Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Bài 1 (4 0 điểm) Tính giá trị biểu thức a/ b/ Bài 2 (4 0 điểm) a/ Tìm x,[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ b/ Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b/ Chứng minh : Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ( a > b > ), cho số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao Bài (3.0 điểm) : Cho a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương ĐÁP ÁN Bài a/ b/ W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => (1) Để x nguyên 3y – Ư(-55) = +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : Ta có (ĐPCM) Bài W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : (2) A nguyên n – Ư(4) = => n b/ Tìm n để A phân số tối giản Ta có : (Theo câu a) Xét n = ta có phân số A = phân số tối giản Xét n ; Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => (n + 1) d (n – 3) d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn => A phân số tối giản Kết luận : Với n = A phân số tối giản Bài Tìm số nguyên tố ( a > b > ), cho số phương Ta có : Vì => a,b Để => a- b số phương a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có số Vì số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số Vì : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện toán 43 73 Bài W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai D C y (a+20)o (a+10)o x 22o ao 48o A B O E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB hai tia OA v OD Nên tia OC nằm => => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB Ta có : Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy => c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên Vì nên tia Ox nằm hai tia OA OD => Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Bài Cho a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (1) Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Đề số Bài 1: Thực phép tính: 1) ; 2) ; 3) với Bài 2: Tìm x, biết: 1) ; 2) 3) Bài 3: 1) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 2) Chứng tỏ a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài 4: 1) Cho đường thẳng phân biệt cắt O Hỏi có tất góc đỉnh O tạo thành từ đường thẳng khơng kể góc bẹt 2) Cho góc xOy tia Oz nằm hai tia Ox Oy Gọi Ot Ot’ hai tia phân giác góc xOz zOy Chứng tỏ rằng: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 5: Chứng tỏ với số tự nhiên n chia hết cho 15 ĐÁP ÁN Bài 1) -7/4; 2) 1/3; 3) Bài 1) x = 2; 2) x = -1/2; x = 9/2; 3) -2 x Bài 1) Gọi số Ta có Mặt khác nên suy b – c = -7; 0; Với b – c = -7 c = b + nên ta có số thỏa mãn: 707; 518; 329 Với b – c = ta có số 770; 581; 392 Với b – c = b = c mà nên Do a + 2b 27 nên a + 2b nhận giá trị 7; 14; 21 Từ ta có số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966 Vậy có tất 18 số kể 2) Vì a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn nên số lẻ khơng chia hết cho 3, ta có: a + k – a = k chia hết cho Mặt khác chia số cho tồn số có số dư: - Nếu a a + k có số dư a + k – a = k chia hết cho - Nếu a a + 2k có số dư a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = nên k chia hết cho - Nếu a + k a + 2k có số dư a + 2k – a + k = k chia hết cho Vậy trường hợp ta ln có k chia hết cho mà (2, 3) = nên k chia hết cho 2.3 = Bài x t z t’ y O 1) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia gốc O Mỗi tia tạo với tia lại thành góc đỉnh O Do ta có 10.9 = 90 góc tạo thành góc tính lần có góc bẹt nên có 90 : – = 40 góc đỉnh O khơng kể góc bẹt W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2) Vì Ot, Ot’ phân giác góc xOz, zOy nên ta có: Bài Chứng minh phương pháp quy nạp Với n = ta có A = chia hết cho 15 Giả sử toán với n = k tức 1, tức chia hết cho 15 ta chứng minh với n = k + chia hết cho 15 Thật vậy, ta có Đề số Bài ( 4,0 điểm): a, Tính M = b, So sánh A B biết A = B = Bài ( 4,0 điểm): a, Tìm x biết b, Tìm số tự nhiên x, y cho Bài ( 4,0 điểm): a, Tìm chữ số tận số b, Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng Bài 4( 2,0 điểm): Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh A = a n + bn + cn + dn hợp số với số tự nhiên n Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a, Chứng tỏ OA < OB b, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O c, Lấy điểm P nằm đường thẳng AB Cho H điểm nằm tam giác ONP Chứng tỏ tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N P ĐÁP ÁN Bài ( ( a) N = ) ) 7 + − 2012 2012 − − 2012 2012 2+7 2012 2−1006 N = 2012 2−3 2−2012 2021−503 N = 2012−3 9−1006 N= b) ( )( )( ) ) 1 + 1− + 1+ 2011 2012 2010 1 1 A=3+ − + − 2010 2011 2010 2012 A>3 1 1 1 B= + + + + + + .+ 10 17 1 B< 2+ 5+ 8 B B Bài a, Câu a:( 2,0 điểm) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu b: 2,0 điểm Vai trò x, y bình đẳng Giả sử x ¿ y, ta có 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) Suy 7x – 25 25 – 7y dấu x, y số tự nhiên a, Nếu 7x – 25 < 25 – 7y < Suy x < 4, y > ( trái với điều giả sử) b, Nếu 7x – 25 > 25 – 7y > Vậy x ¿ , y< Thử số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta x = Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò x, y nên (x,y) = (3,4) Bài a, Câu a: 2,0 điểm Tìm chữ số tận 14 Tìm chữ số tận 1414 99 là Tìm chữ số tận Chữ số tận P chữ số tận tổng (6+9+2): b, Câu b: 2,0 điểm W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Gọi số nguyên dương cần tìm a, b, c Ta có a + b + c = abc/2 Giả sử a≤b≤c a + b + c ¿ c abc ≤3 c Do hay ab ¿ Có trường hợp sau 1, ab = suy c = 3,5 ( loại ) 2, ab = Suy a = 1, b = , c = ( Loại) 3, ab = Suy a = 1, b = , c = 5( thỏa mãn) a =2, b = 2, c = (Thỏa mãn) 4, ab = Suy a = 1, b = 3, c = ( thỏa mãn) 5, ab = ( Không thỏa mãn) 6, ab = ( Không thỏa mãn Vậy ba số cần tìm 1, 4, 1, 3, Bài Giả sử t = (a,c) Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = ab = cd suy a1bt = c1dt , Suy a1b = c1d Mà (a1,c1) = suy b chia hết c1 , đặt b c1k Do d = a1k Ta có A = a1n tn + c1n.kn + c1n.tn + a1n.kn A = ( a1n + c1n)(kn + tn) Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A hợp số Bài P E H O M A N B a) Hai tia AO AB hai tia đối Suy điểm A nằm điểm O điểm B Vậy OA < OB b, Câu b : 2,0 điểm Vì M, N trung điểm OA OB Suy OM = (1/2) OA, ON = (1/2) OB Theo câu a OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm O N W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Suy OM + MN = ON Suy MN = ON – OM MN = (1/2) OB – (1/2) OA = (1/2) (OB – OA)= (1/2) AB AB có độ dài khơng đổi nên MN khơng đổi c, Câu c: 2,0 điểm Điểm H nằm tam giác ONP suy H nằm góc O Suy tia OH nằm hai tia ON OP P, N điểm không trùng O thuộc tia ON, OP Suy tia OH cắt đoạn NP điểm E năm N P Đề số Câu 1: Tìm x biết: a, x 2012 = 184 18 b, (x - 5)4 = (x - 5)6 Câu 2: Cho A= 18 + 19 + 20 + + 42012 a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A + = 4x Câu 3: Cho hai dãy số, dãy có 2012 số 1; 4; 7; 9; 16; 23; thoả mãn: Số liền sau số liền trước tương ứng với dãy Hỏi có số thuộc hai dãy trên? Câu 4: Cho góc xOy có số đo 1200 Điểm A nằm góc xOy cho gócAOy 75 Điểm B năm ngồi góc xOy mà: góc BOx 1350 Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng? Vì sao? Câu 5: Người ta thả số bèo vào ao sau ngày bèo phủ kín mặt ao Biết sau ngày diện tích bèo tăng lên gấp đôi Hỏi: a) Sau ngày bèo phủ kín nửa ao? b) Sau ngày thứ bèo phủ phần ao? ĐÁP ÁN Câu a, 2x 2012 = 184 18 x = 414/503 b, (x - 5)4 = (x - 5)6 x=5 Câu a, Thu gọn A A = 18 + 19 + 20 + + 42012 = (1+2+ +42012) – (1+2+3+ +17) = ((42012(42012+1))/2) – (17(17+1)/2) = 882524925 b, Tìm x để 2A + = 3x x= 588349951 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu Ta liệt kê số số dãy cho: 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 16 23 30 37 44 51 58 65 72 79 86 93 Ta thấy: số 16 số thuộc dãy số Trong dãy số thứ số liền sau số liền trước tương ứng Trong dãy số thứ hai số liền sau số liền trước tương ứng Nên từ số trùng (số 16) sau số liền sau dãy thứ xuất số trùng với số liền sau thứ số trùng dãy thứ hai Khi số số thuộc dãy phần nguyên kết phép tính: (2012 - 5)/7 Thực ta kết 286 số thuộc hai dãy Câu y A 750 O x 1350 B TH1:Ta có: điểm A nằm góc xOy nên: Ta có: điểm B nằm ngồi góc xOy nên: tia Ox nằn tia OA OB => = 1800 Và góc xOA kề với góc BOA Từ suy điểm A, O, B thẳng hàng TH2: khơng thẳng hàng OB phí với Oy Câu Gọi số bèo phủ ao ngày x Khi đó: lượng bèo phủ mặt ao qua ngày Ngày thứ Số phần bèo phủ 2x 4x 8x 16x 32x a, Ta thấy sau ngày bào phủ kín ao 32x Như để phủ kin nửa ao cần ngày b, Theo bảng kiệt kế thấy số bèo phủ mặt ao ngày thứ x, phủ kín ao 32x Vậy sau ngày thứ bào phủ kín 1/32 mặt ao W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề số Bài 1: (8 điểm ) Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Cho phân số (0 < a < b) thêm m đơn vị (m > 0) vào tử mẫu phân số lớn hay bé ? Cho số có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396 chứng minh rằng: a) ; b) Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = (a+b) ĐÁP ÁN Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: ( điểm ) Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận ( 0,25 điểm ) ỵVậy số 571999 có chữ số tận : b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy chữ số tận (0,25 điểm ) Cho A = 9999931999 - 5555571997 chứng minh A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho ( 0,25 điểm ) (1 điểm )Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp nên tổng chúng 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đôi nguyên tố nên ta cần chứng minh A= chia hết cho ; 11 Thật : +A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A tổng chữ số chia hết cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A 396 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm ) 2A= (0,5 điểm ) 2A+A =3A = 1- (0,75 điểm ) 3A < A < b) Đặt (0,5 điểm ) A= 3A= 1(0,5 điểm ) 4A = 1- 4A< 1- Đặt B= 14B = B+3B= 3- (1) (0,5 điểm ) 3B= 2+