Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.. Từ câu a suy ra tổng quát. Qua điểm M kẻ đ[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS CƯƠNG SƠN ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài 1 (3điểm)
a, Cho A = 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho b, Chứng tỏ rằng:
41 + 42 + 43 + …+ 79 + 80 > 12
Bài 2 (2,5điểm)
Tổng số trang loại ; loại loại 1980 trang Số trang loại
3
số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại
Bài 3: (2điểm)
Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài 4 (2,5 điểm)
a, Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì b, Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) (1,5đ) Để chứng minh A 5, ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Ta có: 31999 = ( 34)499 33 = 81499 27
Suy ra: 31999 có tận
71997 = ( 74)499 = 2041499 1997 Có tận
Vậy A có tận A b) (1,5điểm) Ta thấy:
41
đến
80
có 40 phân số
Vậy : 80 79 78 43 42 41
1 + + + + + +
= ( 60 59 42 41 + + + + ) + ( + + 62 61 …….+ 80 79
+ ) (1)
Vì
42 41 … > 60 61 > 62 >…> 80 (2)
Ta có : ( + +
60 60 ….+ 60 60 + ) + ( 80 + 80 +….+ 80 80 + ) = 12 12 4 80 20 60
20+ = + = + =
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Từ (1) , (2), (3) Suy ra:
80 79
1 78
1 43
1 42
1 41
1 + + + + + +
>
12
Bài 2: Vì số trang vỡ loại
3
số trang loại Nên số trang loại số trang loại
Mà số trang loại loại
Nên số trang loại số trang loại
Do số trang loại : : = 16 ( loại 3) Số trang loại : = 12 (quỷên loại 3)
Vậy 1980 số trang 16 + 12+ = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang loại 1980 : 33 = 60 ( trang)
Số trang loại 80
3
60 =
(trang)
Số trang loại1 là; 120
2 80
= ( trang)
Bài 3:
Từ 1; 2; ………; n có n số hạng Suy +2 +…+ n =
2 ) (n+ n
Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa
Suy
2 ) (n+ n
= aaa = a 111 = a 3.37 Suy ra: n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n + Chia hết cho 37 Vì số
2 ) (n+ n
có chữ số Suy n+1 < 74 n = 37 n + = 37
+) Với n = 37 703
2 38 37
= ( loại)
+) Với n + = 37 666
2 37
36 =
( thoả mãn) Vậy n =36 a = Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666
Bài :
a) (1,5điểm)
Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 15
2
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
b) (1điểm) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n(
2 − n
) (góc)
Đề số
Bài 1: (6 điểm) Thực dãy tính
2
39 33 21
0, 415 :
21 65 600 49
:
15 12
54 75
7 18, 25 13 16
36 102 + − + − + −
Bài 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiêna, b, thoả mãn: a + 2b = 48 (a, b) + 3[ a, b] = 114
Bài Cho tam giác ABC (CA < CB), BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN I
a) Chứng minh:I trung điểm AN
Bài 4:(1,0điểm) So sánh A B biết: A =
1 17 17 19 18 + +
, B =
1 17 17 18 17 + +
Bài 5: (2,0điểm) Tím tất số nguyên n để: a) Phân số
1 n n
+
− có giá trị số nguyên b) Phân số 3012nn++12 phân số tối giản
ĐÁP ÁN
Bài 1:
2861 102 25 56 : 25 18 17 16 12 13 18 49 : 200 11 200 83 : 25 18
7 = +
− + − + − + = 17 15247 102 56 2861 18 56 2861 25 102 25 102 25 2861 56 : 25 = + = + = +
Bài 2: a+2b = 48 (a,b) + [a,b] = 114
114 ; 3[a,b] (a,b) a + 2b = 48 a a
a { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}
a 12 18 24 30 36 42
b 21 15 12
(a,b) 16 12
[a,b] 42 36 90 24 90 36 42
3[a,b] 126 108 270 72 270 108 126
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 3:
Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB H Nối MH Ta có: BHM = IMH vì:
BHM=IMH(so le trong)
BMH=IHM(so le trong)
Cạnh HM chung =>BM = IH = MN
AHI = IMN vì: IH = MN (kết trên)
AHI=IMN ( ABC)=
AIH=INM (đồng vị)
=> AI = IN (đpcm)
Bài
Vì A =
1 17
1 17
19 18
+ +
< A=
1 17
1 17
19 18
+ +
<
16 17
16 17
19 18
+ +
+ +
= 17((17 1 ))
1 17 17
18 17
+ +
=
1 17
1 17
18 17
+ +
= B Vậy A < B
Bài a)
1 n n
+
− số nguyên (n+1) (n-2) Ta có (n+1) = (n− +2) 3
Vậy (n+1) (n-2) 3(n-2)
(n-2) Ư(3) = − −3; 1;1;3 => n −1;1;3;5
b) Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 (dN*) 12n+1d,30n+2d
5(12n+1)−2(30n+2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d =
Vậy phân số cho tối giản
A
B H
M N C
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Đề số
Bài 1 (3điểm)
a Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
+ + +
+ + +
b Chứng minh : Với kN* ta có : k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3.k k( +1) áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( +1)
Bài 2 (3điểm)
a.Chứng minh : (ab cd+ +eg) 11 : abcdeg 11 b.Cho A = 2+22+23+ + 60 Chứng minh : A ; ; 15
Bài 3 (2điểm) Chứng minh : 12 13 14 +2 +2 + + 2n < Bài 4(2 điểm)
a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC
b Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng
ĐÁP ÁN Bài
a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
+ + +
+ + + =
( )
( )
1.5.6 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 1.3.5 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5
+ + +
= =
+ + +
b.Biến đổi : k k( +1)(k+2) (− k−1) (k k+ =1) k k( +1) ( k+2) (− k−1)=3k k( +1)
áp dụng tính :
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 1.2 1.2.3 0.1.2 2.3 2.3.4 1.2.3 3.4 3.4.5 2.3.4
3.n n n n n n n n
= −
= −
= −
+ = + + − − +
Cộng lại ta có : ( 1)( 2) ( 1)( 2)
3 n n n S =n n+ n+ =S + +
Bài
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Mà : (ab cd+ +eg) 11 (theo ra) nên : abcdeg 11
b) Biến đổi :
*A =( 2) ( 4) ( 4) ( 59 60) ( ) 3( ) 59( )
2 2+ + +2 + +2 + + +2 =2 2+ +2 2+ + + 2+
=3 2( +23+ + 259)
*A = ( 3) ( 6) ( 58 59 60)
2 2+ +2 + +2 +2 + + +2 +2 =
= ( 2) ( 2) 58( 2)
2 2+ + +2 2+ + + + 2+ + = ( 58)
7 2+2 + +
*A = ( 4) ( 8) ( 57 58 59 60)
2 2+ +2 +2 + +2 +2 +2 + + +2 +2 +2 =
=2 2( + +22+23) (+2 25 + +22+23)+ + 257(1 2+ +22+23)=15 2( +25+ + 257) 15 Bài 3 Ta có :
( )
2
1 1
1
n n n− = n− −n Áp dụng : 2
1 1 1 1
1 ; ; ;
2 −2 −2 n n−1−n 12 13 14
2 +2 +2 + + 2n <
1
n − Bài
a) Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối tia BA
Hai tia BA, BC hai tia đối B nằm A C
AC = AB + BC = 12 cm
*TH : C thuộc tia BA
C nằm A B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = cm b)
- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm
- Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm
Đề số
Câu 1. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 b) B = 70.(
565656 131313
+
727272 131313
+
909090 131313
)
c) C =
b a
+
c b
+
d c
+
a d
biết
b a
=
c b
=
d c
=
a d
(7)
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) + x = + x
b) x : (
2 -
2 ) = 11 , 11 , − + − + Câu 3:
a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501
Câu 4: Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm
a) Tính độ dài BM
b) Cho biết BAM= 800, BAC=600 Tính CAM
c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK
ĐÁP ÁN Câu
a) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1
b) B = 70.(
56 13 + 72 13 + 90 13
) = 70.13.(
8 + + 10 ) = 70.13.( - 10
) = 39
c) Đặt b a = c b = d c = a d = k Ta có b a c b d c a d
= k4 => k4 = 1 k = 1
C =
b a + c b + d c + a d
=
Câu a) + x = +
x (x + 1)
2= 16 = (4)2
+) x + = => x =
+) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x =
b) x : (
2 -
2 ) = 11 , 11 , − + − +
x :(
2 19 − ) = + − − + 11 , 11 , = x
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu
a) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 2n + (n N) Gọi d ước số chung chúng Ta có: 2n + d 3n + d
nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay d
nhưng d d ước chung số lẻ
Vậy d = tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Ta có: = + 3; = + 5; 13 = + 7; 16 =7 +
Do x = a + (a+1) (a N)
Nên + + + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501
Hay (a+1)(a+1+1): = 501501
(a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002 Suy ra: a = 1000
Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001
Câu
a) (2 điểm): Hai điểm M B thuộc hai tia đối CM CB nên điểm C nằm hai điểm B M Do đó: BM= BC + CM = + = (cm) b) (2 điểm): Do C nằm hai điểm B M nên tia AC nằm hai tia AB AM Do CAM =BAM−BAC = 800 - 600 = 200
c) (2 điểm):
+ Nếu K thuộc tia CM C nằm B K (ứng với điểm K1 hình vẽ)
Khi BK = BC + CK = + = (cm) + Nếu K thuộc tia CB K nằm B C (ứng với điểm K2 hình vẽ
Khi BK = BC - CK = - = (cm)
Đề số Câu
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
b) Chứng tỏ (2n + 1).( 2n + 2) chia hết cho với n số tự nhiên
Câu
a) Tìm số nguyên x, y biết : (x - 2)2.(y - 3) = -
b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2)
Câu
a) Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số so sánh
2010 2011
2011 2010
10 19 10
9 ;
10 19 10
9 + − = − + −
−
= B
A
Câu 4. Cho A =
4 +
− n
n
a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên
Câu 5: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc
b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD
c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc?
Đáp án Câu
a)A = – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599 5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100 Tính rút gọn 6A = + 5100
100 5 5
6
A= +
b)Ta có: 2n (2n +1).( 2n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Mà 2n không chia hết cho
nên (2n + 1).( 2n+ 2) n N
Câu Câu a
Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có trường hợp sau: TH1: ( x - 2)2 = 12 y - = -4
x - = ; y = -1 x - = -1; y = -1 x = 3; y = -1 x = 1; y = -1
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10
TH2: ( x - 2)2 = 22 y - = -1
x - = ; y = x - = -2; y = x = 4; y = x = 0; y =
KL: Vậy ta có cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là: (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)
Câu b
Ta có: 4n – + 3n – Mà 3n + + 3n +
→ 3(4n – 3) – 4(3n – 2) + 3n – → ( 12n - - 12n + ) + 3n – → - + 3n – → 3n – Ư(-1)
+) 3n – = suy n = +) 3n – = -1 suy n = 1/3
Kết hợp điều kiện n nguyên ta n =
Câu a) (1,5 đ)
Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho
34x5y chia hết cho + + x + + y9 => 12 + x + y9 (1)
34x5y chia hết cho 5y4 => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x9 => x =
Với y = thay vào (1) => 18 + x9 => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6)
b) (1,5 đ)
Ta có 20109 192011 20109 102011 20119
10 10 10 10 10
A= − + − = − + − + −
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 10
10 10 10 10 10
B= − + − = − + − + −
Ta thấy 102011 102010
10 10
− −
=> Vậy A > B
Câu a) (1,0 đ)
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11
A =
4 +
− n n
phân số n + 0 => n -
b) (2,0 đ)
A =
4 +
− n n
=
4
5
+ − = +
− +
n n
n
Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5 n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3,
Câu
a)Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 Mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500
b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC =
2
BOC = 750 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 Do AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050
c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, góc tính hai lần Vậy có tất
2 2009 . 2010
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -