Đang tải... (xem toàn văn)
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS PHONG VÂN ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Bài 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) a4 + 8a3 + 14a2 8[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS PHONG VÂN ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Bài (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bài (3 điểm) a) Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1) b) Chứng minh (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 với a số tự nhiên Bài (3 điểm) Cho 1 + + =0 a b c Tính giá trị biểu thức M = b+c c+ a a+ b + + a b c Bài (4 điểm) Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên 2 x −6 x + x−8 x−3 A= Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm nằm B C Từ M kẻ MD song song AB (D∈ AC), kẻ ME song song AC (E∈ AB) a) Xác định vị trí M nằm BC để DE ngắn b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); góc ABC = 600 Bài (3 điểm) Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0; (với x ≠ 0; x ≠ ; m∈ N*) ĐÁP ÁN Bài (3 điểm): a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15 = (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a +15) = a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a +15) = (a2 + 8a +15)( a2 - 1) = (a+3)(a+5)(a+1)(a-1) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab + a2 + b2 - c2) (2ab - a2 - b2 + c2) = [(a+b)2 - c2][c2 - (a-b)2] = (a + b - c)(a + b+c)(c-a+b)(c+a-b) Bài (3 điểm): W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Ta có 3x(x+1) = x(x+1)(x+2) – (x-1)x(x+1) Do đó: 3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2) A= b) (a2+3a+1)2-1 = (a2 +3a+1+1)(a2+3a+1-1) = (a2+3a+2)(a2+3a) = a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 24 (tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24) Bài (3 điểm): M= b+c c+ a a+ b + + a b c M= ( M= a+b+ c a+b +c a+ b+c + + −3 a b c M= )( )( ) b+ c c+ a a+b +1 + +1 + +1 −3 a b c ( a+ b+c ) ( ) 1 + + −3 a b c M = –3 Bài (4 điểm) A= 2 x −6 x + x−8 x−3 ⇒ x −3 = x2 +1− x−3 ( x≠3 ) ước ⇒ (5) = { -5; -1; 1; 5} Nếu x−3=−5 ⇒ x=−2 Nếu x−3=−1⇒ x=2 Nếu x−3=1⇒ x=4 Nếu x−3=5⇒ x=8 Vậy x=−2 ; x=2 ; x=4 ; x=8 Bài (4 điểm) a) Tứ giác ADME có: AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) A = 900 (gt) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ⇒ tứ giác ADME hình chữ nhật ⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) Mà AM ngắn AM¿ BC tức AM đường cao ∆ABC Vậy M chân đường cao kẻ từ A đến BC ∆ ABC b) Xét ∆ ABM vng M có ABM = 600 ⇒ ∆ ABM tam giác có cạnh AB AB = = 2(cm) ⇒ BM = ⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (pi-ta-go) ⇒ AM = √ 12 cm Vậy AM ngắn nhất bằng √ 12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng √ 12 cm Câu (3 điểm): Ta có: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = ( với x ≠ ; x ≠ ) (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – = (3x – 1)4 = 54 ⇔ 3x – = 3x – = –5 −4 x= x=2 Vậy x=2; −4 x= Đề số Câu (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 4(6 - x) + x2 (2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2y + xy2 - x - y b) x2 + 5x - 50 Câu (3 điểm) Cho phân thức A = \f(x-1,x2-3x+2 a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai c) Tìm x đề giá trị A Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BA Trên tia đối tia CB lấy điểm G cho CG = CA Kẽ BH vng góc với AD, CK vng góc với AG Chứng minh rằng: a) AH = HD b) HK //BC Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC M điểm thuộc cạnh BC I D trung điểm AM BC; E, F chân đường vng góc kẽ từ M đến AB AC a Tính số đo góc b Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi Câu (2 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Câu 4(6 - x) + x2(2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) = 24 - 4x + 2x2 + 3x3 – 5x2 + 4x + 3x2 – 3x3 = 24 Câu a x2y + xy2 - x - y = (x2y + xy2) – (x + y) = xy(x + y ) – ( x + y ) = (xy – 1)( x + y) b x2 + 5x - 50 = x2 + 10x – 5x – 50 = (x2 + 10x) - (5x +50) = x(x + 10) – 5(x + 10) = (x – 5)(x + 10) Câu A = \f(x-1,x2-3x+2 a Để A xác định x2 – 3x + b A = \f(x-1,x2-3x+2= c để A = Câu A K H W: www.hoc247.net D B F: www.facebook.com/hoc247.net C G Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a cân B, BH đường cao nên AH = HD b tương tự câu a ta có AK = KG HK đường trung bình nên HK //DG Vậy HK // BC Câu A I E B C D M a Tam giác AEM vuông E , EI đường trung tuyến nên ta có IE = IA = IM (1) Ta lại có tam giác ADM vng D, DI đường trung tuyến Nên ID = IA = IM , (2) Từ (1) (2) ta có: Vậy góc DIE 600, tương tự góc DIF 600 b cân I, mà tương tự nên đều từ DEIF hình thoi Câu Gọi cạnh tam giác vng x, y, z; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x + y + z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z = (x + y) - 2xy , thay (1) vào ta có : 2 z2 = (x + y)2 - 4(x + y + z) z2 + 4z = (x + y)2 - 4(x + y) z2 + 4z + = (x + y)2 - 4(x + y) + (z + 2)2=(x + y - 2)2 , suy z + = x + y - z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy = 2(x + y + x + y - 4) xy - 4x - 4y = -8 (x - 4)(y - 4) = = 1.8 = 2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net 0,25 Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề số Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình: a) b) Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ x + y = Chứng minh rằng: =0 Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với x Q giá trị đa thức : M= bình phương số hữu tỉ Câu (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: ĐÁP ÁN Câu a) Rút gọn: A = = = b) Với x ≠ - A = = Vì Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) * Với x (*) x - ta có phương trình x2 -3x + + x-1 = ( Thoả mãn điều kiện *) * Với x< (**) x - ta có phương trình x2 -3x + + - x = +x-1=0 +x-3=0 ( Không thỏa mãn điều kiện **) ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phương trình : x = b) * Điều kiện x ≠ (1) * pt x = -8 So sánh với điều kiện (1) , suy nghiệm phương trình x = - Câu Ta có xy x, y x, y y-1 x-1 Câu Ta có: M = Đặt a = x2 - 10x + 16 suy M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm) Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung (Hai tam giác vng CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: Nên (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) tam giác ABE vng cân A Suy ra: b) Ta có: (do ) mà (tam giác AHD vuông vân H) nên (do Do ) (c.g.c), suy ra: c) Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM phân giác góc BAC Suy ra: , mà Do đó: Đề số Bài (3 điểm) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài (3 điểm) Tìm x biết: x2 10 x : x x2 x x 3x x Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện x để A xác định W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A > O Bài (4 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên: x x x 83 x A= Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx góc góc phân giác Hy Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy Chứng minh tứ giác ADHE hình vng Bài (3 điểm) Cho góc vng điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox; ID vng góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox A cắt Oy B a) Chứng minh tích AC.DB khơng đổi đường thẳng qua I thay đổi 8a b) Biết diện tích tam giác AOB SAOB = Tính CA DB theo a ĐÁP ÁN Câu (3 điểm): a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1) = 211.17 Nên kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) Áp dụng đẳng thức: an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẽ Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Câu (3 điểm): ĐKXĐ: Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: (thoả ĐK) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Suy x = Vậy x = x = x = (thoả ĐK) giá trị cần tìm Câu (4 điểm): a) x # , x # -2 , x # (0,75đ) x : b) A = x x x x (2đ) x 2x x : x 2x 2 x = = 6 x2 x 2x 2 x 0 2 x 0 x 2 c) Để A > x (1,25đ) Câu (4 điểm) Biến đổi A = 4x2 + 9x + 29 + x (1đ) A Z x Z x-3 ước x-3 = 1 ; 2 ; 4 (1đ) x = -1; 1; 2; ; ; (1đ) (1đ) Câu (3 điểm) Hx phân giác góc Hy vng góc Hay ; Hy phân giác góc (1đ) = 900 mặt khác Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật (1) W: www.hoc247.net mà hai góc kề bù nên Hx = 900 (1đ) F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Do Hay HA phân giác (2) Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vng (1đ) Câu (3 điểm): a) (1,5đ) Ta có góc A chung IAC ~ BAO (cặp góc đồng vị) (g.g) AC IC Suy ra: AO BO Tương tự: = AC AO IC BO (1) BID ~ BAO (g.g) OA OB Suy ra: ID BD OA ID OB BD (2) AC ID Từ (1) và(2) Suy ra: IC BD Hay AC BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi b) (1,5đ) Theo cơng thức tính diện tích tam giác vng ta có: SAOB = OA.OB mà SAOB 8a = (giả thiết) 8a 16a hay OA.OB = OA OB = 16a Suy ra: (a + CA)(a + DB ) = Mà CA DB = a2 ( theo câu a) CA + DB = 16a a2 + a(CA + DB) + CA.DB = 16a a(CA +DB) = - 2a2 = Vậy: Giải hệ pt a CA = DB = 3a W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a Hoặc CA = 3a DB = Đề số Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) c) Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: b) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: a) b) c) 2) Hai người làm chung cơng việc ngày xong Nhưng làm ngày , người làm công việc khác , người thứ hai làm tiếp ngày xong Hỏi người làm xong cơng việc ? Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Đường thẳng d qua G cắt AB,AC M, N Chứng minh rằng: Câu (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F hình chiếu B, D lên AC; H, K hình chiếu C AB AD a) Tứ giác DFBE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh: CHK c) Chứng minh: AC2 = AB AH + AD.AK BCA Câu (2,0 điểm) 1) Chứng minh n5 – 5n3 + 4n 120 với n N 2) Cho biểu thức A = Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: ĐÁP ÁN Câu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) b) c) Đặt Câu a) b) Bài a) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy tập nghiệm phương trình b) ĐKXĐ: 2) Gọi số phải tìm x (x > 0) Vì phần ngun x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị Số nhận số ban đầu nên ta có phương trình Vậy số phải tìm 2,5 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu A E B C D 1) Do Lấy E AC cho Khi AE < AC đồng dạng (g-g) A' A B C H C' H' B' 2) Gọi k tỉ số đồng dạng Ta có Xét (1) có: (GT) Suy (g-g) (2) Câu 5: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai H C B O E A a) F D K Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Ta có: Chứng minh : c) Chứng minh : Chứng minh : Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 Câu 1) Ta có 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Đặt x2 + x – = t Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18