Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Câu 1 (4 điểm) Tính a) b) Câu 2 (6 điểm) a) So sánh và b) Tìm x biế[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Câu 1: (4 điểm) Tính: a) b) Câu 2: (6 điểm) a) So sánh b) Tìm x biết: c) Chứng minh rằng: p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố Câu 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để phân số phân số rút gọn b) Trong đợt tổng kết năm học trường THCS, tổng số học sinh giỏi ba lớp 6A, 6B, 6C 90 em Biết số học sinh giỏi lớp 6A giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp số học sinh giỏi lớp 6B số học sinh Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có , AB=6cm Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) cho AD=2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD b) Tính số đo biết c) Dựng tia Cx cho Tính d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C) Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt Câu 5: (2 điểm) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho: ĐÁP ÁN Câu a) Tính số số hạng A (2016 - 1) : + = 2016 số hạng Nhóm số hạng liên tiếp vào nhóm: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy A=-2016 b) Vậy B= Câu a) Ta có Ta có Từ (1) (2) suy A>B Vậy A>B b) Ta có: Nên từ (1) suy ra: =>x=3 Vậy x=3 c) Ta nhận xét số nguyên tố lớn chia cho có dạng p=3k+1 p=3k+2 ( ) Với p=3k+1 p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho Với p=3k+2 p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho Vì p nguyên tố nên p Tức p2+2 hợp số trường hợp p 2+2 lớn chia hết cho => p2+2 nguyên tố p=3 (khi p2+2=11 số nguyên tố) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => p3+2=27+2=29 số nguyên tố Vậy p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố Câu a) Gọi d ƯCLN(2n+1,n+2) (d ) Ta có 2n+1 d, n+2 d => [(2n+4)-(2n+1)] d => d Vì d nên d {1;3} Để phân số rút gọn d=3 => n+2=3k ( ) => n=3k-2 ( ) Vậy với n=3k-2 ( ) phân số phân số rút gọn b) Số học sinh giỏi lớp 6B ( số học sinh giỏi lớp 6A) Số học sinh giỏi lớp 6C ( số học sinh giỏi lớp 6A) Số học sinh giỏi lớp ( số học sinh giỏi lớp 6A) Vậy số học sinh giỏi lớp 6A 90: = 30 học sinh, lớp 6B 36 học sinh lớp 6C 24 học sinh Câu a) D nằm A B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm KL b) Tia CD nằm hai tia CA tia CB => W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => KL =400 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD Cx nằm phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900- = 700 K.L - Trường hợp 2: Hai tia CD Cx nằm hai phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900 + = 1100 K.L - Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ CD chứa điểm B nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E B nửa MP bờ CD => đường thẳng CD cắt đoạn EB - Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB Câu Khơng làm tính tổng quát, ta giả sử: a b c ta có: Nếu a=1 khơng thể được, a= a=3 Nếu a=2 Suy Suy b=4 b= b=6 < Suy số a, b, c thỏa mãn (a=2,b=4,c=20) (a=2,b=5,c=10) Nếu a=3 từ suy b=3 b=4 Khơng có trường hợp thỏa mãn K.L có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số (2,4,20) (2,5,10) Đề số Câu Tính giá trị biểu thức W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a A = + + + + + 100 3 4 4(3+ − − ) 4+ + + 53 17 19 2003 : 3 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 b B = -1 1 1 + + + + + 99 100 c C = 2 3 4 Câu So sánh biểu thức : a 3200 2300 121212 404 10 + − b A = 171717 17 1717 với B = 17 Câu Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B ngược chiều Xe thứ khởi hành từ A lúc Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 10 phút Biết để quãng đường AB Xe thứ cần , xe thứ hai cần Hỏi sau xe gặp lúc giờ? Câu (6,0 điểm): Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ tia Oz Ot cho a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox Ot ? b Chứng tỏ tia Ot tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câu (2,0 điểm): Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số ĐÁP ÁN Câu a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp = 50 10 = 5050 3 4 4 (3+ − − ) 4+ + + 37 53 17 19 2003 −1 : 3 5 (3+ − − ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 b) A = 1 + + ) 17 19 2003 : 1 1 5(1+ + + ) 17 19 2003 = Ta có : A = 4(1+ 1 c) B = + + W: www.hoc247.net 1 + + + 99 100 F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1 1 1 1 99 Ta có : B = - + - + - + + 99 -100 = - 100 = 100 Câu a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 ; 2300 =(23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 404 121212:10101 404 :101 12 12+2−4 + − + + − ⇒ A= + − = 17 17 17 17 b) A = 171717 17 1717 171717:10101 17 1717 :101 10 10 Vậy A = 17 hay A =B = 17 Câu 1 xe thứ đươc quảng đường AB 1 xe thứ quảng đường AB 1 xe + = quảng đương AB 1 1 Sau 10 phút = : Xe thứ = 12 quảng đường AB Quảng đường lại là: 11 = 12 - 12 (của AB) Thời gian hai xe quảng đường lại là: 11 11 12 : = 10 = phút Hai xe gặp lúc 10 phút + phút = 16 phút Đáp án : 16 phút Câu a) Vì góc xOy góc bẹt nên suy nưả mặt phẳng có bờ xy có + hai góc kề bù = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: Ox Ot Tia Oz nằm hai tia b) Trên nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có hai góc kề bù hay Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: Oy Oz (1) nên ta có: Tia Ot nằm hai tia hay (2).Từ (1) (2) suy Ot tia phân giác góc yOz c) Vì góc bẹt nên suy tia Ox tia Oy hai tia đối mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz (1) Vì On tia phân giác góc xOz nên phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Hai tia Ox Oy nằm hai nửa hai tia On Ox nằm mặt Ta lại có tia Ot tia phân giác góc yOz (theo b,) Hai tia Ot Oy nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) Từ (1),(2), (3) suy tia On tia Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz tia Oz nằm hai tia On Ot nên ta có: hay Vậy Câu n số nguyên tố, n > nên n không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007 = 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số Đề số Câu 1(2,0 điểm): Tính hợp lí a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 c) Câu 2(6,0 điểm): Tìm x số tự nhiên, biết: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 a) x : ( - ) = x+1 b) = x+1 c) 52x - – 2.52 = 52.3 d) Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2x + 3y = 12x Câu 4(5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax Ay cho Tính c) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn Câu 5(1,0 điểm): Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: + + + …….+ n = aaa ĐÁP ÁN Câu a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16 = 49 100 + 49 100 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 b) = = Câu 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 a) x : ( - ) = x : = W: www.hoc247.net x=2 Vậy x = F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x+1 b) = x+1 (x + 1) = 16 = ( 4)2 *) x + = x=3 *) x + = - x=-5 Do x N nên x = c) 52x - – 2.52 = 52.3 52x - = 52.5 52x - = 52.3 + 2.52 52x - = 53 2x - = 2x = x = Vậy x = d) *) 2x – = 2x =12 *) 2x – = - x=6 2x = x=1 Vậy x Câu a) a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = xy - x + 2y = ( xy – x) + (2y – 2) = x( y – 1) + 2( y – 1) = (y – 1)( x + 2) = *) *) Vậy x = - 1 ; y = x = -3 ; y = b) b) 2x + 3y = 12x 2x + 3y = (4.3)x = 22x.3x Nhận thấy : ( 2, 3) = x–1=y-x=0 x=y=1 Câu y x 400 N ) A W: www.hoc247.net M B F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB Có AN = AM AM + = AM = cm AN = cm Do N thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm N B BN = AB + AN = + = cm Vậy BN = 8cm b) + Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: hai tia AB Ay nên ta có: Tia Ax nằm hay + Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có hai góc kề bù hay c) Vì BN = AB + AN = + AN BN có độ dài lớn AN có độ dài lớn Mà AN = AM BN có độ dài lớn AM có độ dài lớn Có AM AM lớn AM = AB điểm M trùng với điểm B AB Vậy điểm M trùng với điểm B BN có độ dài lớn Câu Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng (n+1 ) n + +…+ n = Mà + + 3+… + n = aaa (n+1 ) n Suy = aaa = a 111 = a 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n 37 n + 37 (n+1 ) n Vì số có chữ số n+1 < 74 ⇒ n = 37 n + = 37 37 38 =703 +) Với n = 37 ( loại) 36 37 =666 +) Với n + = 37 ( thoả mãn) Vậy n = 36 a = Ta có: 1+ + 3+… + 36 = 666 Đề số Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm tự nhiên n cho 4n – chia hết cho 2n – 2) Cho S = 31 + 33 + 35 + + 32011 + 32013 + 32015 Chứng tỏ: a) S không chia hết cho b) S chia hết cho 70 Câu 2: (5 điểm) a) Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Tìm số nguyên x, y biết x2y – x + xy = c) Cho cuối bao nhiêu? Biết A = 2013 Hỏi A có số hạng? Giá trị số hạng Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ phân số ab a+b ( số có chữ số) Câu (4 điểm) Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan nam tham quan số nam Nhưng sau bạn nữ xin số nam Tính số học sinh nữ học sinh Câu 5: (5 điểm) Cho , Kẻ tia Om tia phân giác góc xOy.Tính số đo ĐÁP ÁN Câu 1) 4n – = 4n – – = 2(2n – 1) – Vì 2(2n – 1) -> 2n – 2n – nên 2n – 2n – Ư(3) Lí luận đến 2n – Kết luận n 2) a) Vì khơng chia hết cho Các hạng tử lại chia hết cho Nên S khơng chia hết cho b) Tính số số hạng tổng S 1008 số hạng S = (31 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + + (32011 + 32013 + 32015) S = 91+ 37 91 + … + 32011 Kết luận S 91 S = (31 + 33) + (35 + 37) + + (32013 + 32015) S = 10+ 35 10 + … + 32013 10 Kết luận S 10 10 Vì (10, 7) = nên S 70 Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 Tính 100x + 101 100 : = 5750 Kết luận x = b) x2y – x + xy = (xy – 1)(x + 1) = = 1.5 = (-1)(-5) Xét trường hợp kết luận (x;y) = (-2;2), (-4;0) c) Số số hạng A (số hạng) Câu ab Đặt A = a+b = = A Có GTNN + Khi số = có GTLN Có GTLN b = a = = 19 GTNN A 1,9 Câu Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nên ta lấy làm đơn vị Số hs nữ đăng kí tham quan Số hs nữ tham quan số nam nên số nam tham quan nên Số nữ dự định nhiều số nữ là: Tổng số hs tổng số - tổng số tổng số hay học sinh = 30 (học sinh) Số hs nữ tham quan là: 30 = (học sinh) Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nên ta lấy làm đơn vị Số hs nữ đăng kí tham quan Số hs nữ tham quan W: www.hoc247.net số nam nên tổng số số nam tham quan nên F: www.facebook.com/hoc247.net tổng số Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Số nữ dự định nhiều số nữ là: Tổng số hs - tổng số hay học sinh = 30 (học sinh) Số hs nữ tham quan là: 30 = (học sinh) Câu Trường hợp 1: tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox m z y x O Lí luận để tính Chứng minh tia Oz nằm Ox Oy Tính Trường hợp : tia Oy Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox m y x O z Chỉ Ox nằm Om Oz Tinh Đề số Câu Tính: a A = + 2 + + + + 20 b Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 Câu a Chứng minh nếu: W: www.hoc247.net ( ab + cd + eg ) 11 abc deg F: www.facebook.com/hoc247.net 11 Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b Chứng minh rằng: 10 28 + 72 Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (1,5đ) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: a b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại ĐÁP ÁN Câu a) 2A = + + + + 21 => 2A – A = 21 +8 – ( + 2 ) + (2 – 3) + + (2 20 – 20) = 21 b) => (x + 1) + ( x + ) + + (x + 100) = 5750 x + + x + + x + + + x + 100 = 5750 => ( + + + + 100) + ( x + x + x + x ) = 5750 101 50 + 100 x 100 x + 5050 = 5750 – 5050 100 x = 700 Câu a) abc deg = 10000ab + 100 9.8 nên 10 28 + 9.8 = 5750 100 x x b) 10 28 + = 5750 = cd + eg = 9999 ab + 99 cd +( ab + cd + eg ) 11 ta có 10 28 + 8 (vì có số tận 008) 10 28 + 72 Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n + 2006 = a2 ( a Z) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm) a2 – n2 = 2006 (a-n) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên khơng thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)⋮2 (a+n) ⋮2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (1,5đ).Ta có: tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16