ x! = y2 - HẾT - UBND HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2022- 2023 THỊ TRẤN CÀNH NÀNG MƠN: TỐN Câu −2 2 −2 Nội dung Điểm A = 3. − 2. + 4. 0,5 −2 0 0,5 (4đ) 3 3 0,5 0,5 A= + + 4.1 3 0,5 93 0,5 a 42.53 + 47.42 A= 4+4+4 4200 0,5 33 0,5 0,5 A= 62 0,5 0,5 A = 42.53 + 47.(156 −114) = 0,5 b A= 42.(53 + 47=) 42.100= 0,5 B= − + 0,5 13 15 12 13 13 15 =B 7 8 − + c 13 15 12 15 =B 5 1− 13 12 7 49 =B = 13 12 156 d x − 2034 = −21 a x =−21+ 2034 x = 2013 x − 0, 25 + =1, 25 ⇒ x − 0, 25 =0, 75 x − 0, 25 = 0, 75 b ⇒ x − 0, 25 = −0, 75 x =1 ⇒ x = −0,5 (4đ) Vậy x ∈{1; −0,5} x − = ⇔ x = 11 c 8 11 x= ( + + + ).x = 2013 + 2012 + + + d 2014 2012 2013 ⇔ ( + + + ).x = 2012 +1+ 2011 +1 + +1+ +1+1 0,5 23 2014 2012 2013 ⇔ ( + + + ).x = 2014 + 2014 + + 2014 + 2014 + 2014 23 2014 2012 2013 2014 ⇔ ( + + + ).x = 2014(1 + + + + ) ⇔ x = 23 2014 2012 2013 2014 2014 Nhận xét: Với x ≥ x + x = 2x 0,5 Với x < x + x = Do x + x ln số chẵn với ∀ x∈Z 0,5 Áp dụng nhận xét b − + b – số chẵn với b -5 ∈ Z a Suy 2a + số chẵn ⇒ 2a lẻ ⇔ a = Khi b − + b – = 0,5 + Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – = ⇔ = (loại) + Nếu b ≥ , ta có 2(b – 5) = ⇔ b – = ⇔ b = (thỏa mãn) 0,5 (a; b) = (0; 9) Biến đổi C = 22 − 3x = 3(4 − x)+10= + 10 4− x 4−x 4− x 3(4đ) C có giá trị lớn 10 có giá trị lớn 0,5 4− x Có x ∈ Ζ , ta xét trường hợp sau Với x > ⇒ – x < 10 < (1) 0,5 4− x b Với x > ⇒ – x > Phân số 10 − x có tử mẫu dương, tử 0,5 khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ Có x ∈ Ζ Suy – x ∈ Ζ Suy – x số nguyên dương nhỏ ⇒ - x = ⇒ x = 10 có giá trị 10 (2) 4− x 0,5 Từ (1) (2) , phân số 10 lớn 10 4− x Vậy GTLN C 13 x = F N D M E A I K a B H C 0,5 Xét ∆ AMC ∆ ABN, có: AM = AB ( ∆ AMB vuông cân) 0,5 M AC = B AN (= 900 + B AC ) 0,5 AC = AN ( ∆ ACN vuông cân) 0,5 Suy ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) => MC = BN ( cạnh t ứng) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với 0,5 MC 0,5 Vì ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) b ⇒ ANI = K CI 0,5 mà AIN = KIC (đối đỉnh) (6đ) 0,5 ⇒ KCI + KIC = ANI + AIN = 90 đó: MC ⊥ BN Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥ AH F Gọi D giao điểm MN 0,5 AH - Ta có: B AH + M AE = 900 (vì M AB = 900) (1) 0,5 Lại có M AE + AME = 900 (2) Từ (1) (2) ⇒ AME = B AH Xét ∆ MAE ∆ ABH, vng E H, có: 0,5 AME = B AH (chứng minh trên) 0,5 MA = AB( ∆ AMB vuông cân) c Suy ∆ MAE = ∆ ABH (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ ME = AH Chứng minh tương tự ta có ∆ AFN = ∆ CHA (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ FN = AH Ta có ME// NF (cùng vng góc với AH)=> E MD = F ND (hai góc so le trong) Xét ∆ MED ∆ NFD, vuông E F, có: ME = NF (= AH) E MD = F ND ⇒ ∆ MED = ∆ NFD( g.c.g) ⇒ MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D trung điểm MN Vậy AH qua trung điểm MN +Với x=1, ta có 1! = y2 => = y2 => y= ±1 +Với x=2, ta có 1! +2!= y2 => = y2 =>khơng tìm giá trị 0,5 y thỏa mãn đề +Với x=3, ta có 1! +2!+3!= y2 => = y2 =>y= ± 0,5 +Với x ≥ 4, ta có 1! + 2! +3! +…+ x! =33+5!+6!+…+x! có chữ số (2đ) tận (Vì 5!, 6!,…,x! có chữ số tận 0) nên 0,5 khơng phải số phương, cịn y2 lại số phương => khơng tìm giá trị y thỏa mãn đề Vậy cặp số nguyên x, y thỏa mãn là: 0,5 (x,y) =(1; 1);(1; -1);(3; 3);(3; -3) Lưu ý: - Đây hướng dẫn chấm nên giám khảo phải vào làm HS để chấm điểm - Điểm toàn tổng điểm thành phần sau làm tròn số - Nếu HS làm cách khác mà cho điểm tối đa theo câu, ý HDC - Bài hình khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm - Điểm khảo sát làm trịn đến 0,5