một đường thẳng.. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.. Trên nửa mặt phẳng chứa đ[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS TÂN LẬP ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài 1:( điểm)
a) Thực phép tính:
( ) ( )
12 10
6 9 3
2
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14 2 3 8 3
− −
= −
+ +
b) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: ( 3, 2)
3 5
x− + = − +
Bài 3: (2 điểm) Cho a c
c =b Chứng minh rằng:
2
2
a c a
b c b
+ = +
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y
Bài 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân A ABM ACN
a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN ⊥ CM;
c) Kẻ AH ⊥BC (H BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN
Câu (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 + +a b c a + b + c = Tìm giá trị nhỏ c
ĐÁP ÁN Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)
( ) ( )
( )
( ) (( ))
( )
10
12 10 12 12 10
6 12 12 9 3
2
12 10
12 3
10
12
12
2 25 49 3 7 3 7 125.7 14
2
2
5
2 10
6
A= − − − = − − −
+ +
+ +
− −
= −
+ +
−
= −
−
= − =
b) (1.5 điểm) 2
3n+ −2n+ + −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n =3 (3n 2+ −1) (2n 2+1) =3 10 5n − = −n 10 2n n−110 = 10( 3n -2n)
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
( )
1 4 16
3,
3 5 5
1 14 5
x x
x
−
− + = − + − + = +
− + =
1 2
1 2
3
2
3
1
2
3
2
x x
x x x
− = − =− = + =
− =− + =
− =
Bài 3: (2 điểm) Từ a c
c =b suy
2
c =a b
2 2
2 2
a c a a b
b c b a b
+ = +
+ + =
( )
( )
a a b a
b a b b
+ =
+ Bài
x + y = x.y ( 1) y
1 y
xy x y x y x
y
− = − = =
− x z y y− − +1 y 1 y− 1 y−1 , y - = 1 =y y =
Nếu y = x = Nếu y = x =
Vậy cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) (2;2) Bài
a) Xét AMC ABN, có: AM = AB (AMB vng cân) AC = AN (ACN vuông cân)
MAC = NAC ( = 900 + BAC) Suy AMC = ABN (c - g - c)
D
K I
H E F
B C
A M
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC
Xét KIC AIN, có:
ANI = KCI (AMC = ABN)
AIN = KIC (đối đỉnh)
IKC = NAI = 900, đó: MC ⊥ BN
c) Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥AH F Gọi D giao điểm MN AH - Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900)
Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH Xét MAE ABH , vuông E H, có:
AME = BAH (chứng minh trên) MA = AB
Suy MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH
Xét MED NFD, vng E F, có: ME = NF (= AH)
EMD = FND(phụ với MDE FDN, mà MDE =FDN) => MED = NFD BD = ND
Vậy AH qua trung điểm MN Câu
Vì: 0 + +a b c nên + + + + + + + + +a b c c c c 3c
+ (vì a + b + c = 1) Hay 3c −2
3 c
− Vậy giá trị nhỏ c là: -2
3 a + b =
Đề số
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a) 1.16
8
n = n
; b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực phép tính: ( 1 )1 49
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết: 2x+3 =x+2
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện
một đường thẳng Câu 5: (5 điểm)
Cho ∆ABC có 120
A= Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM =CIN =300
a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC
ĐÁP ÁN
Bài 1.Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)
a) 1.16
n = n
; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n =
b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n =
Bài 2. Thực phép tính: (4 điểm)
1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
= 1( 1 1 1 ).2 (1 49)
5 9 14 14 19 44 49 12
− + + + + +
− + − + − + + −
= 1( ).2 (12.50 25) 5.9.7.89
5 49 89 5.4.7.7.89 28
− +
− = − = −
Bài (4 điểm câu điểm)
a) Tìm x biết: 2x+3 =x+2 Ta có: x + => x - + Nếu x -
2
2x+3 =x+2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < -
2
Thì 2x+3 =x+2 => - 2x - = x + => x = -
3
(Thoả mãn)
+ Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ A = x−2006 + 2007−x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x =
+ Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007
Bài 4.Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường
thẳng, ta có:
x – y =
3
(ứng với từ số 12 đến số đông hồ)
x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33 11 : 11
y x y 12
x 12 y
x = = = = − = =
=> x =
11 x ) vòng ( 33 12
=
= (giờ)
Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng
11
Câu
a) Tính số đo MIN
Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600
1
30 2B+2C=
150 BIC=
Mà BIM =CIN =300
90 MIN =
b) Chứng minh CE + BF < BC - BIC=1500 FIB=EIC=300
Suy ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g) BF = BM - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g) CN = CE
Do CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC
Đề số
Câu Cho đa thức: P(x) = x2 + 2mx + m2 Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 2: Tìm cặp số (x; y) biết: =
= =
x y
a / ; xy=84
3
1+3y 1+5y 1+7y b/
12 5x 4x
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 3: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x+1 +5 ; B =
3 15
2
+ +
x x
Câu 4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC a, Chứng minh: DC = BE DC ⊥BE
b, Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM C/minh: AB = ME
ABC= EMA Chứng minh: MA ⊥BC
ĐÁP ÁN Câu
P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 2: Tìm cặp số (x; y) biết: a / x= y ; xy=84
3
=>
2
84
9 49 3.7 21
x y xy
= = = =
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = + − − = = + − − =
− − − −
1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=> 2
5 12
y y
x = x
− − => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được:
1
12
y y
y
+
= = −
− =>1+ 3y = -12y => = -15y => y =
15
−
Vậy x = 2, y =
15
−
thoả mãn đề
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x+1 +5 Ta có : x+1 Dấu = xảy x= -1 A
Dấu = xảy x= -1 Vậy: Min A = x= -1 B =
3 15
2
+ +
x x
= ( )
3 12
2
+ + +
x x
= +
3 12
2 +
x
Ta có: x2 Dấu = xảy x = x2 + ( vế dương )
3 12
2+
x
12
3 12
2 +
x 1+ 12
2 +
x 1+ B
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 4:
a/ Xét ADC BAF ta có:
DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE
Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC ⊥ BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP ⊥ MH Xét AHC EPA có:
CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( ABC = EMA câu b)
H
1
1
P
K T
I
E N
M
D
C B
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | => AHC = EPA
=> EPA = AHC => AHC = 900
=> MA ⊥ BC (đpcm) Đề số
Câu Tìm x biết:
a) 3x−1 +5.3x−1 =162 b) 3x +x2 = c) (x-1)(x-3) <
Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:
5
z y x
=
= 2x2 +2y2 −3z2 =−100 b) Cho
a d d c c b b a
2 2
2 = = = (a, b, c, d > 0)
Tính A =
c b
a d
b a
d c
d a
c b
d c
b a
+ − +
+ − +
+ − +
+
−2010 2011 2010 2011 2010 2011 2010
2011
Câu a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q =
x x
− −
12 27
(với x nguyên)
Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:
a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM ⊥ EF
Câu 5: Cho a, b, c, d số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= − + − + − + −x a x b x c x d
ĐÁP ÁN Câu
a) (1,5đ)
1
3x− (1+5) = 162 3x−1 = 27 => x-1= => x =
b) (1,5đ)
3x +x2 = x(3 + x) = x=0 x= -3
c) (1,5đ)
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | (x-1)(x-3) <
0 − − x x x Câu a) (1,5đ) Từ z y x =
= ta có:
25 100 25 2 75 32 18 25 16 2 2 2 2 = − − = − − + = = = = =
= y z x y z x y z
x − = − = − = = = = = = = 10 10 100 64 36 2 z y x x y x z y x
( Vì x, y, z dấu)
b) (1,5 đ)
Ta có
2 2 2 2 2
a b c d a b c d
b c d a b c d a
+ + +
= = = = =
+ + + (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d
Thay vào tính P =
Câu
a) (1,5đ)
Ta có x + y + xy =2 x + + y(x + 1) =
(x+1)(y+1)=3
Do x, y nguyên nên x + y + phải ước Lập bảng ta có:
x+1 -1 -3
y+1 -3 -1
x -2 -4
y -4 -2
Vậy cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2)
b) (1,5 đ)
Q = x x − − 12 27 = 2+ x − 12
A lớn
x
−
12
lớn
* Xét x > 12
x
−
12
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 * Xét x < 12
x
−
12
> Vì phân số có tử mẫu số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ
Vậy để
x
−
12
lớn
12-x x Z 12-x
x = 11
A có giá trị lớn x =11 Câu
a) Chứng minh ABF = AEC cgc( )FB=EC
b) Trên tia đối tia MA lấy K cho AK = 2AM Ta có ABM = KCM CK//AB
180
ACK CAB EAF CAB ACK EAF
+ = + = =
EAF KCA có AE = AB = CK; AF = AC (gt); ACK=EAF
EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM c) Từ EAF = KCA
0 90 CAK AFE AFE FAK CAK FAK
AK EF
= + = + =
⊥
Câu
Không tính tổng quát, giả sử a b c d Áp dụng BĐT a + +b a b , dấu xảy ab ≥ ta có:
x a− + − − + − − + − = −x d x a d x x a d x d a (1) x b− + − − + − − + − = −x c x b c x x b c x c b (2)
Suy A ≥ c + d – a – b Dấu “=” xảy dấu “=” (1) (2) xảy (x – a)(d – x) ≥ (x – b)(c – x) ≥ a x d b x c Do minA = c + d –a – b b x c
Đề số A
M F
E
B C
K I
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Bài 1: a) So sánh hợp lý:
200 16 1000 ;
b) Tính A =
3 10
6 12 11
16 120.6
+ +
c) Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chứng minh rằng: x = y = z Bài 2: Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) x+3−8 =20
d)
2009 2008 2007 2006 x− + x− = x− + x−
Bài 3: Tìm số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 =
b) z y
x = =
x2 + y2 + z2 = 116
Bài : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x y ; x1, x hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương ứng y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 x1=2 , x 2=
b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z
Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f − Chứng minh a, b, c chia hết cho
c) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n+2 −2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi
c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC d) IM phân giác góc HIC
ĐÁP ÁN Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1:
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
4 10 2
12 10
12 10 10 12
6 12 12 11 11 11 11
2 12 11
12 10 11 11
11 11 11 11
2 3.2.5.2 2.3 2 3 3 5 2 3 1 5 )
2 3 2.3 2.3
6.2 4.2 7.2 7.2 b P
+ + +
= = =
+ +
+
= = =
c) Vì x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy x z y; x z; y x y z
y = x z = y x = = =z y z x.áp dụng
tính chất dãy tỉ số x y z x y z x y z
y z x y z x
+ +
= = = = = =
+ + Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 .Tìm x =1,5 ; x = -0,5 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15
c) x+3−8 =20 20
x+ − = x+3 −8=20; x+3 −8=−20
20
x+ − = x+3 =28 x = 25; x = - 31
20
x+ − =− x+3 =−12: vô nghiệm
d)
2009 2008 2007 2006
x− + x− = x− + x−
1 1
2009 2008 2007 2006
x− − + x− − = x− − + x− −
2010 2010 2010 2010
2009 2008 2007 2006
x− x− x− x−
+ = +
2010 2010 2010 2010
0
2009 2008 2007 2006
x− x− x− x−
+ − − =
( ) 1 1
2010
2009 2008 2007 2006
x
− + − − =
−x 2010= =0 x 2010 Bài 3:
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 3x - 5= 0; y2 - = ; x - z = x = z =
3
;y = -1;y =
b)
4 z y
x = =
x2 + y2 + z2 = 116
Từ giả thiết
29
116 16
9
2 z y x 16
2 z
2 y
2
x = =
+ +
+ + = = =
(13)
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2
2 1
2
1
2 52
4
3 3 9 13
) 36
x y y y y y y y y y y
x y y
y y
+
= = = = = = = =
+
+ = =
Với y1= - y2 = - ; Với y1 = y2=
b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
( )
( )
) (0) 3
) (1) 3
) ( 1) 3
f c
f a b c a b
f a b c a b
+
+ + + +
+ − − + −
Từ (1) (2) Suy (a + b) +(a - b) 32a 3a ( 2; 3) = b
Vậy a , b , c chia hết cho
c) 3n+2−2n+2+ −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n
=3 (3n 2+ −1) (2n +1) =3 10 5n − = −n 10 2n n−110 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n+2 −2n+2+ −3n 2n 10 với n số nguyên dương
Bài 5:
a) AIC = BHA BH = AI b) BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 c) AM, CI đường cao cắt N N trực tâm DN⊥ AC d) BHM = AIM HM = MI BMH = IMA mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450
mà : HIC = 900HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC H
I
M B
A C
D
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -