Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS VÂN NAM ĐỀ THI HSG LỚP 7 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Câu 1 Thực hiện phép tính a b c Câu 2 a, Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng (a+2c[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS VÂN NAM ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Câu 1: Thực phép tính ( ) ( 5 : − + : − 11 22 15 a ) −1 −1 −1 69 − 2+ (3+ ( +5−1 ) ) b 157 ( ) 415 9−4 320 9 19 29 c −7 27 Câu 2: a c = a, Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b Tìm hai số nguyên biết: Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé), thương (số lớn chia số bé) hai số cộng lại 38 Câu 3: Tìm x biết: 1 −|x+ |= a) −|2 x +1|= b) Câu 4: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng bờ AB khơng chứa C vẽ tia Ax vng góc AB lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ Ay vng góc AC lấy AE = AC Chứng minh: a, AM = ED b, AM ¿ DE ĐÁP ÁN Câu a b c Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a c = a, Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) a c = Ta có: b d => a.d = b.c Xét: (a+2c)(b+d) = ab+ad+2bc+2cd =ab+3bc+2cd Và (a+c)(b+2d) = ab+2ad+bc+2cd = ab+3bc+2cd Vậy: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b Tìm hai số nguyên biết : Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé), thương (số lớn chia số bé) hai số cộng lại 38 Gọi hai số càn tìm a b ( a,b thuộc Z b khác 0) Giả sử a > b, có: (a+b) + (a-b) + a:b = 38 => 2a + a: b = 38 => 2ab + a = 38b => a = 38 b : (2b + 1) = (38b +19 -19) : (2b +1) = 19- (19/(2b+1)) Để a thuộc Z 2b + phải ước 19 => 2b+1 = => b = (loại) 2b+1 = - => b = -1 => a = -38 (loại) 2b+1 = 19 => b = => a = 18 2b+1 = - 19 => b = -10 => a = 20 Vậy có cặp số thỏa mãn: (18:9) (20; -10) Câu 1 −|x+ |= a) x = -11/30 x = -1/30 −|2 x +1|= b) Khơng có giá trị x thỏa mãn Câu E D A B C M K a, Để chứng tỏ DE = 2AM tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách tia đối MA lấy MK = MA W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai chứng minh DE = AK Xét Δ ABK ∧Δ DAE : AD= AB( gt ); AE=BK (=AC ) Và (2) Vậy: b, Gọi H giao điểm AM&DE ; Ta có ^ B A^ K +D A^ H=900 => { D+D A^ H=900 => A D^ H=900 ¿ Đề số Câu (4,0 điểm) 1) M = 2) Tìm x, biết: 2 |x +|x−1||=x +2 Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: biểu thức Hãy tính giá trị 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình Câu (6,0 điểm) Cho =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vuông góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b) KMC tam giác W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c chứng minh rằng: ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có: 2) +) Nếu x nên (1) => hay (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 Câu 1) +Nếu a+b+c Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: = mà => =1 =2 =2 Vậy B = =8 +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = mà =0 =1 => =1 Vậy B = =1 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 1) Ta có: Dấu “=” xảy KL:…… 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử x y z Theo = + => x + + + = => x = Thay vào đầu ta có => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) ABC cân B BK đường cao BK đường trung tuyến K trung điểm AC b) ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = BH = AC AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = (1) Mặt khác : = 900 AC CM = CK MKC tam giác cân = 300 = 600 (2) Từ (1) (2) c) Vì Vì MKC tam giác ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm ABK vuông K nên theo Pitago ta có: AK = Mà KC = AC => KC = AK = KCM => KC = KM = Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Câu Vì nên: (1) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tương tự: (2) ; (3) Do đó: (4) Mà (5) Từ (4) (5) suy ra: (đpcm) Đề số Câu a Thực phép tính: b So sánh: Câu a Tìm biết: b Tìm biết: c Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x Từ áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n b Cho Chứng minh: Câu Cho tam giác ABC ( ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a AE = AF; b HA phân giác ; c CM // EH; BN // FH ĐÁP ÁN Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai A= A= Câu a) Nếu x >2 ta có: x - + 2x - = 2x + Nếu x=6 ta có: - x + 2x - = 2x + Nếu x< ta có: - x + - 2x = 2x + x = - loại x= Vậy: x = ; x = b) Ta có: xy + 2x - y = x(y+2) - (y+2) = (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) y+2 -1 -3 x-1 -3 -1 X -2 Y -1 -3 -5 c) Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z = x = 12 = ; y = 12 = 1; z = 12 Câu Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: Ta có : W: www.hoc247.net (a 0) F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy đa thức cần tìm là: (c số tùy ý) Áp dụng: + Với x = ta có : + Với x = ta có : ………………………………… + Với x = n ta có : S = 1+2+3+…+n = = 2bz - 3cy = (1) 3cx - az = (2); Từ (1) (2) suy ra: Câu F A N M E B C H a) Vì AB trung trực EH nên ta có: AE = AH (1) Vì AC trung trực HF nên ta có: AH = AF (2) Từ (1) (2) suy ra: AE = AF b) Vì M Vì N AB nên MB phân giác AC nên NC phân giác MB phân giác ngồi góc M tam giác MNH NC phân giác ngồi góc N tam giác MNH Do MB; NC cắt A nên HA phân giác góc H tam giác HMN hay HA phân giác c) Ta có AH BC (gt) mà HM phân giác HB phân giác ngồi góc H tam giác HMN MB phân giác ngồi góc M tam giác HMN (cmt) HMN W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net NB phân giác góc N tam giác Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai BN AC ( Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) góc với AC) BN // HF ( vng Chứng minh tương tự ta có: EH // CM Đề số Câu 1: (2.0 điểm) Thực tính: 11 13 36 − + + 0,5− 41 A = 24 41 24 ( ) ( ) 2 2 − −2 − B= Câu 2: (2.0 điểm) 4+x a Tìm x, y biết: 7+ y = x + y = 22 x +3 y +4 z x y y z = = b Cho Tính M = x + y +5 z Câu 3: (2.0 điểm) Thực tính: 2010 a S = 2009 −2 −2 2008 −2−1 1 1 1+ (1+2 )+ (1+2+3)+ (1+2+3+ )+ + (1+ 2+3+ +16 ) 16 b P = y= x Câu 4: (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số Câu 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 900, B = 500 Đường thẳng AH vng góc với BC H Gọi d đường thẳng vng góc với BC B Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy điểm D cho BD = HA (Hình vẽ bên) a Chứng minh ABH = DHB b Tính số đo góc BDH c Chứng minh đường thẳng DH vng góc với đường thẳng AC ĐÁP ÁN Câu 1: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) 11 13 36 + − − + 0,5 A = 24 24 41 41 = 24 41 − +0,5 24 41 = - + 0,5 ( ) 2 =− ( 7+ −2− ) 7 B=− 2 −2 7 =− ( ) = 0,5 =-2 Câu 2: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) 28+7 x =28+4 y 0,25 đ x y x+ y = = 4+ 0,25 đ x y 22 = = =2 11 x=8 ; y =14 0,25 đ x y x y y z y z x y z = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = 15 20 24 b) 15 20 ; 20 24 (1) (1) ⇒ x y z x +3 y+4 z = = = 30 60 96 30+60+96 ⇒ x y z x +4 y+ z = = = 45 80 120 45+80+ 120 (1) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x +3 y +4 z x+ y +5 z x x 30+60+96 :45+ 80+120 =30 :45 0,25 đ x +3 y +4 z 245 x+3 y+ z 186 =1 ⇒ M = = x + y +5 z x +4 y +5 z 245 186 0,25 đ Câu 3: a) 2S = 2011 −2 2S-S = 2010 2011 −2 2011 S =2 S =2 −2 2011 −2 2010 2010 2011 −2 2009 −2 −2 −2 2010 −2 2009 0,25 đ 2009 +2 2 −2 +2 −2+ 2+1 0,25 đ +1 0,25 đ +1=1 0,25 đ b) 3 4 16 17 1+ + + + + 16 P= 2 0,25 đ 17 = + + + + + 2 2 0,25 đ = ( 1+2+3+ .+ 17−1 ) 0,25 đ = ( ) 17 18 −1 =76 2 0,25 đ Câu 4: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) - Vẽ hệ trục toạ độ y= x - Xác định toạ độ điểm A O thuộc đồ thị hàm số - Biểu diễn điểm A W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai y= x (Đường thẳng OA) - Vẽ đồ thị hàm số Câu 5: a) Xét ABH DHB có: (= 900) HB chung BD = HA ABH = DHB (c-g-c) b) Xét ABH có = 500 = 180 - ( = 900 ) = 400 Từ ABH = DHB có: = 400 c) Từ ABH = DHB có: AB song song với DH AB AC DH AC Đề số Bài 1: 1) Tìm x, biết ; 2) Tính giá trị biểu thức sau: với Bài 2: 1) Tìm chữ số tận A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n x+3 2) Tìm giá trị nguyên x để x−2 nhận giá trị nguyên W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x) 1) Tính f(5) 2) Chứng minh f(x) có nghiệm Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM EF Bài 5: Cho a, b, c, d số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ĐÁP ÁN Bài 1) Ta có 2) Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta A = 14/27 Với x = 1/3 thay vào A ta A = -2/9 Bài 1) Chứng minh A chia hết cho 10 suy chữ số tận A 2) Ta có: Bài 1) Ta có với x = f(5) = 2) x = f(0) = x = nghiệm x = f(5) = x = nghiệm x = -3 f(-1) = x = -1 nghiệm Vậy f(x) có nghiệm Bài A E I F B C M K W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Chứng minh b) Trên tia đối tia MA lấy K cho AK = 2AM Ta có ABM = KCM CK//AB EAF KCA có AE = AB = CK; AF = AC (gt); EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM c) Từ EAF = KCA Bài Khơng tính tổng qt, giả sử a b c d Áp dụng BĐT ta có: , dấu xảy ab ≥ (1) (2) Suy A ≥ c + d – a – b Dấu “=” xảy dấu “=” (1) (2) xảy (x – a)(d – x) ≥ (x – b)(c – x) ≥ a x d b x c Do minA = c + d –a – b b x c W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15