Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ LINH CHI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ LINH CHI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ LINH CHI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt i Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12 Chương Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 2.1 Phương pháp gradient tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert 2.2 2.3 14 14 Phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 22 Một số ví dụ 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 i Bảng ký hiệu viết tắt R H ∅ ∀x ∃x hx, yi kxk PC (x) inf y∈C kx − yk T I G(T ) Fix(T ) V I(A, C) tập số thực không gian Hilbert thực tập rỗng với x tồn x tích vơ hướng hai véc-tơ x y chuẩn véc-tơ x hình chiếu x lên C infimum tập {kx − yk : y ∈ C} tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert toán tử đồng H đồ thị toán tử T tập hợp điểm bất động T toán bất đẳng thức biến phân Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung chủ đề thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Bài tốn tìm điểm bất động giải bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H Ánh xạ A : C → H liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân tìm x ∈ C cho hA(x), y − xi > 0, ∀y ∈ C (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân ký hiệu V I(A, C) Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ T : H → H tốn tìm x ∈ H cho T (x) = x (0.2) Mục đích đề tài luận văn trình bày tốn điểm bất động chung ánh xạ nửa co bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu liên tục Lipchitz khơng gian Hilbert Tức tìm nghiệm chung toán (0.1) toán (0.2) Dưới hướng dẫn TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang, chọn đề tài luận văn: “Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert” Nội dung luận văn trình bày hai chương, cụ thể sau: Chương 1: Trình bày số kết đặc trưng khơng gian Hilbert Trình bày số phương pháp lặp có liên quan tới tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân Chương 2: Trình bày hai phần Phần thứ trình bày khái quát phương pháp lặp giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert, phần hai trình bày phương pháp lặp hữu hiệu giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Trong q trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phú Lương, Thái Nguyên toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho em thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ em trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K12 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Cuối tơi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tơi q trình học tập làm luận văn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, 26 tháng 01 năm 2021 Học viên Vũ Thị Linh Chi Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức không gian Hilbert số khái niệm, định nghĩa Đồng thời trình bày tốn tử, tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1, 17] Chương trình bày số kết khơng gian Hilbert số phương pháp lặp có liên quan tới tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm kết đặc trưng không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ h., i : H × H −→ R (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau đây: hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R; hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = ⇔ x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai vectơ x, y H Định nghĩa 1.1.2 Cặp (H, h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H với x, y ∈ H ta có đẳng thức sau: |hx, yi|2 hx, yi hx, yi Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức p kxk = hx, xi ∀x ∈ H (1.1) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.5 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.6 Khơng gian Rn khơng gian Hilbert với tích vơ hướng n X hx, yi = xk yk , k=1 x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , chuẩn cảm sinh kxk = hx, xi = n X xk xk = k=1 n X xk2 k=1 Ví dụ 1.1.7 Không gian ∞ X 2 x = (x ) ∈ R : l = < +∞ |x | n n n n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng, hx, yi = ∞ X xn yn , x = (xn )n∈N , n=1 chuẩn p kxk = hx, xi = v t ∞ X n=1 y = (yn )n ∈ l2 ∞ X 2 |xn | = ( |xn | ) n=1 Ví dụ 1.1.8 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = Zb x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] , a chuẩn 21 b Z kxk = |x(t)| dt a Mệnh đề 1.1.9 (Đẳng thức hình bình hành) Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ), với x, y ∈ H Chứng minh Ta ln có kx + yk2 = kxk2 + 2hxx, yi + kyk2 , kx − yk2 = kxk2 − 2hxx, yi + kyk2 Cộng hai đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.10 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.11 Trong không gian Hilbert thực H , ta ln có (i) kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (ii) kx + yk2 kxk2 + 2hy, x + yi với x, y ∈ H Chứng minh (i) Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh (ii) Với x, y ∈ H , ta có kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2 = kxk2 + 2hy, x + yi Ta điều phải chứng minh Định nghĩa 1.1.12 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } ⊂ H Khi ta có khái niệm sau (a) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H lim hxn , yi = hx, yi , n→∞ ∀y ∈ H (b) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H lim kxn − xk = n→∞ Kí hiệu xn ⇀ x hội tụ yếu, xn → x hội tụ mạnh dãy {xn } đến phần tử x ∈ H Định nghĩa 1.1.13 (a) Tập hợp C ⊆ H gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C (b) Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, nghĩa với {xn } ⊂ C cho xn → x n → ∞ kéo theo x ∈ C